第一類曲線積分-ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 第一類曲線積分第一類曲線積分一、曲線積分的概念一、曲線積分的概念本章要點(diǎn)本章要點(diǎn)二、第一類曲線積分的計(jì)算方法二、第一類曲線積分的計(jì)算方法 1.柱面的面積柱面的面積一、第一類曲線積分的概念一、第一類曲線積分的概念.Ash 設(shè) 是一張母線平行于 軸，準(zhǔn)線為 平面上曲線的柱面的一部分，高度為求曲面的面積.zxoyL ,h x yx yL 分析分析 假設(shè)假設(shè) 是常量，那么曲是常量，那么曲面面面面積為曲線的長(zhǎng)度與積為曲線的長(zhǎng)度與 之積之積. 即即:h,h x y,iiiM ,h x yyOxzBA( , ),iiiiAhs 由此得到曲面面積的近似值由此得到曲面面積的近似值其中其中: s為曲

2、線的弧長(zhǎng)為曲線的弧長(zhǎng). 假設(shè)假設(shè) 不是常量，那么思不是常量，那么思索用索用分割的方法求之分割的方法求之.,h x y 在曲線在曲線L上插入上插入 個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn) 在小弧在小弧段段 上取點(diǎn)上取點(diǎn) 并用并用 作為相應(yīng)小柱面作為相應(yīng)小柱面的高度，從而得到小柱面的面積的的高度，從而得到小柱面的面積的近似值近似值1iiMMn121,nM MM,ii ,iih ,iiiM ,h x yyOxzBA01lim( ,).niiiiAhs 即，曲面的面積可以表達(dá)為一個(gè)即，曲面的面積可以表達(dá)為一個(gè)和式的極限和式的極限.1( ,).niiiiAhs 以以 表示表示 個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度，在上式取個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度，在上

3、式取 時(shí)的時(shí)的極限，那么有極限，那么有n0,iiiM ,h x yyOxzBA 2.曲線型構(gòu)件的質(zhì)量曲線型構(gòu)件的質(zhì)量.Ms 設(shè)一曲線型構(gòu)件，在設(shè)一曲線型構(gòu)件，在 平面上為曲線平面上為曲線 密度函數(shù)為密度函數(shù)為 求此曲線構(gòu)件的質(zhì)量求此曲線構(gòu)件的質(zhì)量.xoyL,x y 分析分析 假設(shè)假設(shè) 為常數(shù)，那么質(zhì)量為密度與弧長(zhǎng)為常數(shù)，那么質(zhì)量為密度與弧長(zhǎng)之之積，即積，即:, x y1iiMM假設(shè)假設(shè) 為變量，依然思索分割：為變量，依然思索分割：在在曲線上插入曲線上插入 個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn)在小弧段在小弧段 上取點(diǎn)上取點(diǎn), x yn121,nM MM,ii ,ii xy1iMiMBA由此得到小弧段質(zhì)量的近似值由此得到

4、小弧段質(zhì)量的近似值:1(,),niiiiMs 01lim( ,).niiiiMs ( ,),iiiiMs 由此得到小弧段質(zhì)量的近似值由此得到小弧段質(zhì)量的近似值:以以 表示表示 個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度，在上式取個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度，在上式取 時(shí)的時(shí)的極限，那么有極限，那么有n0 3.曲線積分的定義曲線積分的定義01,nAMMMB1( ,)niiiifs 定義定義 設(shè)設(shè) 是是 平面內(nèi)以平面內(nèi)以 為端點(diǎn)的光滑曲線，函為端點(diǎn)的光滑曲線，函數(shù)數(shù) 在在 上有界上有界. 在在 上恣意插入一個(gè)點(diǎn)列上恣意插入一個(gè)點(diǎn)列Lxoy,A B( , ) f x yLL把把 分成分成 個(gè)小段，設(shè)第個(gè)小段，設(shè)第 個(gè)小段的弧長(zhǎng)為個(gè)小

5、段的弧長(zhǎng)為在上任取一點(diǎn)在上任取一點(diǎn) 作和作和1iiMM1iiMMLni,is,1,2,iiin ( , ).Lf x y ds即：即：01( , )lim( ,).niiiLif x y dsfs 記記 假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) 時(shí)，和式的極限存在，時(shí)，和式的極限存在，那么稱此極限為數(shù)量值函數(shù)那么稱此極限為數(shù)量值函數(shù) 在曲線在曲線 上的積分，上的積分，記作記作1max,ii ns 0,f x yL注：注：1.此類曲線積分又稱為第一類曲線積分或?qū)￠L(zhǎng)的此類曲線積分又稱為第一類曲線積分或?qū)￠L(zhǎng)的曲線積分曲線積分:( , ).Lf x y ds4.由前面的討論，可以看到柱面的面積可以由下面的計(jì)由前面的討論，可以

6、看到柱面的面積可以由下面的計(jì)算公式得到算公式得到( ,).LAh x y ds2.假設(shè)假設(shè) 是是 上的延續(xù)函數(shù)，那么曲線積分一定存在；上的延續(xù)函數(shù)，那么曲線積分一定存在；( , )f x yL3.假設(shè)假設(shè) 是閉曲線，那么曲線積分普通表示為是閉曲線，那么曲線積分普通表示為L(zhǎng)而曲線型構(gòu)件的質(zhì)量為而曲線型構(gòu)件的質(zhì)量為( ,) d .LMx ys5.由曲線積分的定義，不難得到如下的兩個(gè)性質(zhì)由曲線積分的定義，不難得到如下的兩個(gè)性質(zhì):( , )( , )dLf x yg x ys 有有,R ( , )d( , )d .LLf x ysg x ys12( , )d( , )d( , )d .LLLf x y

7、sf x ysf x ys假設(shè)曲線弧假設(shè)曲線弧 由曲線弧由曲線弧 和和 銜接而成的，那么銜接而成的，那么L1L2L 由此得到，假設(shè)由此得到，假設(shè) 是分段光滑曲線，是分段光滑曲線， 在在 上連上連續(xù)，那么曲線積分存在續(xù)，那么曲線積分存在.L( , ) f x yL二、第一類曲線積分的計(jì)算方法二、第一類曲線積分的計(jì)算方法( ) (),( )xx ttyy t ( , )dLf x ys 設(shè)平面光滑曲線弧設(shè)平面光滑曲線弧 由參數(shù)方程由參數(shù)方程L給出，函數(shù)給出，函數(shù) 在在 上延續(xù)，那么上延續(xù)，那么( , ) f x yL22 ( ), ( )( )( )df x ty txtytt 下面給出公式推導(dǎo)過(guò)

8、程下面給出公式推導(dǎo)過(guò)程:01,nAMMMB該點(diǎn)列對(duì)應(yīng)于一列單調(diào)遞增的參數(shù)值該點(diǎn)列對(duì)應(yīng)于一列單調(diào)遞增的參數(shù)值01.nttt由第一類曲線積分的定義由第一類曲線積分的定義01( , )lim( ,).niiiLif x y dsfs 設(shè)參數(shù)設(shè)參數(shù) 由由 變至變至 時(shí)，時(shí)， 上的點(diǎn)上的點(diǎn) 依點(diǎn)依點(diǎn) 到點(diǎn)到點(diǎn)在在 上從上從 到到 取點(diǎn)列取點(diǎn)列L,M x yA,BLABt122( )( ),iititsxtyt dt由積分中值定理，得由積分中值定理，得22( )( ),iiiisxyt其中，其中， 11,iiiiiittttt 因因,ii xy1iMiMBA取取 那那么么 ,iiiixy01( , )li

9、m( ,)niiiLif x y dsfs 而等式中的最后一式為函數(shù)而等式中的最后一式為函數(shù)22 ( ),( )( )( )f x ty txtyt在區(qū)間在區(qū)間 上的定積分上的定積分. 而由于被積函數(shù)延續(xù)，故而由于被積函數(shù)延續(xù)，故, 2201lim ( ), ( )( )( ),niiiiiif xyxyt積分存在，因此積分存在，因此( , )Lf x y ds特別地，假設(shè)曲線由方程特別地，假設(shè)曲線由方程( ) yy xaxb給出，那么相應(yīng)的曲線積分為給出，那么相應(yīng)的曲線積分為22 ( ), ( )( )( ).f x ty txtyt dt2( , ) , ( ) 1.bLaf x y ds

10、f x y xy dx 假設(shè)曲線由極坐標(biāo)方式假設(shè)曲線由極坐標(biāo)方式 給出，給出，那么那么( ) () 2222( )cos,( )sin,( )cos( )sin,( )sin( )cos,( )( ),xyxyxy 代入積分公式代入積分公式(1)，即有，即有( , )Lf x y ds22 ( )cos ,( )sin .fd 假設(shè)對(duì)空間分段光滑曲線假設(shè)對(duì)空間分段光滑曲線 , ,xx tyy ttzz t 是曲線上的延續(xù)函數(shù)，那么是曲線上的延續(xù)函數(shù)，那么, ,f x y z, ,f x y z ds222 ( ), ( ), ( ).f x ty t z txyz dt例例1 求求 其中其中2

11、2 ,Lxyds(cossin ): 02 .(sincos )xatttLtyattt 解解 ( sinsincos )cos ,(coscossin )sin ,xattttattyattttatt 222232 ()(1)xyxyatt故，由積分公式，得故，由積分公式，得222332320 2(12).Lxydsattdta例例2 求求 其中其中4433,Lxyds33cos: 0.2sinxatLtyat 解解 223 cossin ,3 sincos ,xatt yatt 223 sin cos ,xyatt代入相應(yīng)的積分公式，有代入相應(yīng)的積分公式，有44744333203cossi

12、nsin cosLxydsattttdt7775633322006sincossin.attdtata解解 由曲線積分的幾何意義，得由曲線積分的幾何意義，得 其中其中 為平為平面曲線面曲線 為錐面方程為錐面方程函數(shù)取函數(shù)取 為積分變量，那么有為積分變量，那么有,LAzds22,xyayLzy221.2adsx dydyayy例例3 求圓柱面求圓柱面 介于平面介于平面 和錐面和錐面 22xyay0z 之間的側(cè)面積之間的側(cè)面積22hzxya0,0 .ahxyzO2022aLhaAzdsaydyaayy將將 代入積分表達(dá)式，再由對(duì)稱性，得代入積分表達(dá)式，再由對(duì)稱性，得z02.aahdyahay解解

13、由微元素法，得由微元素法，得 ，故，故2dAxds120221LAxdsxx dx例例4 求曲線段求曲線段 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)所得曲面的軸旋轉(zhuǎn)所得曲面的面積面積.2012xyx y13220213x22xy 1dAxyzO22 21 .3例例5 設(shè)空間曲線，方程為設(shè)空間曲線，方程為cos ,sin , (02 ),xat yat zbtt 質(zhì)量密度為質(zhì)量密度為 求曲線的質(zhì)量求曲線的質(zhì)量222,xyz解解 由曲線型構(gòu)件的質(zhì)量計(jì)算公式由曲線型構(gòu)件的質(zhì)量計(jì)算公式:222 2220( , , )()Mx y z dsab tab dt22222234.3abab例例6 求心形線求心形線 的形心的形心(1 cos )(02 )a解解 由對(duì)稱性，得由對(duì)稱性，得 ，0y 021 coscos 2 sin2yLMxdsaad222042sin(12sin)sin222ad23508(sin2sin)22ad2325a 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)022 sin8 ,2Lsdsada故，故， 由此得到重心坐標(biāo)：由此得到重心坐標(biāo)： .4,5xa 4,05a例例7 求求 其中其中 為連為連23,xyz ds1,1,0 ,A 的線段的線段.3,3,4B解解 線段的方向?yàn)榫€段的方向?yàn)?故線段的方