華南理工大學高等數(shù)學第5節(jié)

1、第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第第五五節(jié)節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大（一）無窮小（一）無窮?。ǘo窮大（二）無窮大（三）無窮小的比較（三）無窮小的比較（四）利用等價無窮小求極限（四）利用等價無窮小求極限（1/23）第五節(jié)第五節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大（一）無窮?。ㄒ唬o窮?。ǘo窮大（二）無窮大（三）無窮小的比較（三）無窮小的比較（四）利用等價無窮小求極限（四）利用等價無窮小求極限（2/23）（一）無窮?。ㄒ唬o窮小1.定義定義: 極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小無窮小.注意：注意： 1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與絕對值很小的數(shù)混淆不能與絕對值很小的數(shù)混淆;

2、2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).（3/23）例如例如,n1lim0,n 1nn 數(shù)數(shù)列列是是當當時時的的無無窮窮小小量量1lim0 xx ，1xx 函函數(shù)數(shù)是是當當時時的的無無窮窮小小量量22lim01xxx 221xxx 函函數(shù)數(shù)是是當當時時的的無無窮窮小小量量 0lim10 xxe 0 xex函函數(shù)數(shù)- -1 1是是當當時時的的無無窮窮小小量量（4/23）二、無窮小的性質二、無窮小的性質性質性質1 有限個無窮小之和仍是無窮小有限個無窮小之和仍是無窮小.性質性質3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.性質性質2 有限個無窮小之積仍是無窮

3、小有限個無窮小之積仍是無窮小. 220001 lim0,lim0,lim0 xxxxxxx例例如如：）0002 lim0,limsin0,limsin0 xxxxxxx）00113 lim0, sin1,liminxxxxxx）（5/23）推論推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論2 無窮小與無窮小的乘積是無窮小無窮小與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 無窮小除以極限存在且不為零的變量無窮小除以極限存在且不為零的變量仍仍 是無窮小是無窮小.011lim0,lim0.cos1xxxxxx 例例如如：注：注：兩個無窮小相除，結果不一定是無窮小兩個無窮小相除，結果不一

4、定是無窮小 可能出現(xiàn)各種可能性可能出現(xiàn)各種可能性. .（6/23）第五節(jié)第五節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大（一）無窮?。ㄒ唬o窮小（二）無窮大（二）無窮大（三）無窮小的比較（三）無窮小的比較（四）利用等價無窮小求極限（四）利用等價無窮小求極限（7/23）絕對值無限增大的絕對值無限增大的變量變量稱為稱為無窮大無窮大.（二）無窮大（二）無窮大特殊情形特殊情形：正無窮大，負無窮大：正無窮大，負無窮大注意注意 無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;00()()lim( )(lim( )xxxxxxf xf x 或或0011lim, limxxxx 例例如如：（8/23）在同

5、一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)無窮大的倒數(shù)為無窮小為無窮小恒不為零的恒不為零的無窮小的倒數(shù)無窮小的倒數(shù)為無窮大為無窮大. .無窮大與無窮小的關系無窮大與無窮小的關系( ),0( )10( )f xxxf xxf x 例例如如：對對當當時時，為為無無窮窮小??；當當時時，為為無無窮窮大大；（9/23）第五節(jié)第五節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大（一）無窮?。ㄒ唬o窮?。ǘo窮大（二）無窮大（三）無窮小的比較（三）無窮小的比較（四）利用等價無窮小求極限（四）利用等價無窮小求極限（10/23）（三）無窮小的比較（三）無窮小的比較xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxx

6、x極限不同極限不同, 反映了反映了趨向于零的趨向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在觀察各極限觀察各極限無窮小的和、差、積仍為無窮小無窮小的和、差、積仍為無窮小. .無窮小的商是什么？無窮小的商是什么？例如例如: :.1sin,sin,022都都是是無無窮窮小小時時當當xxxxxx 結論結論: :（11/23）定義定義 (3)lim1,xxxxxx 如如果果則則稱稱與與是是等等價價無無窮窮小小記記作作( )(2)lim(0),( )( )( )xA Axxx 如如果

7、果就就說說與與是是同同階階無無窮窮小小( )(1)lim0,( )( )( )( )( ( );xxxxxox 如如果果就就說說是是比比高高階階的的無無窮窮小小記記作作( ),( )xx設設是是同同一一過過程程中中的的兩兩個個無無窮窮小小（12/23）例例1 1解解.)(,速度的快慢速度的快慢趨于零趨于零與與試比較無窮小試比較無窮小時時當當 xxx,lim)(lim xxxxxx)()()( xxox:)(,趨趨于于零零的的速速度度快快得得多多要要比比趨趨于于零零的的速速度度從從下下表表可可以以看看出出事事實實上上 xx（13/23）例例2 2 比較下列各組無窮小比較下列各組無窮小211(1)

8、1()();12(2)0()2()sin;xxxxxxxxxxx 當當時時，與與當當時時，與與 解：解： 2000002()2(2)limlim= lim2= limlim 20.()sinsinsin02=o sin.xxxxxxxxxxxxxxxxxx 當當時時， 111()111+(1)limlim= lim=1()111111.1xxxxxxxxxxxxxx 當當時時，（14/23）第五節(jié)第五節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大（一）無窮?。ㄒ唬o窮小（二）無窮大（二）無窮大（三）無窮小的比較（三）無窮小的比較（四）利用等價無窮小求極限（四）利用等價無窮小求極限（15/23）（四）利用等價

9、無窮小求極限（四）利用等價無窮小求極限 20 sin tan1 ln 11cos211 xnxxxxxexxxxnx 當當時時：xycos1 221yx .);,(lnxnxaaaxanx 特別特別常用等價無窮小常用等價無窮?。?6/23）常用等價無窮小常用等價無窮小 ()2lim0() sin() tan()() 1 ln 1()()1cos() 21()1 ()xnxxxxxexxxxnx 某某過過程程若若，則則：（17/23）無窮小代換原則：無窮小代換原則：積商可部分代換，和差只能總體代換積商可部分代換，和差只能總體代換. .（18/23）例例2 2 求下列極限求下列極限 020tan

10、3(1)lim;sin 5121(2)lim;ln 12xxxxxxx 00(1)0tan 33 ,sin 55tan 333limlim.sin 555xxxxxxxxxxx 當當時時， 解：解： 2222001(2)01+21 22ln 122,121+2112limlimln 1222xxxxxxxxxxxxxxx 當當時時，（19/23）202limxxxeex 求求極極限限： 解：解： 222000112limlimlim0 xxxxxxxeeeexxxxx 22200220012limlimlimlim1xxxxxxxxxxeeeexxexex （20/23）例例.2sinsint

11、anlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當當 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時時當當 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯錯 （21/23）例例.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解00200tan 51coslimlimsin 3sin 3152limlim3353xxxxxxxxxxxx 原原式式（22/23） 小結小結1.1.無窮小的比較無窮小的比較反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度兩無窮小趨于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的無窮小