平面三公理教學(xué)設(shè)計（梁竹）

1、 課堂教學(xué)設(shè)計表課程名稱 數(shù)學(xué) 設(shè)計者 梁竹 單位（學(xué)校） 南寧市第三中學(xué) 章節(jié)名稱必修211 平面 （第一課時） 學(xué)時1依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)課程標(biāo)準(zhǔn)：理解平面的三個公理教育技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)：SETC·S 本節(jié)(課)教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)： 知道平面的概念；能用文字語言、符號語言和圖形語言表述空間中的直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，了解三個公理及其作用；能力目標(biāo)：通過實(shí)例和多媒體直觀教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間想象能力；通過對生活中平面及其性質(zhì)的舉例、分析、總結(jié)歸納過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力以及體會類比的思想方法；情感目標(biāo)：通過學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)、操作和思維辯證，培養(yǎng)學(xué)生勇于批判、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神以及“

2、數(shù)學(xué)來源于生活”的唯物主義精神本節(jié)(課)教學(xué)內(nèi)容的分析“平面”是人教版高中數(shù)學(xué)必修2第2章的起始課在第1章學(xué)生已經(jīng)從整體角度認(rèn)識了柱、錐、臺、球等簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，接下來則需從局部的角度認(rèn)識空間幾何元素點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，從而進(jìn)一步認(rèn)識空間圖形，提高空間想象能力通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，首先學(xué)生認(rèn)識了新的幾何元素“平面”及其性質(zhì)，其次，學(xué)生首次經(jīng)歷將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言的過程，再次，在直觀感受的基礎(chǔ)上形成三個公理，學(xué)生初步體會歐幾里得公理化體系，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備因此這節(jié)課是有其重要的地位與價值與本節(jié)(課)相關(guān)的學(xué)生特征的分析學(xué)生在初中初步學(xué)習(xí)了平面幾何的相關(guān)知識，掌握了平面內(nèi)點(diǎn)、直

3、線的概念和性質(zhì)在教學(xué)設(shè)計時，可以類比“直線”來研究“平面”通過以前的學(xué)習(xí)，學(xué)生對平面幾何已有一定的分析和推理能力，初步具備了學(xué)習(xí)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的能力但學(xué)生以前接觸的大多是平面圖形，習(xí)慣于在平面上解決問題，空間想象能力、思維能力較弱 學(xué)法指導(dǎo)在教學(xué)中我會盡量給學(xué)生灌輸他們才是認(rèn)知的主體，是教學(xué)的主體，更是課堂的主角這一思想遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，盡可能地激發(fā)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程，讓學(xué)生自己成為學(xué)習(xí)知識的主動者，同時引導(dǎo)學(xué)生走出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的煩瑣與困境讓學(xué)生進(jìn)一步學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會探究教學(xué)方法啟發(fā)式，問題導(dǎo)學(xué)法教學(xué)重點(diǎn)理解平面的特點(diǎn)和三個公理，以及能用三種語言表述直線

4、與平面、平面與平面的位置關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)符號語言和圖形語言的準(zhǔn)確表示，學(xué)習(xí)公理的作用和意義教學(xué)手段普通教室 多媒體教室 網(wǎng)絡(luò)教室 專用教室 實(shí)驗(yàn)室 其他：板書設(shè)計 平面1平面的特征 4例題2平面的圖形及符號表示 5小結(jié)3三個公理 6作業(yè)教學(xué)過程一、概念的引入 問題1：觀察圖中的房屋，有你熟悉的空間圖形嗎? 進(jìn)一步用幾何畫板動態(tài)演示從該物體中抽取一個長方體出來，追問：長方體是由哪些幾何元素構(gòu)成的？ 設(shè)計意圖：從整體到局部，從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出數(shù)學(xué)模型，這么一棟賞心悅目的別墅竟然是由一些幾何體組成的，讓學(xué)生感受到自己生活在一個充滿幾何體的世界里！那么這些幾何體到底是怎樣的結(jié)構(gòu)呢？接著，以學(xué)生熟悉的長方體

5、為載體，提出新的問題，激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是必要的、有用的點(diǎn)、線、面是空間圖形的基本元素，它們構(gòu)成了千姿百態(tài)的世界在初中關(guān)于點(diǎn)和線，我們已經(jīng)詳細(xì)研究過了，那我們今天就和大家一起來探討一下平面及其基本性質(zhì)二、概念的生成問題2：（1）生活中有哪些例子給了我們直線形象？（2）直線有哪些基本特征？（3）怎么表示直線？學(xué)生通過討論給出如黑板的邊緣、空中劃過的閃電等都給我們以直線的形象，從而教師明確數(shù)學(xué)中的“直線”就是從同學(xué)們所舉的例子中抽象出來的 學(xué)生進(jìn)而給出直線的基本特征如：直的；向兩邊無限延伸；無粗細(xì)回憶了直線的表示方法：幾何上用線段表示直線，但是兩邊可以無限延長；符號表示是直線AB或

6、者直線a設(shè)計意圖：“抱住”直線學(xué)平面！學(xué)生曾經(jīng)學(xué)習(xí)過直線這一概念，這是他們已有的經(jīng)驗(yàn)任何人在學(xué)習(xí)時總會與自己已有的知識相聯(lián)系把直線這一原始概念議論透對直線概念的研究方法可以類比、遷移到對平面概念的研究中，這也有助學(xué)生理解抽象的平面概念板書時筆者將以上內(nèi)容作為一列寫在黑板的左邊，最上邊寫直線二字；之后，右邊寫上與直線相對應(yīng)的平面的有關(guān)內(nèi)容，最上邊寫平面二字，形成類比直線認(rèn)識平面的效果問題3：（1）生活中有哪些例子給了我們平面的形象？（2）平面有哪些基本特征？（3）怎么表示平面？學(xué)生交流舉出“桌面”、“黑板面”、“光滑的玻璃”、“平靜的水面”等，都給我們以平面的形象再從這些直觀印象中抽象出幾何里所

7、說的“平面”BCDA類比直線這一原始概念，不難得出平面具有“平的、無限延展、沒有厚薄”的基本特征再通過類比畫線段表示直線，我們畫矩形表示平面觀察角度原因水平放置成為平行四邊形符號上：類比直線的表示方法，將平面記作：平面ABCD，平面AC，平面設(shè)計意圖：縱觀平面概念的生成過程，a平面a我們通過類比直線認(rèn)識了平面，學(xué) 生體會到概念形成過程是自然的，對概念理解達(dá)到概念學(xué)習(xí)的水平同時把直觀與抽象，比較與類比這些思維方法貫穿于教學(xué)之中三、性質(zhì)的探究1、公理2在設(shè)計本節(jié)教學(xué)中，我打破了以往教學(xué)的傳統(tǒng)，將教材中的公理2放在公理1之前介紹，主要是從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律來考慮首先，你得有一個平面，然后才好說與平面有關(guān)

8、的事兩點(diǎn)確定一條直線，那么兩點(diǎn)能否確定一個平面？學(xué)生說：不能老師繼續(xù)提問：“在空間中至少需要幾個點(diǎn)才能確定一個平面？是三個呢？還是四個、五個呢？”兩位同學(xué)為一組，動手做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1：用手指頭將一塊硬紙板平衡地擺放在空間某一位置，至少需要幾個手指頭？引導(dǎo)學(xué)生歸納出公理2設(shè)計意圖：在動手操作、觀察感悟中獲取新知通過做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生感受滿足什么條件才可以確定一個平面，有利于降低學(xué)習(xí)難度，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，體會到該公理2的正確性公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會忽略“不在同一條直線上”，教師提出問題：在同一直線上的三點(diǎn)，能否確定一個平面？學(xué)生回

9、答不行，進(jìn)一步讓學(xué)生舉出反例也有學(xué)生可能會疑惑為什么是“三點(diǎn)可以確定一個平面？四點(diǎn)、五點(diǎn)可以嗎？”另外，通過提問“經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)的平面只有一個嗎？”讓學(xué)生感受到“有且只有”的內(nèi)涵師生共同探究：如何用圖形語言表示公理2，及公理2的作用？（因?yàn)閷W(xué)生第一次碰到文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言，確實(shí)對他們來說是一個難點(diǎn)，而且她們是高一的學(xué)生，必修二第一章的第一節(jié)沒有學(xué)習(xí)）設(shè)計意圖：給學(xué)生時間思考，畫出圖形，體會圖形的直觀師生共同體會公理2在生活中的簡單應(yīng)用比如相機(jī)、測量儀器的三角架定位、三角形所在平面的穩(wěn)定性等都是公理2的實(shí)際應(yīng)用公理2的內(nèi)容不僅給出了確定一個平面的依據(jù)，即“過不在一條直線的三點(diǎn)有一

10、個平面”；而且給出了這樣的平面具有唯一性，即“有且只有一個平面”另外，該公理還可以判斷直線與平面的位置關(guān)系，如不共線的三點(diǎn)中任意取兩點(diǎn)可以確定一條直線，則這條直線一定在不共線的三點(diǎn)確定的平面內(nèi)，從而為公理1打下鋪墊2、公理1確定“平面”以后，接下來我們就會想到“點(diǎn)”、“線”和新的對象“面”之間有什么關(guān)系了我們主要探討線與面，面與面的關(guān)系對新對象（平面）與已經(jīng)有的對象（直線）關(guān)系的關(guān)注滿足什么條件就可以說直線a在平面上呢？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2：如果把硬紙板看作一個平面，把你的筆看作是一條直線的話： (1)你能使筆上的一個點(diǎn)在平面內(nèi)，而其他點(diǎn)不在平面內(nèi)嗎？(2)你能使筆上的兩個點(diǎn)在平面內(nèi)，而其他點(diǎn)不在平面內(nèi)

11、嗎？引導(dǎo)學(xué)生歸納出平面的公理1設(shè)計意圖：通過筆和課桌面直觀感知原本難以想象的直線和平面的關(guān)系，有利于降低學(xué)習(xí)難度，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，體會到公理1的正確性公理1： 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)師生共同探究：如何用圖形語言表示？師生共同探究： 數(shù)學(xué)符號更簡潔，如何用符號語言表示？設(shè)計意圖：點(diǎn)與面，直線與面之間用什么符號表示，讓學(xué)生點(diǎn)燃思維的火花，最后體會線，面都是點(diǎn)的集合，所以可以借助集合語言表示用PPT展示長方體ABCD-A¢B¢C¢D¢ 中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，用集合符號表示，由學(xué)生總結(jié)設(shè)計意圖：進(jìn)一步熟悉符

12、號語言，也為以后符號語言的使用打下堅實(shí)的基礎(chǔ)最后回到公理1的三種表示，總結(jié)三種語言的特點(diǎn)和公理1的作用公理1為我們提供了一種判斷直線是否在平面內(nèi)的方法，同時也為我們在紙面上畫一條直線在平面內(nèi)提供了理論依據(jù)進(jìn)一步分析，直線是向兩邊無限延伸的，無限延伸的直線放在平面上，說明平面也是向四周無限延展的公理1用直線的“無限延伸性”來檢查平面的“無限延展性”師生共同體會公理1在生活中的簡單應(yīng)用比如工人用直棒檢查墻面是否平整，木匠將繩子拉緊，將兩端置于桌旁，通過是否漏光來檢查桌面是否平整公理1用直線的“直”來檢查平面的“平”在此，向?qū)W生介紹平面的數(shù)學(xué)史其實(shí)，早在幾千年前，數(shù)學(xué)家們就嘗試著用“點(diǎn)”，“直線”去

13、描述平面 我選取了沃爾夾崗·鮑耶關(guān)于平面的定義沃爾夾崗·鮑耶關(guān)于平面的定義可以確定平面是真實(shí)存在的，在講解時，教師借助幾何畫板演示，讓學(xué)生直觀感知平面的形成過程設(shè)計意圖：對于“平面”這個極其抽象的概念，教材沒有說明其存在性，使得學(xué)生對平面的存在性產(chǎn)生疑惑，這會影響學(xué)生對平面三個公理的學(xué)習(xí)此環(huán)節(jié)讓學(xué)生真切感受到平面的存在點(diǎn)動成線，線動成面！研究活動：課后請同學(xué)們查閱相關(guān)書籍，借助網(wǎng)絡(luò)，了解平面概念的發(fā)展史，撰寫研究報告設(shè)計意圖：通過了解平面的數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生了解自己出現(xiàn)的困惑，其實(shí)數(shù)學(xué)家們也同樣經(jīng)歷過據(jù) 借此活動向?qū)W生傳達(dá)這樣一個事實(shí)：無論是赫赫有名的數(shù)學(xué)家，還是普通的人，對事

14、物的認(rèn)識都經(jīng)歷著從不準(zhǔn)確到準(zhǔn)確最后到完善的過程，而真正起到?jīng)Q定作用的是人類的執(zhí)著精神！3、公理3數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3：把三角板的一個角立在課桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點(diǎn)B？為什么？引導(dǎo)學(xué)生歸納出平面的公理3公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線預(yù)設(shè)：可能學(xué)生在歸納公理3時會忽略“有且只有”，教師可通過提問：“兩個不重合的平面，如果有一個公共點(diǎn)，因?yàn)槠矫媸窍蛩闹軣o限延展的，那么一定有一條過該點(diǎn)的公共直線它們還有除了這條交線以外的公共點(diǎn)嗎？”幫助學(xué)生理解“有且只有”的內(nèi)涵師生共同探究：如何用圖形語言和符號語言來表示？（三個公理中最難的就是公理3的

15、圖形語言和符號語言的轉(zhuǎn)化，在教學(xué)時我設(shè)計了用硬紙板做了一個兩平面相交的模型，再用PPT來展示相交的畫法，讓學(xué)生直觀的感受繼而畫出正確的圖形語言，來突破難點(diǎn)） 教師用教具擺出不同的兩個平面相交的狀態(tài)，讓學(xué)生觀察并作圖，師生共 同評價修改設(shè)計意圖：提高空間想象能力是立體幾何教學(xué)的主要目的因此，我們在本 節(jié)課中應(yīng)突出作圖，這是幫助學(xué)生形成空間觀念的有效途徑師生共同體會公理3的作用 思考：如果一個曲面和一個平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線這個說法是否正確，請說明理由教師指出：在幾何中， 借助點(diǎn)、直線 、平面的相互位置關(guān)系能刻畫平面的“平”支撐平面三公理成立的基本條件是平面必須是“

16、平”的設(shè)計意圖：學(xué)生對平面的認(rèn)識還是停留在視覺映像和感性狀態(tài)，根本談不上數(shù)學(xué)地審視平面的特征正面去說明平面的“平”相對較難，根據(jù)“正難則反”的原則，先從“不平”下手，再通過否定之否定，最終達(dá)成“平”的目的通過“背景（生活實(shí)例）否定（說明不平）性質(zhì)（三公理）在否定（正面定義）”幫助學(xué)生理解平面的“平”鞏固練習(xí)： 判斷下列命題是否正確, 正確的在括號內(nèi)劃“”, 錯誤的劃 “×”（課本練習(xí)題改編） (1)平面與平面相交，它們只有有限個公共點(diǎn) ( ) (2) 三點(diǎn)確定一個平面 ( ) (3) 經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面 ( ) (4) 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面 (

17、 ) 設(shè)計意圖：通過練習(xí)，加深學(xué)生對三個公理的認(rèn)識四、課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲?師生共同就上述問題進(jìn)行討論、交流、總結(jié)，讓學(xué)生充分發(fā)表自己的意見知識：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)識了平面及其基本的特征，初步感知了點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，并通過研究得到了三個公理：方法：在本節(jié)課中，我們經(jīng)歷從具體與抽象、類比與比較的方法認(rèn)識了新的幾何元素“平面”及其性質(zhì)，同時還學(xué)習(xí)了用三種數(shù)學(xué)語言來表示這些知識 希望大家能通過今天的學(xué)習(xí)能夠初步建立起空間的觀念思想：公理的出現(xiàn)，是一個由無到有的過程，并通過逐漸演繹推理，由少到多，由簡到繁，進(jìn)而得到我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)、研究的幾何體系，我們可以稱這種思想方法為公理化思想 實(shí)際上，今天我們不僅僅是在研究平面及其三個公理，也經(jīng)歷了公理的形成過程，即實(shí)驗(yàn)操作，直觀感受，文字描述，圖形、符號表示 思考：繼續(xù)用類比的思想、聯(lián)系的觀點(diǎn)，以及延續(xù)本節(jié)課研究三公理的基本套路，你預(yù)見我們研究線面平行，線面垂直等判定定理、性質(zhì)時可從什么地方入手？設(shè)計意圖：（1）本節(jié)