特征值與特征向量學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1特征值與特征向量特征值與特征向量第一頁，共16頁。12121 1220,ttttk kkxkkkA 則對于不全為零的任意常數(shù) 為 的對應(yīng)于特征值 的全部特征向量.11020 ,.413A-2 設(shè)A=求 的特征值和特征向量例6例6212311|020(2) (1)4131,2AAIA 的特征多項(xiàng)式為-2-所以 的特征值為解解第2頁/共16頁第二頁，共16頁。11111,)0(1,0,1)(0)1.TAI xk p k 11 當(dāng)時(shí) 解方程組(得基礎(chǔ)解系 p所以是對應(yīng)于的全部特征向量3223323232,2 )0(1,4,0)(1,0,4)(,)2.TTAI xk pk p k k223 當(dāng)

2、時(shí) 解方程組(得基礎(chǔ)解系 p,p所以不全為零 是對應(yīng)于的全部特征向量1231122331 2 33,3,4,|4,AaaaAAA 由例題6知道,矩陣A的特征值之和而矩陣 的主對角線上元素之和也為3,即矩陣的特征值之積而矩陣 的行列式當(dāng)然這一結(jié)論并不是偶然的,它在一般情況下也是成立的.第3頁/共16頁第三頁，共16頁。1212121122(),(), (1)(2),(:)ijn nnnnnnnAaAaaatrAtrAA 設(shè) 階方陣的n個(gè)特征值為重特征值按重?cái)?shù)算則有 注稱為矩陣 的跡定理定理(dngl)312121121 21 21 2(1),| ()()()()( 1)0,| ( ),|nnnn

3、nnnnnAIAAA n 由于為 的特征值故 =令得即 證證第4頁/共16頁第四頁，共16頁。(2) 由于由于(yuy)11121212221211221|,nnnnnnnnnnaaaaaaIAaaaaaa的行列式的展開中 注對角線的乘積 ()() ()是其中的一項(xiàng),再由行列式的定義可知:展開式中的其余項(xiàng)至多包含n-2個(gè)主對角線上的元素,因此| I-A|中含與的項(xiàng)只能在主對角線元素乘積項(xiàng)中出現(xiàn),故有111221121122()( 1) |nnnnnnnnaaaAaaa n | I-A|=比較前的系數(shù)可得 =trA 推論推論(tuln)n階方陣階方陣(fn zhn)A可逆的充要條件是可逆的充要條

4、件是A的的n個(gè)特征值非零個(gè)特征值非零.第5頁/共16頁第五頁，共16頁。010., 1(3) A,mmAxkAxmAA00 設(shè) 是方陣 對應(yīng)于特征向量 的特征值證明(1) 對實(shí)數(shù)k,k 是對應(yīng)于特征向量 的特征值;(2) 對正整數(shù)為方陣的一個(gè)特征值.若 可逆的 則為的一個(gè)特征值 例例7 7*00000|. A (1) ()()()() ,. AAxxkA xk AxkxkxkkAx 為 的一個(gè)特征值由題意知即是對應(yīng)于特征向量 的特征值證 證 1120022000(2)()()().mmmmmmmmA xAAxAxAAxAxxAx 即是對應(yīng)于特征向量 的特征值第6頁/共16頁第六頁，共16頁。1

5、0110010*1*0(3)0,1,1|,|AAAxxxAxAxxAxAA AAAx0 當(dāng) 可逆時(shí),由定理3的推論可知用左乘 兩邊得 即所以為對應(yīng)于特征向量 的特征值.由于由上面的結(jié)論以及(1)可得 為對應(yīng)于特征向量 的特征值.0007,( ),( )( ).miiimmiiiiiinAf xa xfaf Aa A由例題 的結(jié)論進(jìn)一步還可得下面的結(jié)論:若 為 階方陣 的特征值 對任一個(gè)多項(xiàng)式,即則為矩陣的特征值第7頁/共16頁第七頁，共16頁。2222222,01;(2)1;(3);(1)7,)0,0,0,AAAAxAxxA xxAAA xAxxxxxx2k (1)設(shè)n階方陣A滿足A證明 的特

6、征值為 或設(shè)n階方陣A為正交矩陣,證明 的特征值為1或-設(shè)n階方陣A滿足A =0(k為某一正整數(shù)),證明 的特征值全為0設(shè) 為方陣A的任一特征值,則存在非零向量 使 由例題 可知,又故從而有 即(又故因此例8例8證 證 22201;(2),(1)0,0010,11;(3)7,0,00,0,0,0,0TTTTTTTTTTTTTTkkkkkkAxxx Axx A Axxxx xA AIx A Axx Ixx xx xxx xA xxAA xxxx 或由得從而可得 又因A為正交矩陣即所以綜上可得因得即或由例題 可知,又故從而有 又故得第8頁/共16頁第八頁，共16頁。3,12,.,()01 030,

7、20121 01,3,0aba bAIaabbab 12-12已知 = 1 是矩陣A= 5的一個(gè)特征向量-1試確定參數(shù)及特征向量 所對應(yīng)的特征值 設(shè) 所對應(yīng)的特征值為 則可得 2-121即51也即-1解得 例例9 9 解解第9頁/共16頁第九頁，共16頁。113(11,Axx274-1 已知矩陣A=47-1 的特征值為且 為 特征-44方程的二重根)和求 的值 并求出其特征向量.例101111122222773 3 11,33,3 )0,(1,1,8) ,3(0).11 ,11 )0,(1,1,0) ,11(0).TTtrAxxAI xxk p kAI xxk p k 12 由定理3可知得當(dāng)時(shí)

8、 解方程組(得它的基礎(chǔ)解系p所以 對應(yīng)于的特征向量為 當(dāng)時(shí) 解方程組(得它的基礎(chǔ)解系p所以 對應(yīng)于的特征向量為 解解第10頁/共16頁第十頁，共16頁。121212 ,.mmmAmx xxx xx 設(shè)為方陣 的 個(gè)互不相同的特征值依次為對應(yīng)的特征向量 則線性無關(guān) 即屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)定理4 定理4 121211 1222121 1221 1221 1 12221222122,0)0(1)(2)()00,x xAxx Axxk xk xk xk xkxkxxxk 12我們用數(shù)學(xué)歸納法來證明當(dāng)m=2時(shí),設(shè)為A的對應(yīng)于的兩個(gè)特征向量. 令 (1)則有 A( (2)由得 k因所以證證 2

9、11 122111 12221110,0(1)0,2.00rrrrrrrrrrkkmmrk xk xk xkxk xk xk xkx1把代入得即定理對于成立設(shè)定理對于時(shí)成立,現(xiàn)證對于m=r+1時(shí),定理成立.令 (3)用A左乘(3),得 (4) 第11頁/共16頁第十一頁，共16頁。11112122112111121(3)(4)()()()0,()0,1,2, ,0,1,2,0,1,2, ,(3)0.,.rrrrrrrriririrrrkxkxkxx xxkiririrx xx x1i得由歸納假設(shè)可知線性無關(guān) 因此又從而k代入得從而k即線性無關(guān),.,()0.iiiiiiiiiiiAkkAkkAIA x設(shè) 為 的 重特征值 則屬于 的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不大于為 的 重特征值 則稱 為 的代數(shù)重?cái)?shù)若 為 的特征值 則稱齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為 的幾何重?cái)?shù)注注: :第12頁/共16頁第十二頁，共16頁。,1TAIAA且且例11 設(shè)A是奇數(shù)(j sh)階實(shí)矩陣，.1:的特征值的特征值是是證明證明A ?| 0?AIA 分析：證證TIAA AAAI AIA T 0 .IA 第13頁/共16頁第十三頁，共16頁。思考題思考題 ：？特征值特征值的的都是某個(gè)矩陣都是某個(gè)矩陣是否任一數(shù)是否任一數(shù)A0.1 0.,0.0A是比如？特征向量特征向量的的都是某個(gè)矩陣都是某個(gè)矩陣是否任一列