數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程論文

1、大學(xué)生考試成績(jī)的量化分析摘要：本文以某某大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院2009級(jí)高等代數(shù)成績(jī)?yōu)闃颖?，結(jié)合概率論理論基礎(chǔ)及統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，探討學(xué)生成績(jī)的整理、成績(jī)分布曲線的描繪以及怎樣研究分布曲線所包含的教”與學(xué)”兩方面的信息的方法。關(guān)鍵詞：正態(tài)分布頻數(shù)直方圖數(shù)字特征值優(yōu)度檢驗(yàn)偏度1、 引言目前，考試仍然是高校教學(xué)過程中不可或缺的組成部分，對(duì)教與學(xué)雙方而言，考試均起著檢查工作成果進(jìn)而評(píng)價(jià)績(jī)效、查漏補(bǔ)缺的重要作用?？荚囀欠答伣虒W(xué)信息，檢測(cè)和評(píng)價(jià)教學(xué)質(zhì)量，調(diào)控教學(xué)過程的重要手段。大學(xué)生在校期間的考試成績(jī)可從多個(gè)層面折射出學(xué)生學(xué)習(xí)努力的程度、教師教學(xué)的效果、試卷的質(zhì)量和學(xué)校教學(xué)管理水平等。正態(tài)分布是連續(xù)隨機(jī)變量概率分布

2、的一種，對(duì)于一門課程的考核從掌握參照的角度來(lái)說(shuō)，如果命題設(shè)計(jì)的合理，學(xué)生分?jǐn)?shù)一般服從或近似服從正態(tài)分布。當(dāng)然并不是所有考試都要求其分布為正態(tài)分布，這要根據(jù)考試的目的和性質(zhì)等因素來(lái)決定。對(duì)于大學(xué)成績(jī)，已經(jīng)不再是諸如各種競(jìng)賽性測(cè)驗(yàn)和擇優(yōu)錄取的升學(xué)測(cè)驗(yàn)等選拔性的測(cè)驗(yàn)，而是一種成就測(cè)驗(yàn)，即合格水平測(cè)驗(yàn)。從而，目的在于考核學(xué)生是否達(dá)到了預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)和要求，反映了學(xué)生的學(xué)習(xí)功效。此時(shí)，不要求學(xué)生成績(jī)呈現(xiàn)正態(tài)分布，反而希望學(xué)生成績(jī)的分布能呈現(xiàn)負(fù)偏態(tài)分布。從學(xué)校的教育目的的角度來(lái)看，合格水平測(cè)驗(yàn)具有普遍意義、更重要的測(cè)驗(yàn)。因此，學(xué)生成績(jī)測(cè)驗(yàn)呈現(xiàn)負(fù)偏態(tài)分布時(shí)，說(shuō)明教學(xué)恰恰是成功的教學(xué)。本文對(duì)某某大學(xué)化學(xué)化工學(xué)

3、院2009級(jí)高等代數(shù)成績(jī)加以統(tǒng)計(jì)，運(yùn)用英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.Pearson提出的/2檢驗(yàn)方法進(jìn)行了實(shí)證分析，得到合理的結(jié)論。2、 學(xué)生成績(jī)分布直方圖、成績(jī)分布曲線在剛得到數(shù)據(jù)時(shí)，各種數(shù)據(jù)信息是雜亂無(wú)章的，本文通過對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行由低到高分組分類得到各組的頻數(shù)，求出各組的比例，然后編制出頻數(shù)直方圖，并求出數(shù)字特征。某某大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院2009級(jí)高等代數(shù)成績(jī)表（百分制）95699266834547658750296062767930676078672746909091659875938710066667881746162804896676368778884438343879443203260487594666

4、849766585604049424960837139676161676066726171806063784997796965459270689033387783426265607485492.1 數(shù)據(jù)整理本文將所得數(shù)據(jù)采用百分制方法，按將從小到大分成了5組。利用excel軟件編制累積次數(shù)表如下：按成績(jī)分組（分）頻數(shù)（個(gè)）頻率（）0-2000.00%20-4087.41%40-601816.67%60-805450.00%80-1002825.93%合計(jì)108100.00%2.2 繪制頻數(shù)直方圖建立以分?jǐn)?shù)為橫坐標(biāo)，頻數(shù)為縱坐標(biāo)的直角坐標(biāo)系，分別以組距為寬，頻數(shù)為高作矩形構(gòu)成分?jǐn)?shù)頻數(shù)直方圖如下:

5、成績(jī)散點(diǎn)圖及頻數(shù)趨勢(shì)用橫坐標(biāo)表示第幾個(gè)分組，縱坐標(biāo)表示該組內(nèi)的頻數(shù)，繪制成績(jī)散點(diǎn)圖級(jí)頻數(shù)趨勢(shì)，如下圖：2.4數(shù)字特征隨機(jī)變量完全有它的概率分布（函數(shù)）描述，而確定其分布函數(shù)一般來(lái)說(shuō)是相當(dāng)麻煩的。在實(shí)際問題中，有時(shí)只需知道隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征就夠了。以下是本文根據(jù)搜集的數(shù)據(jù)，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，結(jié)合計(jì)算機(jī)，分析算出的數(shù)字特征：平均值65.97標(biāo)準(zhǔn)誤差1.831291中位數(shù)66標(biāo)準(zhǔn)差18.31291力差335.3627偏度-0.26385最小值20最大值100求和6597(1)100最小(1)20置信度(95.0%)3.633679三、分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)3.1正態(tài)性檢驗(yàn)本文將成績(jī)總體分成5類，由上

6、述數(shù)據(jù)整理可以得出每類情況出現(xiàn)的頻率。記A為對(duì)該總體進(jìn)行的分類，P(Aj)為各種情況出現(xiàn)的頻率，P為各種情況出現(xiàn)的概率。原假設(shè)Ho：P(Aj)=P,i=1,2,3,4,5其中P.0,且P之和等于1.被擇假設(shè)Hi:P(Aj)=P等式不完全成立1 ,22 二、ni-咕tnpi若在Ho成立時(shí)對(duì)充分大的n,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量”近似服從自由度為k-1的評(píng)分布。由于統(tǒng)計(jì)量殍度量的是觀測(cè)頻數(shù)n與理論頻數(shù)np的偏離程度，*值大，表示偏離的程度大，偏離的程度越大越傾向于拒絕原假設(shè)H。對(duì)給定的顯著水平a(0<a<1),該檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋篧=爐上7%一1)本文用搜集的108個(gè)數(shù)據(jù)作為容量為108的樣本的一個(gè)樣本

7、值，設(shè)：Ho：2009級(jí)高等代數(shù)成績(jī)服從N(65.97,335.36)H1:2009級(jí)高等代數(shù)成績(jī)不服從N(65.97,335.36)由爐-擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法的要求，將實(shí)數(shù)軸分成5個(gè)不相交的區(qū)間：此20),120,40,40,60,160,80,80,100如前面數(shù)據(jù)整理所述。用F（x）表示N（65.97,335.36）的分布函數(shù)，P表示在H。為真的條件下數(shù)據(jù)落入個(gè)區(qū)間的理論概率，即公式中的R:R=F20|：I：2.51030.006F2=F40-F20-力-1.4181-i-2.5103：0.0718P3=F60-F40-中-0.3260：1.41810.2929巳=F80-F60）：中|0.7

8、661-力-0.3260：0.4087B=F100-F80=中1.8583-：，0.76610.1892本文取置信水平a=0.05,用Pearsonl僉驗(yàn)方法驗(yàn)證本文所收集的某某大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院2009級(jí)高等代數(shù)成績(jī)是否服從正態(tài)分布。將上述數(shù)據(jù)代入公式得：522n-nPi2="11.54idnpi由于區(qū)間數(shù)m=5,未知參數(shù)l=2,故自由度為m-1-1=2。經(jīng)過查表，可以得出？20.95（2）=5.9915。由于？2A0.95（2）,在拒絕域內(nèi)，故應(yīng)該拒絕原假設(shè)，即某某大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院2009級(jí)高等代數(shù)成績(jī)不服從正態(tài)分布。3.2檢驗(yàn)的p值假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論通常是簡(jiǎn)單的，在給定的顯著水平下，

9、不拒絕原假設(shè)就是保留原假設(shè)。然而有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：在一個(gè)較大的顯著水平（比如0=0.05）下得到拒絕原假設(shè)的結(jié)論，而在一個(gè)較小的顯著水平（比如0=0.01）下卻回到相反的結(jié)論。因此引進(jìn)檢驗(yàn)的p值得概念有明顯的好處。第一、它比較客觀，避免了事先確定的顯著水平；其次，有檢驗(yàn)的p值與人們心目中的顯著性水平a進(jìn)行比較可以很容易做出檢驗(yàn)的結(jié)論：如果之p,則在顯著水平«下拒絕原假設(shè)H。；如果口<p,則在顯著性水平"下應(yīng)該保留H。這個(gè)p值反映了數(shù)據(jù)與假設(shè)的分布擬合程度的高度，p值越大，擬合越好。本文中，以T記服從矛（2）的隨機(jī)變量，則使用統(tǒng)計(jì)軟件可以算出：p=P：T11.54

10、）=0.178717309由上述結(jié)果可以看出，p值相對(duì)于a較大，故擬合得較好。四、結(jié)論1、運(yùn)用正態(tài)分布科學(xué)地分析學(xué)生的成績(jī)是一項(xiàng)重要意義的工作，是高校教學(xué)過程控制的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，是衡量教學(xué)效果、保證教學(xué)質(zhì)量的重要手段。成績(jī)的統(tǒng)計(jì)分析是挖掘成績(jī)數(shù)據(jù)資料的有效途徑，為教學(xué)管理和改革服務(wù)。通過對(duì)正態(tài)分布和正態(tài)分布率的分析，我們可以較方便地發(fā)現(xiàn)哪些班和哪些專業(yè)學(xué)生的學(xué)習(xí)存在問題，從而加強(qiáng)管理和強(qiáng)化學(xué)風(fēng)教育.2、偏態(tài)是統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.Pearson于1895年首次提出的，它是對(duì)數(shù)據(jù)分布的對(duì)稱測(cè)度。而偏態(tài)系數(shù)是對(duì)數(shù)據(jù)分布不對(duì)稱性的度量值。偏態(tài)系數(shù)可以描述分布的形狀特征，其取值的正負(fù)反映的是：當(dāng)PA0時(shí)，分布為

11、正偏或右偏，當(dāng)P=0時(shí)，分布關(guān)于其均值E(x)對(duì)稱，當(dāng)P<0時(shí)，分布為負(fù)偏或左偏.本文中偏度是負(fù)的，則成績(jī)的分布呈低度負(fù)偏或左偏。說(shuō)明總體分?jǐn)?shù)較高，高分段學(xué)生很多，命題較易。3、我們通過Excel軟件對(duì)上述成績(jī)進(jìn)行了正態(tài)分析得出了上述考試成績(jī)的一些數(shù)字特征。對(duì)于大學(xué)成績(jī)，已經(jīng)不再是諸如各種競(jìng)賽性測(cè)驗(yàn)和擇優(yōu)錄取的升學(xué)測(cè)驗(yàn)等選拔性的測(cè)驗(yàn)，而是一種成就測(cè)驗(yàn)，即合格水平測(cè)驗(yàn)。從而，目的在于考核學(xué)生是否達(dá)到了預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)和要求，反映了學(xué)生的學(xué)習(xí)功效。此時(shí)，不要求學(xué)生成績(jī)呈現(xiàn)正態(tài)分布，反而希望學(xué)生成績(jī)的分布能呈現(xiàn)負(fù)偏態(tài)分布。從學(xué)校的教育目的的角度來(lái)看，合格水平測(cè)驗(yàn)具有普遍意義、更重要的測(cè)驗(yàn)。因此，

12、學(xué)生成績(jī)測(cè)驗(yàn)呈現(xiàn)負(fù)偏態(tài)分布時(shí)，說(shuō)明教學(xué)恰恰是成功的教學(xué)。比如本文所作的成績(jī)檢測(cè)，呈現(xiàn)出低度負(fù)偏態(tài)分布，從實(shí)際出發(fā)，達(dá)到了學(xué)校教育目的，是學(xué)校教育成功的表現(xiàn)。4、實(shí)際中，成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)的主要依據(jù)僅是平均分和不及格率。而平均成績(jī)是可以被教師通過考題的難度及考前復(fù)習(xí)所控制的。事實(shí)上，在很多學(xué)校的成人教學(xué)中，學(xué)生大面積缺課、從不完成作業(yè)等現(xiàn)象非常嚴(yán)重，但是考試成績(jī)卻高分很多，不及格率極低，可見由平均成績(jī)和不及格率很難發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)中的異常情況。誠(chéng)然,不及格率高會(huì)給教師造成很多壓力，但我們不應(yīng)該因此而降低考試的難度，如果試題太容易，則用功和不用功的學(xué)生考試成績(jī)相差無(wú)幾的情況就會(huì)發(fā)生，勤奮學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性會(huì)受到打

13、擊。更嚴(yán)重的是，如果各屆學(xué)生之間口口相傳，學(xué)生的學(xué)風(fēng)可能一屆比一屆差，這將嚴(yán)重影響大學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。當(dāng)然，不及格率過高也是不合適的。因此，保持試卷有一定的難度，而通過平時(shí)成績(jī)適當(dāng)?shù)丶右哉{(diào)整，控制較低的不及格率，這才是一種較為現(xiàn)實(shí)的做法。對(duì)學(xué)生而言，這樣做既有一定的學(xué)習(xí)壓力，又能保證大部分學(xué)生獲得合格的成績(jī)。如上所述，本文所采用的成績(jī)數(shù)據(jù)不及格率達(dá)到了68.51%,均分65.97,良好地反映了學(xué)生的學(xué)習(xí)功效和教學(xué)成果。成績(jī)眾數(shù)為60分，如果將其歸為不及格，則成績(jī)分布呈正態(tài)分布，有理由懷疑是否應(yīng)將60劃為及格線。總之，正態(tài)分布分析具有科學(xué)計(jì)算的精確性、規(guī)律性和客觀真實(shí)性的特點(diǎn)，但是應(yīng)正確地運(yùn)用這一工具，不應(yīng)該簡(jiǎn)單化地評(píng)價(jià)正態(tài)分布分析結(jié)果。例如，認(rèn)為學(xué)生成績(jī)不呈正態(tài)分布就是教師的教學(xué)有問題。正態(tài)分布分析和其他指標(biāo)如平均分、標(biāo)準(zhǔn)差、及格率等若能有機(jī)結(jié)合來(lái)，就可以較好地獲得學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的信息，從而有利于學(xué)校、學(xué)院和任課老師采取切實(shí)措施，提高教學(xué)質(zhì)量。參考文獻(xiàn)1其詩(shī)松，程依鳴，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.高等教育