矩陣求逆方法大全-1

1、求逆矩陣的若干方法和舉例蘇紅杏廣西民院計信學(xué)院00數(shù)本（二）班摘要本文詳細(xì)給出了求逆矩陣的若干方法并給出相應(yīng)的例子，以供學(xué)習(xí)有關(guān)矩陣方面的讀者參考。關(guān)鍵詞逆矩陣初等矩陣伴隨矩陣對角矩陣矩陣分塊多項式等引言在我們學(xué)習(xí)高等代數(shù)時，求一個矩陣的逆矩陣是一個令人十分頭痛的問題。但是，在研究矩陣及在以后學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)知識時，求逆矩陣又是一個必不可缺少的知識點。為此，我介紹下面幾種求逆矩陣的方法，供大家參考。定義：n階矩陣A為可逆，如果存在n階矩陣B,使得AB=BA=E,這里E是n階單位矩陣，此時，B就稱為A的逆矩陣，記為A,，即：B=A方法一.初等變換法（加邊法）我們知道，n階矩陣A為可逆的充分必要條件是

2、它能表示成一系列初等矩陣的乘積A=Q1Q2Qm,從而推出可逆矩陣可以經(jīng)過一系列初等行變換化成單位矩陣。即，必有一系列初等矩陣Q1Q2Qm使(1)(2)QmQm,QiA=EMA二QmQm<A=E把A,E這兩個n階矩陣湊在一起，做成一個n*2n階矩陣（A,E）,按矩陣的分塊乘法,（1）（2）可以合并寫成QmQmJQ1（A,E）=（QmQmQ1,A這樣就可以求出矩陣A的逆夕!陣A。QmQmjQF)=(E,A(3)設(shè)人=求A，解:01e由（3）11-1式初等行變換逐步得到:10<211-110<000-2-11-21t-21,1002-110104-2131001-122；1112&

3、gt;2-1于是Aa=4-2-31<2說明：此方法適用于求元素為具體數(shù)字的矩陣的逆矩陣，比較簡便，特別是當(dāng)階數(shù)較高時,使用初等變換法的優(yōu)點更明顯。同樣使用初等列變換類似行變換，此略，注意在使用此方法求逆矩陣是，一般做初等行變換，避免做初等列變換。方法二.伴隨矩陣法定理：矩陣A是可逆的充分必要條件是At退化，而1*A=（d=A，0）我們用(4)式來求一個矩陣的逆矩陣。例2.求矩陣A勺逆夕1陣A：已知A=解：d=A=9+6+24-18-12-4=2=0A11=2A21=6A31=-4用伴隨矩陣法，得A12=-3A22=-6A32=5A13=2A23=2A33=-213213-3-2152-1

4、J說明：雖然這個公式對任何可逆矩陣都適用,般只用于較低階的矩陣的求逆比如二階三階矩陣的逆，尤以對二階，此方法更方便。方法三.矩陣分塊求逆法在進(jìn)行高階矩陣運算時，經(jīng)常將高階矩陣按某種規(guī)則分成若干塊，每一小塊是一小矩陣,這樣一方面對小矩陣進(jìn)行運算，一方面每一小矩陣又可作為一個元素按運算規(guī)則來進(jìn)行運算，求出矩陣的逆矩陣。引出公式：設(shè)T的分塊矩陣為：T='Ab,其中T為可逆矩陣，則ICDJ1二A+AB(D-CAB)CA-aB(D-CAB)T二，(D-CAB)CA(D-CAB),說明：關(guān)于這個公式的推倒從略。，1003、一00104例3,求下列矩陣的逆矩陣，已知W=00122425,解：將矩陣剛

5、成四塊，設(shè)彳00、(3"A=010,B=4,C=(342),D=(5),d0DW于是(D-CA-1B)=(-24)，即111(D-CAB)=(RA/B=B=4,CA=C=(342),2利用公式(5),得15-12-63”1128-84W=24-6-8202<342-1,方法四,因式分解法若Ak=0,即（E-A）可逆，且有(E-A)=E+A+A2i+Ak，(6)我們通過上式（6）,求出A二例4,求下面矩陣的逆矩陣，已知：1-12-34,01-12-3A=001-12,0001-190001）解：因為存在一個K>0,使（E-A）k=0,把這里的（E-A）替換（6）式中的“A”

6、，彳導(dǎo)A，=E(E-A)(E-A)2(E-A)k'通過計算得(E-A)4=1000-110002-34-12-31-12=0,即K=401-1001；所以A=E(E-A)(E-A)2(E-A)310010000<00000、七1-210003-4-231-2+0100,11-101011-10=0011-10001100001方法五.多項式法f(x),滿足f(A)=0,我們知道，矩陣A可逆的充分必要條件是有一常數(shù)項不為零的多項式用這個知識點也可以求出逆矩陣。2-n例5.已知矩陣A=-33尸且創(chuàng)足多項式f(x)=X2-5X+3E=0,即A2-5A+3E=0試證明A是可逆矩陣，并求其

7、可逆矩陣證：由A25A+3E=0,可得15_A(A-E)-E33從而可知A為可逆矩陣，并且A1A5=A1323解：求可逆矩陣A勺逆矩陣X,AX1=0,AX2【0利用消元解法求則它滿足AX=E設(shè)X=(X1,X2,X3),則,0、110,0、AX3=0<1>12-1"5'10"333)3<01)方法六.解方程組法在求一個矩陣的的逆矩陣時，可設(shè)出逆矩陣的待求元素，根據(jù)等式AA,=E兩端對應(yīng)元素相等，可得出相應(yīng)的只含待求元素的諸多線性方程組，便可求解逆矩陣。Z123,例6.求人=221的逆矩陣口43Xi=x2i(i=1,2,3)<x3i/解得：1A&

8、#39;=X=320方法七.準(zhǔn)對角矩陣的求逆方法凡00A22定義：形如A=100A稱為準(zhǔn)對角矩陣。0、0,Ai是矩陣i=1,2nAnnJ其求逆的方法：可以證明：如果兒1k22,，Ann都可逆，則準(zhǔn)對角矩陣也可逆，且A1100"0A22.00.-,一<00.Ann)<0'40003-2例7.已知A=01500000'A，a220W-W-00、0，求A。0一5AinJ入1,3解：設(shè)A|1=4A22=-2'鼠=-5A=05)A2200A330.<52、求得：Aj=1，0=心=41735,Ail1所以A=0000=A33114000005217171

9、317170000015方法八.恒等變形法有些計算命題表面上與求逆矩陣無關(guān)，但實質(zhì)上只有求出其逆矩陣之后，才能解決問題。而求其逆矩陣常對所給矩陣進(jìn)行包等變形，且常變?yōu)閮删仃嚦朔e等于單位矩陣的等式。1氾例8.已知A6=E,求A11,其中A=22,旦1<22/解：對已知矩陣等式人6=£進(jìn)行恒等變形，得.6一.6.6.6.11一A=E,A=A*A=A*AE于是，A11=A，又因為心正交貨!陣，A/=AT，所以16、A11=A=At=2一2V31122J方法九.公式法利用下述諸公式，能夠迅速準(zhǔn)確地求出逆矩陣。ab,dd-b"1)二階矩陣求逆公式(兩調(diào)一除)：若A=ab,則A,

10、=二°bcd；IA'ca)2)初等矩陣求逆公式：E4=EijjE(k)=Ei(3k_1-Eij(k)=Ej(-k)3)對角線及其上方元素全為1的上三角矩陣的逆矩陣1111，一的逆矩陣為:011101A=<001-1000011001A=00011900014）正交矩陣的求逆公式：5）其他常用的求逆公式：（AB）=BA，（At）=（A）T（A*）=（A）*二A/A若A»正交矩陣，則A=AtIA=0<0'1-1（ab）一01<00A,A2,A3,，As可逆,則（AA2As）=As1AA-例9.已知:1111,求（AB）。0b解：由于A是初等矩陣，由公式得:A二A1-10、而B為元素都為1的上三角矩陣，由公式得:B,=01-1,再由公式得:1001,0丫100、10-T-1001=0-111八011,，210到此為止，我已介紹了9種求逆矩陣的方法，除此外還有求正定矩陣的逆矩陣的三角陣法，由于其方法不是很簡便，在此略。這些方法各有所長，讀者可根據(jù)實際情況進(jìn)行選擇。當(dāng)然,除此之外還有