第七章二階電路

1、LC電路中的正弦振蕩電路中的正弦振蕩RLC串聯(lián)電路的零輸入響應串聯(lián)電路的零輸入響應RLC串聯(lián)電路的全響應串聯(lián)電路的全響應GCL并聯(lián)電路的分析并聯(lián)電路的分析 7.1 LC電路中的正弦振蕩電路中的正弦振蕩 包含一個電容和一個電感，或兩個包含一個電容和一個電感，或兩個電容，或兩個電感的動態(tài)電路稱為電容，或兩個電感的動態(tài)電路稱為二階電路。二階電路。 對一個只由電容和電感組成的二階電路對一個只由電容和電感組成的二階電路的零輸入響應，進行能量振蕩定性分析。的零輸入響應，進行能量振蕩定性分析。二階電路二階電路：ti(t)0LC+ +- -iU01LCIi2LCIi4LC+ +- -iU051234U0LC-

2、 -i+ +3 阻尼振蕩：阻尼振蕩：電路中存在電阻，振蕩是減電路中存在電阻，振蕩是減幅的，即幅度將逐漸衰減而趨進于零。幅的，即幅度將逐漸衰減而趨進于零。這種振蕩稱為阻尼振蕩或衰減振蕩。這種振蕩稱為阻尼振蕩或衰減振蕩。等幅振蕩：等幅振蕩：由初始儲能維持的，且儲由初始儲能維持的，且儲能只在電場和磁場之間往返轉(zhuǎn)移的振能只在電場和磁場之間往返轉(zhuǎn)移的振蕩。蕩。 0 CLuuRi0dddd22 CCCutuRCtuLC012 RCPLCP特征方程為特征方程為LCLCCRRCP24222, 1 LCLRLR1)2(22 uC(0-)=U0 i(0-)=0已知已知求求 uC(t) , i(t) , uL(t)

3、 .tuCiCdd RLC+ +- -iucuL+ +- -(t=0)解解2C2ddddtuLCtiLuL 7.2 RLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路的零輸入響應的零輸入響應一、一、 RLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路的零輸入響應方程的零輸入響應方程根的性質(zhì)不同，響應的變化規(guī)律也不同根的性質(zhì)不同，響應的變化規(guī)律也不同二二個個不不等等負負實實根根 2CLR 二個相等負實根二個相等負實根 2CLR 一一對對共共軛軛復復根根 2CLR LCLRLRp1)2(222, 1 tptpCeeu2121AA tpCetu)AA(21 )sin( tKettptpCeeu2121AA 2, 1 jP 不等的負實根不等的負實根 , 2

4、 1.21ppCLR tptpCeeu2121AA 0210AA)0(UUuC 0AA0)0()0(dd2211 PPCituC0121201221AAUPPPUPPP )(2112120tptpCePePPPUu RLC+ +- -iucuL+ +- -(t=0)二、三種狀態(tài)二、三種狀態(tài))(2112120tptpCePePPPUu tuc設設 |P2| |P1|1202PPUP |P1|小小1201PPUP |P2|大大U0uc)()( )()(21211202121120tptptptpCeePPLUeppeppPPCUdtduCi t=0+ i=0t= i=0t = tm 時時i 最大最

5、大0 t 0t tm i 減小減小, uL 0 i0tU0uc)(2112120tptpCePePPPUu LCLRLRp1)2(222, 1 LCPP121 uL( )=0能量轉(zhuǎn)換關系能量轉(zhuǎn)換關系0 t tm uc減小減小 ，i 減小。減小。RLC+ +- -RLC+ +- -tU0uctmi0非振蕩放電非振蕩放電 過阻尼過阻尼 2 2CLR. 特征根為一對共軛復根特征根為一對共軛復根LCLRLRP1)2(222, 1 2LR 令令uC的解答形式的解答形式：22022 )2(-1 LRLC 0 sinBcosA tteutC 0BA0)0(dd tuC由初始條件由初始條件00A)0(UUuC

6、 00BAUU )sin(cos0ttUeutC 或或)sin( 00 teUtosBinAsinBcosAdd tctsettetuttC )sincos(0000ttUeutC 0 )sin( tKetteLUtuCitC sindd 0)sin(dd 00 teUtiLutLuL零點：零點： t = , + ，2 + . n + i 零點：零點： t =0, ，2 . n ， i 極值點為極值點為uL零點。零點。uLuC - 2 - uc tU0teU 00teU 000 2 i + )sin( 00 teUutCuC零點：零點： t = - ，2 - . n - ， uC 極值點為極值

7、點為i零點。零點。 t - - t i + uc t - 2 - 2 U0teU 00teU 000uCRLC+ +- -RLC+ +- -能量轉(zhuǎn)換關系能量轉(zhuǎn)換關系0 t 0 電路電路)139sin(25 tKeutC 4105sin25cos13925sin KKK176 358 ，K0V)176139sin(35825 tteutC(4) 525)0(dtduCuCC由由uC t035825求所示電路中電流求所示電路中電流 i (t)的零狀態(tài)響應。的零狀態(tài)響應。 i1= i -0.5 u1=i - 0.5 2 (2 - i) = 2i - 2由由KVLidtdidtiii262)2(211

8、 整理得：整理得：1212dd8dd22 ititi二階非齊次常系數(shù)微分方程二階非齊次常系數(shù)微分方程解：第一步列寫微分方程解：第一步列寫微分方程2-ii1+ +u1 1- - 0.5 u1 12W W1/6F F1Hk2W W2W2W2A i7. 3 RLC串聯(lián)電路的全響應串聯(lián)電路的全響應一、零狀態(tài)響應一、零狀態(tài)響應P1= -2 ，P2 = -6iii 解答形式為：解答形式為：1212822 idtdidtid穩(wěn)態(tài)模型穩(wěn)態(tài)模型i = 0.5 u1u1=2(2-0.5u1)u1=2Vi( )=1AtteAeAi6221 + +u1 1- - 0.5 u1 12W W1/6F F1Hk2W W2W

9、2W2A iP2+8P+12=0+ +u1 1- -0.5 u1 12W2W2W2Wi2AtteAeAi62211 得零狀態(tài)響應得零狀態(tài)響應第二步求特解第二步求特解i 第三步求通解第三步求通解i 第四步求初值第四步求初值 )0(1dd0)0()0(0LuLtiiiVuuuL825 . 0)0(11 + +u1 1- - 0.5 u1 12W W1/6F F1Hk2W W2W2W2A i0+電路模型：電路模型：0.5 u+ +u1 1- -1 12W W2W W2A+ +uL L- -V4221 u第五步定常數(shù)第五步定常數(shù)tteAeAi62211 212162810AAAA 5 . 15 . 0

10、21AA0 A5 .15 .01)(62 teetitt+ +u1 1- - 0.5 u1 12W W1/6F F1Hk2W W2W2W2A i 8)0(1)0(dd0)0()0(LuLtiii二、全響應二、全響應已知：已知：iL(0-)=2A，uC(0-)=0R=50W W , L=0.5H , C=100 F求：求：iL(t) 。解解 (1) 列微分方程列微分方程50dddd22 LLLRitiLtiRLCtuCiRtiLLLdddd-50 C 4422102102dd200dd LLLititiRLCiRiLiC50 Vt=0+- -uL+- -uCtiLuuLLCdd (2)求通解求通

11、解(自由分量）自由分量）0200002002 PP特特征征方方程程特征根特征根 P= -100 j100)100sin(1)(100 tKetitL全解全解(3)求特解（強制分量，穩(wěn)態(tài)解）求特解（強制分量，穩(wěn)態(tài)解） AiL1 4422102102dd200dd LLLititi)100sin()(100 tKetitL通解通解(4)求全解求全解(4)由由初值初值定積分常數(shù)定積分常數(shù) 0cos100sin1000 2sin12)0(0 KKdtdiKiLLo452 K得得0)45100sin(21)(100 tAtetitLiL(0+)=2A , uC(0+)=0 （已知）（已知）)100sin

12、(1)(100 tKetitL全解全解0)0(1)0(1dd0 CLLuLuLti)100cos(100)100sin(100dd100100 tKetKetittL小結(jié)小結(jié) )(過過阻阻尼尼非非振振蕩蕩放放電電tptpeAeA2121 共共軛軛虛虛根根 0 R)cossin)sin( tBtAetKett （或或 )(臨臨界界阻阻尼尼非非振振蕩蕩放放電電)(21 tAAet 1. 二階電路用三個參數(shù)二階電路用三個參數(shù)， 和和 0來表示動態(tài)來表示動態(tài)響響應。應。特征根特征根 響應性質(zhì)響應性質(zhì) 自由分量形式自由分量形式不等的實根不等的實根 2 CLR 2 共軛復根共軛復根CLR ) (阻尼阻尼無

13、無等幅振蕩等幅振蕩)sin(0 tK相相等等的的實實根根 2 CLR )(欠阻尼欠阻尼衰減振蕩衰減振蕩3. 電路電路是否振蕩取決于特征根是否振蕩取決于特征根，特征根僅僅取特征根僅僅取決于電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決于電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始條件和激勵，而與初始條件和激勵的大小沒有關系。的大小沒有關系。4. 特征方程次數(shù)的確定：等于換路后的電路經(jīng)特征方程次數(shù)的確定：等于換路后的電路經(jīng)過盡可能簡化而具有的獨立初始值的數(shù)目。過盡可能簡化而具有的獨立初始值的數(shù)目。5.線性電路經(jīng)典法解二階過渡過程包括以下幾步：線性電路經(jīng)典法解二階過渡過程包括以下幾步：(1)換路后換路后(t0)電路電路列寫微分方程列寫微分方程(2)求特征根，求特征根，由根的性質(zhì)寫出自由分量由根的性質(zhì)寫出自由分量（積分（積分常數(shù)待定）常數(shù)待定）(3)求強制分量（穩(wěn)態(tài)分量）求強制分量（穩(wěn)態(tài)分量）(4)全解全解=自由分量自由分量+強制分量強制分量(5)將初值將初值f(0+)和和f (0+)代入全解，定積分常數(shù)求代入全解，定積分常數(shù)求響應響應(6)討論物理過程，畫出波形討論物理過程，畫出波形7.4 GCL并聯(lián)電路的分析并聯(lián)電路的分析GCL并聯(lián)電路的分析并聯(lián)電路的分析電路的解如式所示電路的解