測量誤差與數(shù)據(jù)處理基礎ppt課件

1、第二章第二章 丈量誤差與數(shù)據(jù)處置根底丈量誤差與數(shù)據(jù)處置根底第一節(jié)第一節(jié) 丈量誤差及其分類丈量誤差及其分類第二節(jié)第二節(jié) 系統(tǒng)誤差的消除方法系統(tǒng)誤差的消除方法第三節(jié)第三節(jié) 隨機誤差及其估算隨機誤差及其估算第四節(jié)第四節(jié) 誤差的綜合誤差的綜合第五節(jié)第五節(jié) 丈量結果的數(shù)據(jù)處置丈量結果的數(shù)據(jù)處置X-X-被丈量被丈量Q-Q-規(guī)范單位規(guī)范單位x0-x0-被丈量的真實數(shù)值被丈量的真實數(shù)值 x-x-丈量值丈量值 丈量是借助于公用的技術和工具，丈量是借助于公用的技術和工具，經(jīng)過實驗的方法，把被丈量與同性質(zhì)經(jīng)過實驗的方法，把被丈量與同性質(zhì)的規(guī)范量進展比較，求取二者的比值，的規(guī)范量進展比較，求取二者的比值，從而得到被丈

2、量數(shù)值大小的過程。從而得到被丈量數(shù)值大小的過程。丈量的根本方程式丈量的根本方程式0XxQXxQ補充補充 丈量的概念丈量的概念丈量是借助于儀器或儀表，依托實驗和計算方法丈量是借助于儀器或儀表，依托實驗和計算方法對被丈量獲得定性或定量信息的認識過程。對被丈量獲得定性或定量信息的認識過程。補充補充 丈量的概念丈量的概念丈量是借助于儀器或儀表，依托實驗和計算方法丈量是借助于儀器或儀表，依托實驗和計算方法對被丈量獲得定性或定量信息的認識過程。對被丈量獲得定性或定量信息的認識過程。 檢測技術比上述的丈量定義有更加廣泛的含義。它是指下檢測技術比上述的丈量定義有更加廣泛的含義。它是指下述的全面過程：按照被丈量

3、的特點，選用適宜的檢測安裝與實述的全面過程：按照被丈量的特點，選用適宜的檢測安裝與實驗方法，經(jīng)過丈量和數(shù)據(jù)處置及誤差分析，準確得到被丈量的驗方法，經(jīng)過丈量和數(shù)據(jù)處置及誤差分析，準確得到被丈量的數(shù)值，并為進一步提高丈量精度，改良實驗方法及丈量安裝性數(shù)值，并為進一步提高丈量精度，改良實驗方法及丈量安裝性能提供可靠的根據(jù)。能提供可靠的根據(jù)。一切丈量過程都包括：比較、示差、平衡、讀數(shù)四個步驟。一切丈量過程都包括：比較、示差、平衡、讀數(shù)四個步驟。補充補充 丈量的根本方法丈量的根本方法規(guī)范量規(guī)范量規(guī)范計量單位如米尺、光柵尺、規(guī)范計量單位如米尺、光柵尺、激光、激光、 絕對丈量絕對丈量定值規(guī)范量如某一固定尺寸

4、定值規(guī)范量如某一固定尺寸 相對丈量相對丈量1) 1) 直接丈量直接丈量直接將被丈量與規(guī)范量進展比較直接將被丈量與規(guī)范量進展比較- 絕對丈量：絕對丈量：采用儀器、設備、手段丈量被丈量，直接得到丈量值采用儀器、設備、手段丈量被丈量，直接得到丈量值丈量結果：丈量結果：20.1 mm- 相對丈量：相對丈量：將被丈量直接與基準量比較，得到偏向值將被丈量直接與基準量比較，得到偏向值特點：簡單、直觀、明了；特點：簡單、直觀、明了； 丈量精度不高丈量精度不高基準量：基準量：20.00 mm丈量值：丈量值：+0.08 mm結結 果：果：20.08 mm特點：精度高；復雜、本錢高、要求高特點：精度高；復雜、本錢高

5、、要求高補充補充 丈量與被丈量有一定函數(shù)關系的參量，被丈量由計算獲得。丈量與被丈量有一定函數(shù)關系的參量，被丈量由計算獲得。如測導線的導電率如測導線的導電率：Rdl24補充補充 2) 2) 間接丈量間接丈量3) 3) 組合丈量組合丈量按照所用儀表和比較過程特點分類按照所用儀表和比較過程特點分類(1) (1) 偏向法：偏向法： 利用丈量儀表的指針相對于刻度的偏向位移直接表利用丈量儀表的指針相對于刻度的偏向位移直接表示丈量的數(shù)值示丈量的數(shù)值 特點：偏向式丈量簡單、迅速，但精度不高，特點：偏向式丈量簡單、迅速，但精度不高， 這種丈量方法廣泛運用于工程丈量中。這種丈量方法廣泛運用于工程丈量中。補充補充

6、偏向式丈量、零位式丈量及微差式丈量偏向式丈量、零位式丈量及微差式丈量(2) 零位法：零位法： 將被丈量將被丈量x與某一知規(guī)范量完全抵消，與某一知規(guī)范量完全抵消， 使作用到丈量儀使作用到丈量儀表上的效應等于零，如天平、電位差計等。表上的效應等于零，如天平、電位差計等。 由此可知由此可知xs。 特點：丈量精度主要取決于規(guī)范量的精度，與丈量儀表特點：丈量精度主要取決于規(guī)范量的精度，與丈量儀表的精度無關。因此丈量精度很高，在計量任務中運用很廣。的精度無關。因此丈量精度很高，在計量任務中運用很廣。 缺陷是速度不快，用于丈量變化較緩慢的信號。缺陷是速度不快，用于丈量變化較緩慢的信號。補充補充 (3)偏向法

7、：偏向法：偏向法和零位法的結合偏向法和零位法的結合被丈量余數(shù)被丈量余數(shù)被丈量大值與規(guī)范量大體平衡被丈量大值與規(guī)范量大體平衡補充補充 綜合了偏向式和零位式兩種丈量法的優(yōu)點。綜合了偏向式和零位式兩種丈量法的優(yōu)點。 此法在丈量時分兩步進展，第一步是將被丈量根本任此法在丈量時分兩步進展，第一步是將被丈量根本任務點與規(guī)范量進展比較，并調(diào)理到達平衡形狀。在此根底務點與規(guī)范量進展比較，并調(diào)理到達平衡形狀。在此根底上，當被丈量分開任務點有微小變動，丈量儀表便分上，當被丈量分開任務點有微小變動，丈量儀表便分開平衡形狀，此時儀表的指示值即為變動部分的值。開平衡形狀，此時儀表的指示值即為變動部分的值。第一節(jié)第一節(jié)

8、丈量誤差及其分類丈量誤差及其分類 一、丈量誤差的定義一、丈量誤差的定義真值：真值： 在一定的時間及空間條件下，某被丈量的真實數(shù)值。在一定的時間及空間條件下，某被丈量的真實數(shù)值。商定真值：商定真值： 為運用目的所采用的接近真值因此可替代真值的值。為運用目的所采用的接近真值因此可替代真值的值。誤差公理：誤差公理： 誤差自始自終存在于一切科學實驗和檢測之中，被丈誤差自始自終存在于一切科學實驗和檢測之中，被丈量的真值永遠是難以得到的。量的真值永遠是難以得到的。第一節(jié)第一節(jié) 丈量誤差及其分類丈量誤差及其分類 研討誤差的意義：研討誤差的意義：能合理確定檢測結果的誤差；能合理確定檢測結果的誤差；能正確地認識

9、誤差的性質(zhì)，分析產(chǎn)生誤差的緣由，采取措施到能正確地認識誤差的性質(zhì)，分析產(chǎn)生誤差的緣由，采取措施到達減少誤差的目的；達減少誤差的目的；有助于正確處置實驗數(shù)據(jù)，合理計算丈量結果，以便在一定的有助于正確處置實驗數(shù)據(jù)，合理計算丈量結果，以便在一定的條件下，得到最接近于真實值的最正確結果；條件下，得到最接近于真實值的最正確結果；有助于合理選擇實驗儀表、丈量條件及丈量方法，使能在比較有助于合理選擇實驗儀表、丈量條件及丈量方法，使能在比較經(jīng)濟的條件下，得到預期的結果；經(jīng)濟的條件下，得到預期的結果；有利于評價控制系統(tǒng)的各種控制規(guī)律的優(yōu)劣；有利于評價控制系統(tǒng)的各種控制規(guī)律的優(yōu)劣；有助于利用誤差實際指點設計、制造

10、儀表、減小儀表本身的誤有助于利用誤差實際指點設計、制造儀表、減小儀表本身的誤差。差。第一節(jié)第一節(jié) 丈量誤差及其分類丈量誤差及其分類 絕對誤差絕對誤差x x 丈量值丈量值A0 A0 真值真值1、絕對誤差、絕對誤差0Ax 絕對誤差絕對誤差x x 丈量值丈量值X0 X0 商定真值商定真值0Xx常用常用絕對誤差的大小表示丈量值偏離真值的程度。絕對誤差的大小表示丈量值偏離真值的程度。真值真值實際真值實際真值商定真值商定真值相對真值相對真值第一節(jié)第一節(jié) 丈量誤差及其分類丈量誤差及其分類 2、相對誤差、相對誤差%1000XA 相對誤差最突出的優(yōu)點是可以更好地闡明丈量質(zhì)量的相對誤差最突出的優(yōu)點是可以更好地闡明

11、丈量質(zhì)量的好壞。好壞。實踐相對誤差實踐相對誤差公稱相對誤差公稱相對誤差%100XxX0是商定真值實踐值是商定真值實踐值X是儀表公稱值示值是儀表公稱值示值第一節(jié)第一節(jié) 丈量誤差及其分類丈量誤差及其分類 3、援用誤差、援用誤差%100B 援用誤差是相對誤差的一種特殊方式，常用來評價儀援用誤差是相對誤差的一種特殊方式，常用來評價儀表的質(zhì)量。但是儀表的詳細示值有關，運用仍不方便。表的質(zhì)量。但是儀表的詳細示值有關，運用仍不方便。最大援用誤差最大援用誤差%100BmB是儀表的滿量程是儀表的滿量程 能更可靠地闡明儀表的丈量準確度，故常作為工業(yè)儀能更可靠地闡明儀表的丈量準確度，故常作為工業(yè)儀表精度等級的標志。

12、表精度等級的標志。第一節(jié)第一節(jié) 丈量誤差及其分類丈量誤差及其分類 儀表的精度等級儀表的精度等級100mG 國家用最大援用誤差來規(guī)定電工儀表的精度等級國家用最大援用誤差來規(guī)定電工儀表的精度等級G，分為，分為0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，5.0八級。規(guī)定取最大援用誤差百分數(shù)的分子八級。規(guī)定取最大援用誤差百分數(shù)的分子作為精度等級的標志。即：作為精度等級的標志。即：【例【例1】設按毫伏刻度的電子電位差計的檢驗記錄】設按毫伏刻度的電子電位差計的檢驗記錄x如下表，如下表，x0是用高精度的儀表測出的值。是用高精度的儀表測出的值。測試值測試值x（mV）0.002.004.006.00

13、8.0010.00真值真值x0（mV）0.011.984.015.978.049.99絕對誤差絕對誤差（mV）- 0.01+0.02- 0.01+0.03- 0.04+0.01引用誤差（引用誤差（%）- 0.1+0.2- 0.1+0.3- 0.4+0.1【例【例2 2】某壓力表精度為】某壓力表精度為1.51.5級，量程為級，量程為0 02.0MPa2.0MPa，丈量結，丈量結果顯示為果顯示為1.2MPa1.2MPa，求，求1 1最大援用誤差最大援用誤差mm；2 2能夠出現(xiàn)的能夠出現(xiàn)的最大絕對誤差最大絕對誤差mm；3 3示值相對誤差示值相對誤差xx？【解】【解】1由精度等級可直接得到最大援用誤差

14、，即由精度等級可直接得到最大援用誤差，即23第一節(jié)第一節(jié) 丈量誤差及其分類丈量誤差及其分類 %5 . 1mMPam03. 0%5 . 12%5 . 2%1002 . 103. 0 xmx第一節(jié)第一節(jié) 丈量誤差及其分類丈量誤差及其分類 【例【例3 3】現(xiàn)有】現(xiàn)有0.50.5級級0 0300300和和1.01.0級級0 0100100的兩個溫度計，的兩個溫度計，要丈量要丈量8080的溫度，試問采用哪一個溫度計好？的溫度，試問采用哪一個溫度計好？【解】假設采用【解】假設采用0.5級溫度計級溫度計mx300 0.5%1.51.5100%100%1.875%80mx 假設采用假設采用1.0級溫度計級溫度

15、計mx100 1%11100%100%1.25%80mx 結果闡明，運用任務在量程下限時相對誤差較大。用結果闡明，運用任務在量程下限時相對誤差較大。用1.0級級儀表比用儀表比用0.5級儀表的示值相對誤差反而小，所以更適宜。級儀表的示值相對誤差反而小，所以更適宜。 根據(jù)誤差值能否變化，可將系統(tǒng)誤差進一步劃分為恒定根據(jù)誤差值能否變化，可將系統(tǒng)誤差進一步劃分為恒定系差和變值系差。變值系差又可分為累進性系差、周期性系系差和變值系差。變值系差又可分為累進性系差、周期性系差和按復雜規(guī)律變化的幾種。差和按復雜規(guī)律變化的幾種。 按照對系統(tǒng)誤差掌握的程度，可將其大致分為已定系差按照對系統(tǒng)誤差掌握的程度，可將其大

16、致分為已定系差和未定系差。和未定系差。第一節(jié)第一節(jié) 丈量誤差及其分類丈量誤差及其分類 二、丈量誤差的分類二、丈量誤差的分類 1 1、系統(tǒng)誤差、系統(tǒng)誤差 在一樣條件下，多次丈量同一被丈量值的過程中出現(xiàn)的在一樣條件下，多次丈量同一被丈量值的過程中出現(xiàn)的一種誤差，它的絕對值和符號或者堅持不變，或者在條件變一種誤差，它的絕對值和符號或者堅持不變，或者在條件變化時按某一規(guī)律變化，化時按某一規(guī)律變化， 此類誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。此類誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。 系統(tǒng)誤差表征丈量的準確度。系統(tǒng)誤差表征丈量的準確度。 性質(zhì)：有規(guī)律，可再現(xiàn)，可以預測性質(zhì)：有規(guī)律，可再現(xiàn)，可以預測緣由：原理誤差、方法誤差、

17、環(huán)境誤差、運用誤差緣由：原理誤差、方法誤差、環(huán)境誤差、運用誤差處置：實際分析、實驗驗證處置：實際分析、實驗驗證 修正修正第一節(jié)第一節(jié) 丈量誤差及其分類丈量誤差及其分類 2 2、隨機誤差、隨機誤差 是在一樣條件下，多次丈量同一被丈量值的過程中出現(xiàn)的是在一樣條件下，多次丈量同一被丈量值的過程中出現(xiàn)的誤差，此誤差沒有固定的大小和符號，呈無規(guī)律的隨機性。誤差，此誤差沒有固定的大小和符號，呈無規(guī)律的隨機性。 通常用精細度表征隨機誤差的大小。通常用精細度表征隨機誤差的大小。 通常將準確度和精細度合稱為準確度，通常將準確度和精細度合稱為準確度， 簡稱精度。簡稱精度。 性質(zhì)：正態(tài)分布性質(zhì)：正態(tài)分布緣由：安裝誤

18、差、環(huán)境誤差、運用誤差緣由：安裝誤差、環(huán)境誤差、運用誤差處置：統(tǒng)計分析、計算處置處置：統(tǒng)計分析、計算處置 減小減小第一節(jié)第一節(jié) 丈量誤差及其分類丈量誤差及其分類 3 3、粗差、粗差 又稱疏失誤差，或粗大誤差，指明顯偏離商定真值的誤又稱疏失誤差，或粗大誤差，指明顯偏離商定真值的誤差。差。 它主要是由于丈量人員的失誤所致，它主要是由于丈量人員的失誤所致， 如測錯、讀錯或如測錯、讀錯或記錯等。含有粗大誤差的數(shù)值稱為壞值，應予以剔除。記錯等。含有粗大誤差的數(shù)值稱為壞值，應予以剔除。性質(zhì)：偶爾出現(xiàn)，誤差很大，異常數(shù)據(jù)，與有用數(shù)據(jù)混在一同性質(zhì)：偶爾出現(xiàn)，誤差很大，異常數(shù)據(jù)，與有用數(shù)據(jù)混在一同緣由：安裝誤差

19、、運用誤差緣由：安裝誤差、運用誤差處置：判別、剔除處置：判別、剔除第一節(jié)第一節(jié) 丈量誤差及其分類丈量誤差及其分類 三、準確度、精細度和準確度三、準確度、精細度和準確度2、精細度、精細度 在一樣條件下，對同一個量進展反復丈量時，這些丈量在一樣條件下，對同一個量進展反復丈量時，這些丈量值之間的相互接近程度即分散程度，它反映了隨機誤差大小。值之間的相互接近程度即分散程度，它反映了隨機誤差大小。1、準確度、準確度 它表示丈量儀器指示值對真值的偏離程度。它反映了系它表示丈量儀器指示值對真值的偏離程度。它反映了系統(tǒng)誤差的大小。統(tǒng)誤差的大小。3、準確度簡稱精度、準確度簡稱精度 它是精細度和準確度的綜合反映，

20、它反映了系統(tǒng)綜合誤差它是精細度和準確度的綜合反映，它反映了系統(tǒng)綜合誤差的大小，并且常用來表示丈量誤差的相對值。的大小，并且常用來表示丈量誤差的相對值。第一節(jié)第一節(jié) 丈量誤差及其分類丈量誤差及其分類 測測量量精精度度舉舉例例不精細隨機誤差大不精細隨機誤差大 準確系統(tǒng)誤差小準確系統(tǒng)誤差小 精細隨機誤差小精細隨機誤差小不準確系統(tǒng)誤差大不準確系統(tǒng)誤差大不精細隨機誤差大不精細隨機誤差大不準確系統(tǒng)誤差大不準確系統(tǒng)誤差大精細隨機誤差小精細隨機誤差小準確系統(tǒng)誤差小準確系統(tǒng)誤差小第二節(jié)第二節(jié) 系統(tǒng)誤差的消除方法系統(tǒng)誤差的消除方法 一、消除產(chǎn)生誤差的根源一、消除產(chǎn)生誤差的根源系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的緣由系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的緣由系

21、統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的要素呵斥，系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的要素呵斥，在條件充分的情況下這些要素是可以掌握的。主要來源于：在條件充分的情況下這些要素是可以掌握的。主要來源于： 丈量安裝方面的要素丈量安裝方面的要素 環(huán)境方面的要素環(huán)境方面的要素 丈量方法的要素丈量方法的要素 丈量人員的要素丈量人員的要素計量校準后發(fā)現(xiàn)計量校準后發(fā)現(xiàn)的偏向、儀器設的偏向、儀器設計原理缺陷、儀計原理缺陷、儀器制造和安裝的器制造和安裝的不正確等。不正確等。丈量時的實踐溫丈量時的實踐溫度對規(guī)范溫度的度對規(guī)范溫度的偏向、丈量過程偏向、丈量過程中的溫度、濕度中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化按一定規(guī)律變

22、化的誤差。的誤差。采用近似的丈量采用近似的丈量方法或計算公式方法或計算公式引起的誤差等。引起的誤差等。丈量人員固有的丈量人員固有的丈量習性引起的丈量習性引起的誤差等。誤差等。第二節(jié)第二節(jié) 系統(tǒng)誤差的消除方法系統(tǒng)誤差的消除方法 二、對丈量結果進展修正二、對丈量結果進展修正修正值修正值指與丈量誤差的絕對值相等而符號相反的值。指與丈量誤差的絕對值相等而符號相反的值。xXC0 修正值可以是一個詳細的值，也可以是一條曲線、一個修正值可以是一個詳細的值，也可以是一條曲線、一個公式或圖表。公式或圖表。 在丈量之前，對儀器儀表進展校準或定期進展檢定。經(jīng)在丈量之前，對儀器儀表進展校準或定期進展檢定。經(jīng)過檢定，可

23、以由上一級規(guī)范或基準給出受檢儀表的修正過檢定，可以由上一級規(guī)范或基準給出受檢儀表的修正值。將修正值參與丈量值中，即可消除系統(tǒng)誤差。值。將修正值參與丈量值中，即可消除系統(tǒng)誤差。 第二節(jié)第二節(jié) 系統(tǒng)誤差的消除方法系統(tǒng)誤差的消除方法 三、采用特殊丈量法三、采用特殊丈量法一恒定系差消除法一恒定系差消除法 1 1、零示法：、零示法： 將被丈量與知的規(guī)范量進展比較，當兩者的差值為零將被丈量與知的規(guī)范量進展比較，當兩者的差值為零時，被丈量就等于知的規(guī)范量。時，被丈量就等于知的規(guī)范量。 如：書中圖如：書中圖1-2-2 1-2-2 用電位差計丈量熱電偶的熱電勢。用電位差計丈量熱電偶的熱電勢。 第二節(jié)第二節(jié) 系統(tǒng)

24、誤差的消除方法系統(tǒng)誤差的消除方法 2 2、替代法：、替代法：又稱為置換法，指先將被丈量接入丈量安裝使之處于又稱為置換法，指先將被丈量接入丈量安裝使之處于一定形狀，然后以知量替代被丈量，并經(jīng)過改動知量的值一定形狀，然后以知量替代被丈量，并經(jīng)過改動知量的值使儀表的示值恢復到替代前的形狀。那么被丈量的值即為使儀表的示值恢復到替代前的形狀。那么被丈量的值即為知量。知量。丈量安裝的系統(tǒng)誤差不會帶給丈量結果。丈量安裝的系統(tǒng)誤差不會帶給丈量結果。 替代法在阻抗、頻率等許多電參數(shù)的精細丈量方法中替代法在阻抗、頻率等許多電參數(shù)的精細丈量方法中獲得廣泛的運用。例：電橋法測電阻。獲得廣泛的運用。例：電橋法測電阻。第

25、二節(jié)第二節(jié) 系統(tǒng)誤差的消除方法系統(tǒng)誤差的消除方法 3 3、交換法：、交換法：又稱為對照法，指在丈量過程中將某些丈量條件相互又稱為對照法，指在丈量過程中將某些丈量條件相互交換，使產(chǎn)生系差的緣由對交換前后的丈量結果起反作用。交換，使產(chǎn)生系差的緣由對交換前后的丈量結果起反作用。對兩次丈量結果進展數(shù)學處置，即可消除系統(tǒng)誤差或求出對兩次丈量結果進展數(shù)學處置，即可消除系統(tǒng)誤差或求出系差的數(shù)值。系差的數(shù)值。如：用天平稱重，替代法可消除由于天平兩臂不等而如：用天平稱重，替代法可消除由于天平兩臂不等而引起的固定系統(tǒng)誤差。引起的固定系統(tǒng)誤差。再如：書中圖再如：書中圖1-2-31-2-3電橋法測電阻。電橋法測電阻。

26、 第二節(jié)第二節(jié) 系統(tǒng)誤差的消除方法系統(tǒng)誤差的消除方法 二變值系差消除法二變值系差消除法1.1.等時距對稱觀測法：等時距對稱觀測法： 又稱對稱觀測法，用其可消除隨時間按線性規(guī)律變化又稱對稱觀測法，用其可消除隨時間按線性規(guī)律變化的系差，即線性系差。的系差，即線性系差。2.2.半周期偶數(shù)觀測法半周期偶數(shù)觀測法: : 某些周期性的系統(tǒng)誤差的特點是，每隔半個周期產(chǎn)生某些周期性的系統(tǒng)誤差的特點是，每隔半個周期產(chǎn)生的誤差大小相等、符號相反。那么這種系差可經(jīng)過半周期的誤差大小相等、符號相反。那么這種系差可經(jīng)過半周期偶數(shù)觀測法來消除。即，讀取相隔半周期的兩次丈量值，偶數(shù)觀測法來消除。即，讀取相隔半周期的兩次丈量

27、值， 取其算術平均值作為結果。取其算術平均值作為結果。第三節(jié)第三節(jié) 隨機誤差及其估算隨機誤差及其估算 一、隨機誤差的分布規(guī)律及統(tǒng)計特性一、隨機誤差的分布規(guī)律及統(tǒng)計特性概率論的中心極限定理：概率論的中心極限定理： 假設一個隨機變量是由大量微小的隨機變量共同作用假設一個隨機變量是由大量微小的隨機變量共同作用的結果，那么只需這些微小隨機變量是相互獨立或弱相關的結果，那么只需這些微小隨機變量是相互獨立或弱相關的，且均勻地小即對總和的影響彼此相當，那么無論的，且均勻地小即對總和的影響彼此相當，那么無論它們各自服從于什么分布，其總和必然近似于正態(tài)分布。它們各自服從于什么分布，其總和必然近似于正態(tài)分布。 隨

28、機誤差的正態(tài)分布概率密度函數(shù)的數(shù)學表達式為：隨機誤差的正態(tài)分布概率密度函數(shù)的數(shù)學表達式為：)2exp(21)(22p隨機誤差的統(tǒng)計特性表如今以下四個方面：隨機誤差的統(tǒng)計特性表如今以下四個方面： (1) (1)有界性：在一定條件下的有限丈量值中，誤差的絕有界性：在一定條件下的有限丈量值中，誤差的絕對值不會超越一定的界限。對值不會超越一定的界限。 (2) (2)單峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)比絕對值大的單峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。 (3) (3)對稱性：指絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的概對稱性：指絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的概率相等。率相

29、等。 (4) (4)抵償性：一樣條件下對同一量進展多次丈量，隨機誤抵償性：一樣條件下對同一量進展多次丈量，隨機誤差的算術平均值隨著丈量次數(shù)差的算術平均值隨著丈量次數(shù)n n的無限添加而趨于零，即誤差的無限添加而趨于零，即誤差平均值的極限為零。平均值的極限為零。第三節(jié)第三節(jié) 隨機誤差及其估算隨機誤差及其估算 隨機誤差的正態(tài)分布曲線隨機誤差的正態(tài)分布曲線第三節(jié)第三節(jié) 隨機誤差及其估算隨機誤差及其估算 長度相對丈量值長度相對丈量值次次數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)計計第三節(jié)第三節(jié) 隨機誤差及其估算隨機誤差及其估算 由由2202)(exp21)(Xxxp0Xx 可知被丈量可知被丈量x x也是服從正態(tài)分布的隨機變量，且也是服從

30、正態(tài)分布的隨機變量，且x x的概的概率密度函數(shù)的數(shù)學表達式為：率密度函數(shù)的數(shù)學表達式為： 下面討論的問題是當只需一組數(shù)量有限的丈量數(shù)據(jù)時，下面討論的問題是當只需一組數(shù)量有限的丈量數(shù)據(jù)時，如何對如何對X0X0和和進展估算。進展估算。二、丈量值的算術平均值與規(guī)范偏向二、丈量值的算術平均值與規(guī)范偏向第三節(jié)第三節(jié) 隨機誤差及其估算隨機誤差及其估算 1.1.算術平均值與被丈量真值的估計值算術平均值與被丈量真值的估計值 在無系差和粗差的條件下，對某一被丈量在無系差和粗差的條件下，對某一被丈量x x進展進展n n次等次等精度丈量，得到精度丈量，得到n n個觀測值。個觀測值。 可以證明，在消除了系統(tǒng)誤差之后，

31、無限次丈量的統(tǒng)可以證明，在消除了系統(tǒng)誤差之后，無限次丈量的統(tǒng)計平均值就是被丈量的真值。計平均值就是被丈量的真值。 由于無限次丈量在實踐上是做不到的，通常把多次等由于無限次丈量在實踐上是做不到的，通常把多次等精度丈量結果的算術平均值作為被丈量真值的最正確估計精度丈量結果的算術平均值作為被丈量真值的最正確估計值。值。 這就是算術平均值原理。這就是算術平均值原理。第三節(jié)第三節(jié) 隨機誤差及其估算隨機誤差及其估算 n n，用平均值替代真值，那么真值與丈量值之差和，用平均值替代真值，那么真值與丈量值之差和平均值與丈量值之差是不一樣的，因此，相應的丈量誤差平均值與丈量值之差是不一樣的，因此，相應的丈量誤差就

32、用剩余誤差來替代：就用剩余誤差來替代：xxii 殘差有兩個性質(zhì)：殘差有兩個性質(zhì)：殘差的代數(shù)和為殘差的代數(shù)和為0 0；僅有隨機誤差時，殘差的平方和最小。僅有隨機誤差時，殘差的平方和最小。 剩余誤差，簡稱殘差，也叫剩余誤差，其定義為：剩余誤差，簡稱殘差，也叫剩余誤差，其定義為：第三節(jié)第三節(jié) 隨機誤差及其估算隨機誤差及其估算 2. 2. 規(guī)范偏向規(guī)范偏向nixinxMxnD12)(1lim 用來衡量丈量數(shù)據(jù)相對于算術平均值的離散程度。用來衡量丈量數(shù)據(jù)相對于算術平均值的離散程度。方差方差規(guī)范差規(guī)范差niinniinxnXxnD121201lim)(1lim第三節(jié)第三節(jié) 隨機誤差及其估算隨機誤差及其估算

33、 在實踐丈量中，由于被丈量真值無法知道，且丈量次在實踐丈量中，由于被丈量真值無法知道，且丈量次數(shù)也是有限的，故借助貝塞爾公式用算術平均值和殘差來數(shù)也是有限的，故借助貝塞爾公式用算術平均值和殘差來表示規(guī)范偏向的估計值，即表示規(guī)范偏向的估計值，即 根據(jù)此式求出的規(guī)范偏向，可用來表征在給定的等精根據(jù)此式求出的規(guī)范偏向，可用來表征在給定的等精度條件下任一次丈量結果的離散程度，因此，又稱為單次度條件下任一次丈量結果的離散程度，因此，又稱為單次丈量的規(guī)范偏向。丈量的規(guī)范偏向。2. 2. 規(guī)范偏向規(guī)范偏向niiniinxxn121211)(11第三節(jié)第三節(jié) 隨機誤差及其估算隨機誤差及其估算 由于實踐的丈量次

34、數(shù)有限，算術平均值畢竟還不是真由于實踐的丈量次數(shù)有限，算術平均值畢竟還不是真值，其本身也含有隨機誤差。假假設各觀測值服從正態(tài)分值，其本身也含有隨機誤差。假假設各觀測值服從正態(tài)分布，那么算術平均值也是服從正態(tài)分布的隨機變量。布，那么算術平均值也是服從正態(tài)分布的隨機變量。 可以證明，算術平均值的規(guī)范偏向為：可以證明，算術平均值的規(guī)范偏向為： 以估計值替代，算術平均值的規(guī)范偏向的估計值為：以估計值替代，算術平均值的規(guī)范偏向的估計值為：3. 3. 算術平均值的規(guī)范偏向算術平均值的規(guī)范偏向nxnx 第三節(jié)第三節(jié) 隨機誤差及其估算隨機誤差及其估算 三、置信區(qū)間和置信概率三、置信區(qū)間和置信概率如前所述，用有

35、限次丈量結果的算術平均值來替代被如前所述，用有限次丈量結果的算術平均值來替代被丈量的數(shù)學期望，必然會存在一個隨機誤差丈量的數(shù)學期望，必然會存在一個隨機誤差mm：xmMx該誤差該誤差mm的絕對值小于給定的任一微小量的絕對值小于給定的任一微小量的概率的概率PcPc為：為：)()(xxxCMxMPMxPP第三節(jié)第三節(jié) 隨機誤差及其估算隨機誤差及其估算 )()(xxCMxMPP上式中，區(qū)間上式中，區(qū)間(Mx-, Mx+)(Mx-, Mx+)表示算術平均值在規(guī)定表示算術平均值在規(guī)定概率下能夠的變化范圍，稱為置信區(qū)間。置信區(qū)間闡明了概率下能夠的變化范圍，稱為置信區(qū)間。置信區(qū)間闡明了丈量結果的離散程度，可作

36、為丈量精細度的標志。丈量結果的離散程度，可作為丈量精細度的標志。算術平均值落入某一置信區(qū)間的概率闡明丈量結果的算術平均值落入某一置信區(qū)間的概率闡明丈量結果的可靠性，亦即值得信任的程度，稱為置信概率?？煽啃?，亦即值得信任的程度，稱為置信概率。給出了在一定概率下隨機誤差的極限值，稱為極限給出了在一定概率下隨機誤差的極限值，稱為極限誤差或誤差限。在無系統(tǒng)誤差的情況下，誤差或誤差限。在無系統(tǒng)誤差的情況下， 也稱為隨也稱為隨機不確定度，通常表示為：機不確定度，通常表示為：tK第三節(jié)第三節(jié) 隨機誤差及其估算隨機誤差及其估算 置信系數(shù)置信系數(shù)Kt置信概率置信概率PC0.67450.5=50%1.00000.

37、6827=68.27%1.96000.95=95%2.00000.9545=95.45%3.00000.9973=99.73KtKt與與PCPC的關系的關系工程丈量常用工程丈量常用 估計隨機誤差的范圍，超越估計隨機誤差的范圍，超越 者作為疏失誤差處置。即取者作為疏失誤差處置。即取 為極限誤差，它的置信概為極限誤差，它的置信概率為率為99.73%99.73%。333第四節(jié)第四節(jié) 誤差的綜合誤差的綜合 誤差的綜合：誤差的綜合： 在知各部分誤差的根底上求函數(shù)的誤差，稱為誤差的在知各部分誤差的根底上求函數(shù)的誤差，稱為誤差的綜合，也稱為誤差的傳送。綜合，也稱為誤差的傳送。在普通丈量中，間接丈量值在普通丈

38、量中，間接丈量值Y Y是各個直接丈量值是各個直接丈量值X1,X2,Xj,XmX1,X2,Xj,Xm的多元函數(shù)，的多元函數(shù)，),(,21mjXXXXfY一、函數(shù)誤差的根本關系式一、函數(shù)誤差的根本關系式多元函數(shù)的增量可用函數(shù)的全微分表示為：多元函數(shù)的增量可用函數(shù)的全微分表示為：第四節(jié)第四節(jié) 誤差的綜合誤差的綜合 mmjjdXXfdXXfdXXfdXXfdY2211上式稱為函數(shù)誤差的根本關系式。以上式稱為函數(shù)誤差的根本關系式。以dXjdXj表示各個直表示各個直接丈量值的誤差，以接丈量值的誤差，以 表示各個誤差的傳送系數(shù)，那表示各個誤差的傳送系數(shù)，那么么dYdY為函數(shù)為函數(shù)Y Y的誤差。的誤差。jXf

39、例如，設函數(shù)關系為例如，設函數(shù)關系為),(sinnxxxf21那么，正弦函數(shù)的角度誤差公式為那么，正弦函數(shù)的角度誤差公式為)(cosnndxxfdxxfdxxfd22111第四節(jié)第四節(jié) 誤差的綜合誤差的綜合 二、系統(tǒng)誤差的綜合公式二、系統(tǒng)誤差的綜合公式一已定系統(tǒng)誤差的綜合一已定系統(tǒng)誤差的綜合 假設在前面所述的函數(shù)中各假設在前面所述的函數(shù)中各XjXj之間彼此獨立無關，且之間彼此獨立無關，且只含有大小及符號均知的已定系統(tǒng)誤差只含有大小及符號均知的已定系統(tǒng)誤差jj，那么函數(shù)，那么函數(shù)Y Y將將產(chǎn)生一個已定系統(tǒng)誤差產(chǎn)生一個已定系統(tǒng)誤差YY，即為，即為mjjjYXf1)(表示為相對誤差的方式：表示為相對

40、誤差的方式：mjjjYYXfYY1)(第四節(jié)第四節(jié) 誤差的綜合誤差的綜合 二函數(shù)的系統(tǒng)不確定度二函數(shù)的系統(tǒng)不確定度 系統(tǒng)的不確定度反映了系統(tǒng)誤差變化范圍的大小。函系統(tǒng)的不確定度反映了系統(tǒng)誤差變化范圍的大小。函數(shù)數(shù)Y Y的不確定度有兩種求法：的不確定度有兩種求法：1 1算術綜合法絕對值綜合法算術綜合法絕對值綜合法mjxjYjXf1Y函數(shù)函數(shù)Y Y間接丈量值的系統(tǒng)不確定度間接丈量值的系統(tǒng)不確定度jX自變量自變量XjXj直接丈量值的系統(tǒng)不確定度直接丈量值的系統(tǒng)不確定度第四節(jié)第四節(jié) 誤差的綜合誤差的綜合 2 2方和根法方和根法mjxjYjXf12此方法在部分誤差的個數(shù)越多時，越接近實踐情況。此方法在部

41、分誤差的個數(shù)越多時，越接近實踐情況。432RRRRx【例】設有某平衡電橋檢測線路，假設以被測電阻【例】設有某平衡電橋檢測線路，假設以被測電阻RxRx作為作為電橋的第一臂，那么電橋的第一臂，那么RxRx可表示為另外三個橋臂知電阻的函可表示為另外三個橋臂知電阻的函數(shù)，其函數(shù)關系如下：數(shù)，其函數(shù)關系如下：第四節(jié)第四節(jié) 誤差的綜合誤差的綜合 三、隨機誤差的綜合公式三、隨機誤差的綜合公式 假設間接丈量值假設間接丈量值Y Y為直接丈量值為直接丈量值X1X1和和X2X2的函數(shù)，即的函數(shù)，即 假設對假設對X1X1進展了進展了n n次丈量，對次丈量，對X2X2進展了進展了k k次丈量，在無次丈量，在無系差的情況

42、下，以系差的情況下，以jj替代前式中的替代前式中的dXjdXj，那么可寫出函數(shù)，那么可寫出函數(shù)Y Y的隨機誤差為：的隨機誤差為：),(21XXfY li21,分別為分別為X1X1和和X2X2的隨機誤的隨機誤差差),;,(klniXfXfliilY21212211第四節(jié)第四節(jié) 誤差的綜合誤差的綜合 經(jīng)過整理，上式變?yōu)椋航?jīng)過整理，上式變?yōu)椋?此式描畫了間接丈量結果的規(guī)范偏向與各直接被丈量此式描畫了間接丈量結果的規(guī)范偏向與各直接被丈量的規(guī)范偏向的關系。的規(guī)范偏向的關系。 推行情況：推行情況：222221221xxYXfXf)()(mjxjxmxxYjmXfXfXfXf12222222221221)(

43、)()()(第四節(jié)第四節(jié) 誤差的綜合誤差的綜合 用相應的估計值代入各規(guī)范偏向，可得函數(shù)用相應的估計值代入各規(guī)范偏向，可得函數(shù)Y Y的規(guī)范偏的規(guī)范偏向估計值為：向估計值為：mjxjxmxxYjmXfXfXfXf12222222221221)()()()(mjXjYjXf12)( 上兩式即為普通函數(shù)的隨機誤差傳送公式。上式兩端同上兩式即為普通函數(shù)的隨機誤差傳送公式。上式兩端同時乘以一樣的置信系數(shù)時乘以一樣的置信系數(shù)C C，即可得函數(shù)，即可得函數(shù)Y Y的隨機不確定度。的隨機不確定度。第四節(jié)第四節(jié) 誤差的綜合誤差的綜合 四、系統(tǒng)不確定度與隨機不確定度的綜合四、系統(tǒng)不確定度與隨機不確定度的綜合 在實踐丈

44、量過程中，應該同時思索系統(tǒng)不確定度和隨在實踐丈量過程中，應該同時思索系統(tǒng)不確定度和隨機不確定度同時存在的情況，綜合的結果稱為總的不確定機不確定度同時存在的情況，綜合的結果稱為總的不確定度。其綜合方法有兩種：度。其綜合方法有兩種：1 1絕對值綜合法絕對值綜合法)(YYu2 2方根綜合法方根綜合法22YYu第五節(jié)第五節(jié) 丈量結果的數(shù)據(jù)處置丈量結果的數(shù)據(jù)處置 一、丈量結果的表示方法與有效數(shù)字的處置原那么一、丈量結果的表示方法與有效數(shù)字的處置原那么 常見的丈量結果表示方法是在觀測值或多次觀測結果常見的丈量結果表示方法是在觀測值或多次觀測結果的算術平均值后加上相應的誤差限。的算術平均值后加上相應的誤差限

45、。一丈量結果的數(shù)字表示方法一丈量結果的數(shù)字表示方法1.1.單次丈量結果的表示方法單次丈量結果的表示方法 XX0置信概率置信概率PC=68.3%PC=68.3%2.n2.n次丈量結果的表示方法次丈量結果的表示方法XCXX0第五節(jié)第五節(jié) 丈量結果的數(shù)據(jù)處置丈量結果的數(shù)據(jù)處置 一個數(shù)據(jù)，從左邊第一個非零數(shù)字起至右邊含有誤差一個數(shù)據(jù)，從左邊第一個非零數(shù)字起至右邊含有誤差的一位止，中間的一切數(shù)碼均為有效數(shù)字。的一位止，中間的一切數(shù)碼均為有效數(shù)字。二有效數(shù)字的處置原那么二有效數(shù)字的處置原那么2.2.數(shù)據(jù)舍入規(guī)那么數(shù)據(jù)舍入規(guī)那么 4 4舍舍6 6入入5 5看右看右1.1.有效數(shù)字的根本概念有效數(shù)字的根本概念

46、原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字12.32612.3365.841265.8443.485343.495.8355.848.24508.24第五節(jié)第五節(jié) 丈量結果的數(shù)據(jù)處置丈量結果的數(shù)據(jù)處置 3.3.有效數(shù)字運算規(guī)那么有效數(shù)字運算規(guī)那么參與運算的常數(shù)入?yún)⑴c運算的常數(shù)入、e e等數(shù)值，有效數(shù)字的位數(shù)可以不等數(shù)值，有效數(shù)字的位數(shù)可以不受限制，需求幾位就取幾位。受限制，需求幾位就取幾位。加減運算加減運算 在不超越在不超越1010個數(shù)據(jù)相加減時，要把小數(shù)位數(shù)個數(shù)據(jù)相加減時，要把小數(shù)位數(shù)多的進展舍入處置，使比小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)只多一位小多的進展舍入處置，使比小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)只多一位小數(shù)；計算結果應保管的小數(shù)位數(shù)要與原數(shù)據(jù)中有效數(shù)字數(shù)；計算結果應保管的小數(shù)位數(shù)要與原數(shù)據(jù)中有效數(shù)字位數(shù)最少者一樣。位數(shù)最少者一樣。乘除運算乘除運算 在兩個數(shù)據(jù)相乘除時，要把有效數(shù)字多的數(shù)在兩個數(shù)據(jù)相乘除時，要把有效數(shù)字多的數(shù)據(jù)作舍入處置，使之比有效數(shù)字少的