11級第4次習(xí)題_思考題參考答案

1、11級第4次習(xí)題思考題參考答案1、將布洛赫函數(shù)中的調(diào)制因子uk(r)展成傅立葉級數(shù)，對于近自由電子，當(dāng)電子波矢遠(yuǎn)離和在布里淵區(qū)邊界上兩種情況下，此級數(shù)有何特點(diǎn)？在緊束縛模型下，此級數(shù)又有什么特點(diǎn)?答：由布洛赫定理可知，晶體中電子的波函數(shù):k(r)exp(ikr)Uk(r)具體寫出u的形式，并論證對比本教科書(4-24)式的一維形式和(4-46)的三維形式的修正項(xiàng),其周期性，以一維的為例：將k(x)變形得:則有k(x)1ikx,J1Vn-k2(k2m-2ani2x-ea)2Uk(x)h222mk叢e(kn2)2ai2Uk(xma)h22京k(kn，、i2_(xma)一ea)2n2ai2e)2n&

2、#165;i2aemn(m為整數(shù))因?yàn)閙n為整數(shù)，所以ei2mn1,uk(xma)Vnh2i2e2m2n2k(k-2)可見，Uk(x)是周期函數(shù)，于是有:k(x)1ikx忑eUk(x)在緊束縛模型下，電子的波函數(shù)是本教科書(4-57)式，再此基礎(chǔ)上寫出u的形式，并論證其周期性(過程略)。2、波矢空間與倒格空間有何關(guān)系？為什么說波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)是準(zhǔn)連續(xù)的?答：波矢空間與倒格空間處于同一空間，倒格空間的基矢分別為bib2b2的基矢可以認(rèn)為也是b,b2,b3，但是受周期性限制，波矢空間的基矢則分別為NiN2N2Ni、N2、N3分別是沿正格子基矢a1,a2,a3方向晶體的原胞數(shù)目。倒格矢空間中一個倒

3、格點(diǎn)對應(yīng)的體積為：*bi(b2b3)波矢空間中一個波矢點(diǎn)對應(yīng)的體積為：*bi(b2b3_)_N?N?NTN即波矢空間中一個波矢點(diǎn)對應(yīng)的體積，是倒格空間中一個倒格點(diǎn)對應(yīng)的體積的i/N。由于N是晶體的原胞數(shù)目，數(shù)目巨大，所以一個波矢點(diǎn)對應(yīng)的體積與一個倒格點(diǎn)對應(yīng)的體積相比是極其微小的。也就是說，波矢點(diǎn)在倒格空間看是極其稠密的。因此，在波矢空間內(nèi)作求和處理時，可把波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)看成是準(zhǔn)連續(xù)的。3、簡敘緊束縛近似方法的思想。答：電子在一個原子(格點(diǎn))附近時，主要受到該原子勢場的作用，而將其它原子(格點(diǎn))勢場的作用看作是微擾，將晶體中電子的波函數(shù)近似看成原子軌道波函數(shù)的線性組合，這樣可以得到原子能級和

4、晶體中能帶之間的關(guān)系。一個原子能級i對應(yīng)一個能帶，不同的原子能級對應(yīng)不同的能帶。當(dāng)原子形成固體后，形成了一系列的能帶。能量較低的能級對應(yīng)內(nèi)層電子，其軌道較小，原子之間內(nèi)層電子的波函數(shù)相互重疊較少，所以對應(yīng)的能帶較窄。能量較高的能級對應(yīng)外層電子，其軌道較大，原子之間外層電子的波函數(shù)相互重疊較多，所以對應(yīng)的能帶較寬。4、近自由電子模型與緊束縛模型各有何特點(diǎn)？它們有相同之處？答：所謂近自由電子模型就是認(rèn)為電子接近于自由電子狀態(tài)的情況，而緊束縛模型則認(rèn)為電子在一個原子附近時，將主要受到該原子場的作用，把其它原子場的作用看成微擾作用。這兩種模型的相同之處是：選取一個適當(dāng)?shù)木哂姓恍院屯陚湫缘牟悸搴詹ㄐ问?/p>

5、的函數(shù)集，然后將電子的波函數(shù)在所選取的函數(shù)集中展開，其展開式中有一組特定的展開系數(shù)，將展開后的電子的波函數(shù)代入薛定謂方程，利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交性，可以得到一組各展開系數(shù)滿足的久期方程。這個久期方程組是一組齊次方程組，由齊次方程組有解條件可求出電子能量的本征值，由此便揭示出了系統(tǒng)中電子的能帶結(jié)構(gòu)。5、緊束縛模型電子的能量是正值還是負(fù)值？答：緊束縛模型電子在原子附近的幾率大，遠(yuǎn)離原子的幾率很小，在原子附近它的行為同在孤立原子的行為相近。因此，緊束縛模型電子的能量與在孤立原子中的能量相近。孤立原子中電子的能量是一負(fù)值，所以緊束縛模型電子的能量是負(fù)值。s態(tài)電子能量表達(dá)式：EsEsatJoJ(R

6、s)eikRsRsnearerr即是例證，其中孤立原子中電子的能量E：t是主項(xiàng)，是一負(fù)值，Jo和J(Rs)是小量，也是負(fù)值。6、與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對什么狀態(tài)的電子具有強(qiáng)烈的散射作用？答：當(dāng)電子的波矢k滿足關(guān)系式：GnGn(k-)02時，與布里淵區(qū)邊界平行且垂直于Gn的晶面族對波矢為k的電子具有強(qiáng)烈的散射作用。此時，電子的波矢很大，波矢的末端落在了布里淵區(qū)邊界上，k垂直于布里淵區(qū)邊界的分量的模等于叵豆。27、在布里淵區(qū)邊界上電子的能帶有何特點(diǎn)？答：電子的能帶依賴于波矢的方向，在任一方向上，在布里淵區(qū)邊界上，近自由電子的能帶一般會出現(xiàn)禁帶。若電子所處的邊界與倒格矢Gn正交，則禁帶的寬度Eg

7、=2|V(Gn)|。V(Gn)是周期勢場的傅立葉級數(shù)的系數(shù)。不論何種電子，在布里淵區(qū)邊界上，其等能面在垂直于布里淵區(qū)邊界的方向上的斜率為零，即電子的等能面與布里淵區(qū)邊界正交。8、緊束縛模型下，內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較，哪一個寬？為什么？答：以s態(tài)電子為例。緊束縛模型電子能帶的寬度取決于積分Js的大小，而積分：,*atatatJsNs(r)V(r)V(rRn)s(rRn)dr的大小又取決于；,()與相鄰格點(diǎn)的a'"Rn)的交迭程度。緊束縛模型下，內(nèi)層電子的atatatats(r)與s(rRn)交疊程度小，外層電子的s(r)與s(rRn)交迭程度大。因此，緊束縛模型下

8、，內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較窄，外層電子的能帶寬。9、根據(jù)能帶理論簡述金屬、半導(dǎo)體和絕緣體的導(dǎo)電性。答：對于金屬：電子在能帶中的填充可以形成不滿帶，即導(dǎo)帶，因此它們一般是導(dǎo)體。對于半導(dǎo)體：從能帶結(jié)構(gòu)來看與絕緣體的相似，但半導(dǎo)體禁帶寬度較絕緣體的窄，依靠熱激發(fā)即可以將滿帶中的電子激發(fā)到導(dǎo)帶中，因而具有導(dǎo)電能力。對于絕緣體：價電子剛好填滿了許可的能帶，形成滿帶。導(dǎo)帶和價帶之間存在一個很寬的禁帶，所以在電場的作用下沒有電流產(chǎn)生。10、絕對零度時，價電子與晶格是否交換能量？答：晶格的振動形成格波，價電子與晶格交換能量，實(shí)際是價電子與格波交換能量。波的能量子稱為聲子，價電子與格波交換能量可視為

9、價電子與聲子交換能量。頻率為的格波的聲子數(shù):ei/kBT1從上式可以看出，絕對零度時，任何頻率的格波的聲子全都消失。因此，絕對零度時，價電子與晶格不再交換能量。11、試述晶體中的電子作準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動的條件和準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動的基本公式。答：在實(shí)際問題中，只有當(dāng)波包的尺寸遠(yuǎn)大于原胞的尺寸，才能把晶體中的電子看做準(zhǔn)經(jīng)典粒子。準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動的基本公式有：晶體電子的準(zhǔn)動量為晶體電子的速度為晶體電子受到的外力為晶體電子的倒有效質(zhì)量張量為pk；1 一.、vkE(k);Fdkdt2112E(k)*9mkkdk出-(EvB)dvdt(EvmB)在外加電磁場作用下，晶體電子的狀態(tài)變化滿足:12、試述有效質(zhì)量的意義。引入它有何用

10、處？答：有效質(zhì)量實(shí)際上是包含了晶體周期勢場作用的電子質(zhì)量，它的引入使得晶體中電子準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動的加速度與外力直接聯(lián)系起來了，就像經(jīng)典力學(xué)中牛頓第二定律一樣，這樣便于我們處理外力作用下晶體電子的動力學(xué)問題。13、一維周期場中電子的波函數(shù)k(x)應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理。若晶格常數(shù)為a,電子的波函.3數(shù)為：k(x)sinx；(2)k(x)icosx；(3)k(x)f(xia)(其中f為某aai個確定的函數(shù))。試求電子在這些狀態(tài)的波矢，并給出相應(yīng)的布洛赫函數(shù)。答：布洛赫函數(shù)可寫成k(x)e1kxUk(x),其中，Uk(xa)Uk(x)或?qū)懗蒶(xa)eikak(x)xax(1)k(xa)sinsin-k(x)

11、aaikae1i_xi_xk(x)eaeasinxai_xeauk(x)顯然有uk(xa)uk(x)故布洛赫函數(shù)為：uk(x)i_xeasinx；而k(x)asin-x的波矢是一。(2)k(xa)icos"aa)3xicosak(x)所以ikae1k(x)ixea3xicosaixeauk(x)顯然有uk(xa)Uk(x)故布洛赫函數(shù)為:Uk(x)i_xaicos3x;而ak(x)3icosxa的波矢一。ak(xa)f(xia)fx(i1)af(xma)k(x)ikae1i0ak(x)ef(xia)10xeuk(x)故布洛赫函數(shù)為：uk(x)f(xia)；而k(x)f(xia)的波矢

12、為0。*要注意的是，上述所確定的波矢k并不是唯一的，這些k值加上任一倒格矢都是所需的解。因?yàn)閗空間中相差任一倒格矢的兩個k值所描述的狀態(tài)是一樣的。14、已知一維晶體的電子能帶可寫成:L”、J,1、E(k)2(coska-cos2ka)。ma288式中a是晶格常數(shù)。試求(1)能帶的寬度；(2)電子在波矢k的狀態(tài)時的速度；(3)能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量。答：(1)在能帶底k=0處,電子能量為E(0)=0;在能帶頂k一處，電子能量為a22E(-)2ama故能帶寬度為E(2)電子在波矢k的狀態(tài)時的速度為(k)1dEhdkma，一1.(sinkasin2ka)422E(-)E(0)2；ama2.d2Edk2(3)電子的有效質(zhì)量為m1coska-cos2ka2于是有在能帶底部電子的有效質(zhì)量為m12m；在能帶頂部電子的有效質(zhì)量為*2m2m。3V。,寬度為15、在晶體中，電子在周期勢場中運(yùn)動，此周期勢是電子同所有原子和所有其它電子的庫侖作用勢產(chǎn)生的。設(shè)某一維金屬晶體內(nèi)的勢場是鋸齒勢，如圖所示，鋸齒高度為a,勢的周期也為a,試寫出該勢的表達(dá)式并求出該金屬的能帶寬度。答：這種鋸齒勢的表達(dá)式為:V(x)x2Vo