第二章一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子

1、（1 1）有助于具體理解已學(xué)過的基本原理；）有助于具體理解已學(xué)過的基本原理； （2 2）有助于進(jìn)一步闡明其他基本原理；）有助于進(jìn)一步闡明其他基本原理； （3 3）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單，從而能對(duì)結(jié)果）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單，從而能對(duì)結(jié)果進(jìn)行細(xì)致討論，量子體系的許多特征都可以在這進(jìn)行細(xì)致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現(xiàn)出來；些一維問題中展現(xiàn)出來；（4 4）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。第二章第二章 一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子 在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用 SchrSchrdinger

2、dinger 方程來處理一類簡(jiǎn)單的問題方程來處理一類簡(jiǎn)單的問題一維粒一維粒子的定態(tài)問題。其好處有四：子的定態(tài)問題。其好處有四：本章要求本章要求1. 掌握求解一維定態(tài)掌握求解一維定態(tài)Schrdinger 方程的方程的基本步驟基本步驟;2. 掌握能量量子化，掌握能量量子化，束縛態(tài)束縛態(tài)，宇稱宇稱，隧道隧道效應(yīng)效應(yīng)，零點(diǎn)能零點(diǎn)能，分立譜，連續(xù)譜等概念，分立譜，連續(xù)譜等概念;第二章第二章 一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子本本 章章 內(nèi)內(nèi) 容容第二章第二章 一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子1 一維無限深勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱 2 勢(shì)壘貫穿勢(shì)壘貫穿3 一維諧振子一維諧振子 1 一維一維無限深方勢(shì)阱無限深方勢(shì)阱

3、(1) (1) 一維無限深方勢(shì)阱中的粒子一維無限深方勢(shì)阱中的粒子A. 物理背景物理背景 金屬中的電子、原子中的電子、原子核中的質(zhì)金屬中的電子、原子中的電子、原子核中的質(zhì)子及中子等粒子的運(yùn)動(dòng)都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即粒子及中子等粒子的運(yùn)動(dòng)都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即粒子的運(yùn)動(dòng)被限制（束縛）在一定的空間范圍內(nèi)。子的運(yùn)動(dòng)被限制（束縛）在一定的空間范圍內(nèi)。 為了便于分析，可以對(duì)被束縛粒子提出一種簡(jiǎn)化為了便于分析，可以對(duì)被束縛粒子提出一種簡(jiǎn)化的理想模型。的理想模型。例如，電子在金屬晶格中的運(yùn)動(dòng)。例如，電子在金屬晶格中的運(yùn)動(dòng)。對(duì)于各向同性的晶體，對(duì)于各向同性的晶體，三維可作一維研究。三維可作一維研究。第一次簡(jiǎn)化：第

4、一次簡(jiǎn)化：一維晶格中電子的勢(shì)能曲線一維晶格中電子的勢(shì)能曲線0 x xa 如果直接用此曲線表示的如果直接用此曲線表示的勢(shì)能帶入薛定諤方程中，就形勢(shì)能帶入薛定諤方程中，就形成一個(gè)相當(dāng)困難的數(shù)學(xué)問題。成一個(gè)相當(dāng)困難的數(shù)學(xué)問題。第二次簡(jiǎn)化：第二次簡(jiǎn)化：用平均勢(shì)能代替晶格勢(shì)能用平均勢(shì)能代替晶格勢(shì)能0 x xaU ( 這一步的實(shí)質(zhì)是不考慮電子這一步的實(shí)質(zhì)是不考慮電子間、電子與晶格離子間的相互間、電子與晶格離子間的相互作用，這樣的電子就相當(dāng)于理作用，這樣的電子就相當(dāng)于理想氣體分子自由電子氣。想氣體分子自由電子氣。)第三次簡(jiǎn)化：第三次簡(jiǎn)化：將平均勢(shì)能作為零勢(shì)能將平均勢(shì)能作為零勢(shì)能將表面勢(shì)能視為無限大將表面勢(shì)能

5、視為無限大(勢(shì)能零點(diǎn)的選取有任意性勢(shì)能零點(diǎn)的選取有任意性)0 x xa無限深勢(shì)阱無限深勢(shì)阱 求解求解步驟步驟： 列出各區(qū)域的一維定態(tài)列出各區(qū)域的一維定態(tài)Schrdinger 方程方程 解方程解方程 使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件、邊界條件定解使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件、邊界條件定解 用歸一化條件定歸一化系數(shù)用歸一化條件定歸一化系數(shù)V(x)0 ax 0,0( )0;xaV xxxa （a 勢(shì)阱寬度勢(shì)阱寬度）B. 無限深勢(shì)阱中粒子的勢(shì)能函數(shù)以及薛定諤方程求解無限深勢(shì)阱中粒子的勢(shì)能函數(shù)以及薛定諤方程求解 列出各區(qū)域的定態(tài)列出各區(qū)域的定態(tài)Schrdinger 方程方程 211222()()01dmxExdx l 勢(shì)阱內(nèi)（

6、勢(shì)阱內(nèi)（0 x a）l 勢(shì)阱外（勢(shì)阱外（x a） 222222()()()02dmxVExdx 求解定態(tài)求解定態(tài)Schrdinger 方程方程方程方程(2)(2)的解的解 200;xxxa 22mEk 方程方程(1)(1)中，中，令令 ，則方程，則方程(1)(1)寫為寫為 22112()()0dxkxdx 理由：理由： 因勢(shì)阱壁無限高因勢(shì)阱壁無限高(V )，粒子不能穿透，粒子不能穿透勢(shì)壁，故勢(shì)阱外的波函數(shù)必定為勢(shì)壁，故勢(shì)阱外的波函數(shù)必定為0。其解其解 ; 1sin0 xAkxxa ( (A、 待定常數(shù)待定常數(shù)) ) 使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化條件確定方程的定解使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化條件確定方程的定解 20;0

7、;xxxa ; 1sin0 xAkxxa 根據(jù)波函數(shù)連續(xù)性條件，根據(jù)波函數(shù)連續(xù)性條件，阱壁上波函數(shù)應(yīng)連續(xù)阱壁上波函數(shù)應(yīng)連續(xù)： 120000 xx 120(1,2,.)x ax akann (n = 0，0；n取負(fù)值不給出新解，因?yàn)榕c取正值給出的波函數(shù)描述同一量子態(tài)) 2222,1,2,.2nnEEnma nka 22mEk (3) 即勢(shì)阱中粒子的能量（本征值）只能取離散值，即勢(shì)阱中粒子的能量（本征值）只能取離散值，所得到的波函數(shù)才滿足物理上的要求。對(duì)應(yīng)本征值所得到的波函數(shù)才滿足物理上的要求。對(duì)應(yīng)本征值En的波函數(shù)（能量本征函數(shù)）的波函數(shù)（能量本征函數(shù)） ; sin0nnxAxxaa 確定歸一化

8、系數(shù)確定歸一化系數(shù) 2012anxdxAa 歸一化條件歸一化條件( (取實(shí)數(shù)取實(shí)數(shù)) )2Aa ; 2sin00;0,nnxxaxaaxxa 最后最后,勢(shì)阱中粒子的勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)波函數(shù)(能量本征函數(shù)能量本征函數(shù))：; 22221,2,.2nnEnma 能量本征值能量本征值：（4）（3） 總的定總的定態(tài)波函數(shù)態(tài)波函數(shù)應(yīng)乘上時(shí)應(yīng)乘上時(shí)間部分間部分 由由(3)式，處于式，處于束縛態(tài)的粒子束縛態(tài)的粒子，其其能量能量(本征值本征值)是是量子化量子化的，的，n 是量子數(shù)是量子數(shù)，其能譜，其能譜(能級(jí)能級(jí))呈分立結(jié)構(gòu)。呈分立結(jié)構(gòu)。(2) (2) 討論討論 (4)(4)式表明，式表明，粒子束縛于有限空間中

9、粒子束縛于有限空間中( (即勢(shì)阱內(nèi)即勢(shì)阱內(nèi)) )運(yùn)運(yùn)動(dòng)，在無限遠(yuǎn)處找到粒子的概率為動(dòng)，在無限遠(yuǎn)處找到粒子的概率為0 0（無限遠(yuǎn)處波函（無限遠(yuǎn)處波函數(shù)數(shù) = 0)。這樣的狀態(tài)，稱為。這樣的狀態(tài)，稱為束縛態(tài)束縛態(tài)(bound state)。能級(jí)間隔能級(jí)間隔 ，當(dāng)勢(shì)阱寬度越窄，當(dāng)勢(shì)阱寬度越窄，121nnEEEa 能級(jí)間隔越大，量子化越顯著；反之，寬度越大，能能級(jí)間隔越大，量子化越顯著；反之，寬度越大，能級(jí)間隔越小，當(dāng)級(jí)間隔越小，當(dāng)a ， E 0，其能譜可視為連續(xù)。，其能譜可視為連續(xù)。因此因此量子性顯著表現(xiàn)于空間很小的微觀現(xiàn)象中（量子性顯著表現(xiàn)于空間很小的微觀現(xiàn)象中（量子量子小尺寸效應(yīng)小尺寸效應(yīng)）?；?/p>

10、態(tài)基態(tài)(n=1)：22122Ema ; 12sin00;0,xxaxaaxxa 0 能量最低的基態(tài)能量稱能量最低的基態(tài)能量稱為為零點(diǎn)能零點(diǎn)能，不等于零，不等于零，與經(jīng)典粒子不同，與經(jīng)典粒子不同，是微是微觀粒子波動(dòng)性的表現(xiàn)觀粒子波動(dòng)性的表現(xiàn) 能量最低的態(tài)稱為基態(tài)能量最低的態(tài)稱為基態(tài)(n=1)，其上為第一激發(fā)，其上為第一激發(fā)態(tài)態(tài)(n=2)、第二激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)(n=3)，依次類推。，依次類推。 除端點(diǎn)除端點(diǎn)(x=0 , a)外，外，基態(tài)波函數(shù)無節(jié)點(diǎn)，第基態(tài)波函數(shù)無節(jié)點(diǎn)，第一激發(fā)態(tài)有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，一激發(fā)態(tài)有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，第二激發(fā)態(tài)有二個(gè)節(jié)點(diǎn)，第二激發(fā)態(tài)有二個(gè)節(jié)點(diǎn)，第第m 激發(fā)態(tài)（量子數(shù)激發(fā)態(tài)（量子數(shù)n=m

11、+1）有）有m個(gè)節(jié)點(diǎn)。個(gè)節(jié)點(diǎn)。2( )sinnnxxaa 0;1,2,. xa n( )nx 0a1E14E19E116E21n E(節(jié)點(diǎn)即波函數(shù)的零點(diǎn)節(jié)點(diǎn)即波函數(shù)的零點(diǎn))駐波！駐波！2an 粒子在阱中的概率分布粒子在阱中的概率分布經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果：經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果：粒子在阱內(nèi)作勻速運(yùn)動(dòng)粒子在阱內(nèi)作勻速運(yùn)動(dòng)(阱內(nèi)勢(shì)阱內(nèi)勢(shì)場(chǎng)為場(chǎng)為0)，E、p不變，粒子在阱內(nèi)各點(diǎn)將均勻分布。不變，粒子在阱內(nèi)各點(diǎn)將均勻分布。量子力學(xué)的結(jié)果：量子力學(xué)的結(jié)果：2( )x 22sin ()nxaa n = 1 ，粒子出現(xiàn)在阱底中部的，粒子出現(xiàn)在阱底中部的概率最大，兩端的概率為零。概率最大，兩端的概率為零。212( )0axx

12、x 當(dāng)系統(tǒng)處于激發(fā)態(tài)，當(dāng)系統(tǒng)處于激發(fā)態(tài)，n = 2,3 粒子在阱中的分布出現(xiàn)起伏粒子在阱中的分布出現(xiàn)起伏節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)n=1n=2n=3a x 隨著量子數(shù)的增大（激發(fā)能級(jí)高），概率密度曲隨著量子數(shù)的增大（激發(fā)能級(jí)高），概率密度曲線的峰值增多，同時(shí)峰值間距縮小。線的峰值增多，同時(shí)峰值間距縮小。 當(dāng)量子數(shù)當(dāng)量子數(shù) n 很大時(shí)，相鄰峰值間距很小，幾乎很大時(shí)，相鄰峰值間距很小，幾乎連成一片，就非常接近均勻分布了。連成一片，就非常接近均勻分布了。(量子效應(yīng)消失，量子效應(yīng)消失，趨近經(jīng)典結(jié)果趨近經(jīng)典結(jié)果)n=7n=8n=9a x量子性顯著表現(xiàn)量子性顯著表現(xiàn)在低能現(xiàn)象中。在低能現(xiàn)象中。 若取無限深方勢(shì)阱的中心為坐標(biāo)

13、原點(diǎn)，即。若取無限深方勢(shì)阱的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，即。 0,2( )2xaV xxa （a 勢(shì)阱寬度勢(shì)阱寬度）0 a/2V(x)x-a/2可以證明粒子的能量仍為可以證明粒子的能量仍為(3)式式; 22221,2,.2nnEnma 但波函數(shù)表示為但波函數(shù)表示為合并為：合并為： 2sin(2),1,2,3,.20,2nnaxanxaaxxa 【對(duì)比(4)式，相當(dāng)于坐標(biāo)右平移a/2】 波函數(shù)具有這種確定的宇稱是由勢(shì)能波函數(shù)具有這種確定的宇稱是由勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)的對(duì)稱性決定的對(duì)原點(diǎn)的對(duì)稱性決定的()( )VxV x 2cos,1,3,5,.nxnaa （偶宇稱偶宇稱） nx （奇宇稱奇宇稱） 2sin,2,4,6

14、,.nxnaa 0,2xa 2xa 宇稱宇稱(Parity)定義定義空間反射空間反射(反演反演)算符算符 ：P Prr ( ( 空間坐標(biāo)空間坐標(biāo) r r ) )稱波函數(shù)具有稱波函數(shù)具有正宇稱正宇稱（或（或偶宇稱偶宇稱）()( )rr 稱波函數(shù)具有稱波函數(shù)具有負(fù)宇稱負(fù)宇稱（或（或奇宇稱奇宇稱）()( )rr 坐標(biāo)反演后，若坐標(biāo)反演后，若()( )rr 則波函數(shù)沒有確定的宇稱則波函數(shù)沒有確定的宇稱2P P 又稱宇稱算符又稱宇稱算符宇稱算符的本征值？宇稱算符的本征值？npEcEv空間電荷區(qū)空間電荷區(qū)勢(shì)壘區(qū)勢(shì)壘區(qū)勢(shì)壘高度勢(shì)壘高度圖：圖： p-n結(jié)的空間電荷區(qū)及能帶圖結(jié)的空間電荷區(qū)及能帶圖n區(qū)的電子要到

15、達(dá)區(qū)的電子要到達(dá)p區(qū)，必須越過空間電荷區(qū)，克服其中的內(nèi)區(qū)，必須越過空間電荷區(qū)，克服其中的內(nèi)建電場(chǎng)；從能帶圖上，電子必須爬過一勢(shì)能建電場(chǎng)；從能帶圖上，電子必須爬過一勢(shì)能“高坡高坡”才能到才能到達(dá)達(dá)p區(qū)，這一勢(shì)能高坡就稱為區(qū)，這一勢(shì)能高坡就稱為p-n結(jié)的勢(shì)壘。結(jié)的勢(shì)壘。2 勢(shì)壘貫穿勢(shì)壘貫穿(1) (1) 勢(shì)壘的例子勢(shì)壘的例子外加偏外加偏 壓小于結(jié)壓小于結(jié)勢(shì)壘時(shí)，勢(shì)壘時(shí)，電子能過電子能過去嗎？去嗎？00( )0 VxaV x其其它它V00 a 粒子能量粒子能量Ex(2) (2) 勢(shì)壘函數(shù)（數(shù)學(xué)模型）勢(shì)壘函數(shù)（數(shù)學(xué)模型）p-n結(jié)勢(shì)壘可簡(jiǎn)化為一維方勢(shì)壘模型：結(jié)勢(shì)壘可簡(jiǎn)化為一維方勢(shì)壘模型：（a 勢(shì)壘寬度；

16、勢(shì)壘寬度；V0 勢(shì)壘高度勢(shì)壘高度）深勢(shì)阱不同的是，對(duì)于勢(shì)壘問題，其勢(shì)能在無限遠(yuǎn)處有深勢(shì)阱不同的是，對(duì)于勢(shì)壘問題，其勢(shì)能在無限遠(yuǎn)處有限限(這里取這里取0)，此時(shí)粒子可以在無限遠(yuǎn)處出現(xiàn)，即波函數(shù)，此時(shí)粒子可以在無限遠(yuǎn)處出現(xiàn)，即波函數(shù)在無限遠(yuǎn)處不為在無限遠(yuǎn)處不為0，因此粒子的狀態(tài)不屬束縛態(tài)，其能量，因此粒子的狀態(tài)不屬束縛態(tài)，其能量可取任意值，組成連續(xù)譜。這類問題屬可取任意值，組成連續(xù)譜。這類問題屬粒子被勢(shì)場(chǎng)散射粒子被勢(shì)場(chǎng)散射問題，即粒子由無窮遠(yuǎn)來經(jīng)勢(shì)場(chǎng)散射后又回到無窮遠(yuǎn)。問題，即粒子由無窮遠(yuǎn)來經(jīng)勢(shì)場(chǎng)散射后又回到無窮遠(yuǎn)。所以本節(jié)討論的是所以本節(jié)討論的是粒子的散射態(tài)粒子的散射態(tài)?？紤]粒子由左側(cè)射入勢(shì)壘考

17、慮粒子由左側(cè)射入勢(shì)壘。與無限。與無限l 按經(jīng)典理論按經(jīng)典理論（對(duì)于方勢(shì)壘）（對(duì)于方勢(shì)壘）若若 E V0 ，粒子能穿越勢(shì)場(chǎng)，全部透射而無反射；，粒子能穿越勢(shì)場(chǎng)，全部透射而無反射；V00 a 粒子能量粒子能量Exl 按量子力學(xué)的結(jié)論按量子力學(xué)的結(jié)論若若 E V0 ，粒子粒子既能透射也能反射既能透射也能反射(有一定的概率有一定的概率)； V00 a 粒子能量粒子能量Ex散射效應(yīng)散射效應(yīng)（波粒二象性之體現(xiàn)）（波粒二象性之體現(xiàn)）A. 先考慮先考慮 E V0 的情況的情況(3) (3) 求解定態(tài)薛定諤方程求解定態(tài)薛定諤方程區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)21112( )( )0dxkxdx 222222( )( )02dxk

18、xdx 23132( )( )0dxkxdx 22122mEk 20222()m VEk2122mEk 電子在各區(qū)域所滿足的定態(tài)薛定諤方程為電子在各區(qū)域所滿足的定態(tài)薛定諤方程為 因?yàn)橐驗(yàn)? E a ( III區(qū)區(qū))的粒子數(shù)目與射入的粒子數(shù)目與射入 x 0 ( I 區(qū)區(qū))的粒的粒子數(shù)目之比，子數(shù)目之比，即粒子穿透勢(shì)壘的概率即粒子穿透勢(shì)壘的概率。R的意義：的意義：粒子被勢(shì)壘反彈的概率粒子被勢(shì)壘反彈的概率。透射系數(shù)透射系數(shù)2321ATA 2212222222122124() sh4k kkkk ak k sh122001141k aEEVV 反射系數(shù)反射系數(shù)2121BRA 2222122222222

19、12212() sh() sh4kkk akkk ak k （9 9）顯然顯然1RT （1010）（9）式表明，在）式表明，在 E 1則則(9)式式近似為近似為022()0am VETT e 0020()16E VETV 其中其中顯然，顯然，粒子的透射系數(shù)粒子的透射系數(shù)(隧道概率隧道概率)T 隨勢(shì)壘的寬度隨勢(shì)壘的寬度a 、高度高度V0以及粒子質(zhì)量以及粒子質(zhì)量m的增加而迅速減小的增加而迅速減小。（11）粒子類型粒子類型粒子能量粒子能量勢(shì)壘高度勢(shì)壘高度 勢(shì)壘寬度勢(shì)壘寬度透射系數(shù)透射系數(shù)電子電子0.5eV0.7eV1010-10m0.5eV0.7eV510-10m質(zhì)子質(zhì)子0.5eV0.7eV510-

20、10m0.0320.329.210-43注：硅基注：硅基PN結(jié)的導(dǎo)通電壓結(jié)的導(dǎo)通電壓 0.7V0 a bV(x)Ex可把任意形狀的勢(shì)壘分割成許可把任意形狀的勢(shì)壘分割成許 多小勢(shì)壘，這些小勢(shì)壘可以近多小勢(shì)壘，這些小勢(shì)壘可以近 似用方勢(shì)壘處理。似用方勢(shì)壘處理。（2）任意形狀的勢(shì)壘）任意形狀的勢(shì)壘22()0m V E dxTT e 22 ()0bam V E dxTTe 對(duì)每一小方勢(shì)壘透射系數(shù)對(duì)每一小方勢(shì)壘透射系數(shù)則貫穿勢(shì)壘區(qū)則貫穿勢(shì)壘區(qū)(ab)的的 透射系數(shù)等于貫穿這些透射系數(shù)等于貫穿這些小方勢(shì)壘透射系數(shù)之積小方勢(shì)壘透射系數(shù)之積dxB. 再考慮再考慮 E V0 的情況的情況0222()m VEk此

21、時(shí)此時(shí) 為虛數(shù)，只需為虛數(shù)，只需k2ik30322()m EVk前面的推導(dǎo)依然有效。前面的推導(dǎo)依然有效。（注意到（注意到 sh(ik3a) = isink3a）2213222222133134() sin4k kTkkk ak k 222213322222213313() sin() sin4kkk aRkkk ak k 1RT 討論：討論： 以上三式表明，粒子能量大于勢(shì)壘高度時(shí)，粒子以上三式表明，粒子能量大于勢(shì)壘高度時(shí)，粒子一部分貫穿勢(shì)壘，一部分被勢(shì)壘反彈回去。一部分貫穿勢(shì)壘，一部分被勢(shì)壘反彈回去。(2) 共振透射共振透射物理理解物理理解: 若若入射粒子能量合適入射粒子能量合適, ,在兩勢(shì)壘

22、壁經(jīng)過在兩勢(shì)壘壁經(jīng)過多次反射后透射出去的波相位相同，彼此相干疊加，多次反射后透射出去的波相位相同，彼此相干疊加，使透射波幅大增，從而出現(xiàn)共振透射。使透射波幅大增，從而出現(xiàn)共振透射。 3,1,2,.2k anann 3sin0k a 若若 0,1RT 有有（ 勢(shì)壘中粒子波長(zhǎng)）勢(shì)壘中粒子波長(zhǎng)） 隧道二極管（江崎二極管）隧道二極管（江崎二極管）npEcEv勢(shì)壘區(qū)勢(shì)壘區(qū)EF熱平衡下隧道結(jié)能帶圖熱平衡下隧道結(jié)能帶圖隧道效應(yīng)是隧道效應(yīng)是19581958年日本年日本江崎江崎玲於奈玲於奈在研究重?fù)诫s鍺在研究重?fù)诫s鍺PNPN結(jié)結(jié)時(shí)發(fā)現(xiàn)的，故隧道二極管又時(shí)發(fā)現(xiàn)的，故隧道二極管又稱江崎二極管。稱江崎二極管。其摻雜必

23、須濃度大其摻雜必須濃度大，以使，以使p-n結(jié)能帶圖中費(fèi)米能級(jí)進(jìn)結(jié)能帶圖中費(fèi)米能級(jí)進(jìn)入入n區(qū)導(dǎo)帶和區(qū)導(dǎo)帶和p區(qū)價(jià)帶；區(qū)價(jià)帶；p-n結(jié)的厚度還必須足夠薄結(jié)的厚度還必須足夠?。?50150埃左右），埃左右），使電子能使電子能夠直接從夠直接從n區(qū)穿透勢(shì)壘進(jìn)入?yún)^(qū)穿透勢(shì)壘進(jìn)入P區(qū)。這樣的結(jié)又稱隧道結(jié)。區(qū)。這樣的結(jié)又稱隧道結(jié)。(4) (4) 隧道效應(yīng)的應(yīng)用隧道效應(yīng)的應(yīng)用EcEv小正向電壓下隧道結(jié)能帶圖小正向電壓下隧道結(jié)能帶圖EF 隧道二極管的主要隧道二極管的主要特點(diǎn)是它的正向電流特點(diǎn)是它的正向電流電壓特性具有電壓特性具有負(fù)阻現(xiàn)象負(fù)阻現(xiàn)象。這種負(fù)阻是基于電子的這種負(fù)阻是基于電子的量子力學(xué)隧道效應(yīng)，所量子力學(xué)隧

24、道效應(yīng)，所以隧道二極管以隧道二極管開關(guān)速度開關(guān)速度達(dá)皮秒量級(jí)達(dá)皮秒量級(jí), ,工作頻率高達(dá)工作頻率高達(dá)100100吉赫吉赫。隧道二極管。隧道二極管還具有還具有小功耗和低噪聲小功耗和低噪聲等特點(diǎn)。隧道二極管可用等特點(diǎn)。隧道二極管可用于微波混頻、檢波（這時(shí)應(yīng)適當(dāng)減輕摻雜，制成于微波混頻、檢波（這時(shí)應(yīng)適當(dāng)減輕摻雜，制成反向二極管），低噪聲放大、振蕩等。由于功耗反向二極管），低噪聲放大、振蕩等。由于功耗小，所以適用于衛(wèi)星微波設(shè)備。還可用于超高速小，所以適用于衛(wèi)星微波設(shè)備。還可用于超高速開關(guān)邏輯電路、觸發(fā)器和存儲(chǔ)電路等。開關(guān)邏輯電路、觸發(fā)器和存儲(chǔ)電路等。(4) (4) 隧道效應(yīng)的應(yīng)用隧道效應(yīng)的應(yīng)用 p-n

25、結(jié)隧道擊穿（齊納擊穿）結(jié)隧道擊穿（齊納擊穿）lx0(b) p-n結(jié)結(jié)的三角形的三角形勢(shì)壘勢(shì)壘 p-n p-n結(jié)加反向偏壓結(jié)加反向偏壓時(shí)，勢(shì)壘區(qū)能帶發(fā)生傾時(shí)，勢(shì)壘區(qū)能帶發(fā)生傾斜。反向偏壓越大，能斜。反向偏壓越大，能帶越傾斜，甚至出現(xiàn)帶越傾斜，甚至出現(xiàn)n n區(qū)導(dǎo)帶底低于區(qū)導(dǎo)帶底低于p p區(qū)價(jià)帶區(qū)價(jià)帶頂?shù)那闆r，此時(shí)頂?shù)那闆r，此時(shí)A A、B B兩兩點(diǎn)能量相同，為電子穿點(diǎn)能量相同，為電子穿越勢(shì)壘創(chuàng)造條件。越勢(shì)壘創(chuàng)造條件。npEcEv勢(shì)壘區(qū)勢(shì)壘區(qū)E(a) 大反大反向偏壓下向偏壓下p-n結(jié)能結(jié)能帶圖帶圖ABlx 隧道長(zhǎng)度隧道長(zhǎng)度lxEg 隨著能帶的傾斜，隨著能帶的傾斜，隧道長(zhǎng)度隧道長(zhǎng)度lx越來越薄，當(dāng)反越來

26、越薄，當(dāng)反向偏壓達(dá)向偏壓達(dá)到一定值，到一定值，lx 短到一定程度時(shí)，隧道概率短到一定程度時(shí)，隧道概率大增，大增，p p區(qū)價(jià)帶中大量的電子將通過隧道效應(yīng)穿越區(qū)價(jià)帶中大量的電子將通過隧道效應(yīng)穿越勢(shì)壘勢(shì)壘( (禁帶禁帶) )到達(dá)到達(dá)n n區(qū)的導(dǎo)帶（區(qū)的導(dǎo)帶（i.e. AB），使得反），使得反向電流激增，于是向電流激增，于是p-np-n結(jié)發(fā)生結(jié)發(fā)生隧道擊穿隧道擊穿。依據(jù)。依據(jù)(11)(11)式，隧道概率為式，隧道概率為*202()xDnmV E dxPe 假定假定E=0E=0，結(jié)果，結(jié)果*4exp23ngxPm E l (4) (4) 隧道效應(yīng)的應(yīng)用隧道效應(yīng)的應(yīng)用掃描隧道顯微鏡（掃描隧道顯微鏡（STM

27、） 由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表完全局限于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱?，而是在表面以外呈指?shù)形面邊界處突變?yōu)榱?，而是在表面以外呈指?shù)形式衰減，衰減長(zhǎng)度約為式衰減，衰減長(zhǎng)度約為1nm。 只要將具有原子線度的極細(xì)探針以及被研只要將具有原子線度的極細(xì)探針以及被研究物質(zhì)的表面作為兩個(gè)電極，當(dāng)樣品與針尖的究物質(zhì)的表面作為兩個(gè)電極，當(dāng)樣品與針尖的距離非常接近（距離非常接近（ 1nm）時(shí)，它們的表面電子）時(shí)，它們的表面電子云就可能重疊。云就可能重疊。掃描隧道顯微鏡（掃描隧道顯微鏡（STM）裝置示意圖）裝置示

28、意圖U0U0U0樣樣品品針針尖尖dE電子云重疊電子云重疊 這時(shí)，若在樣品與針這時(shí)，若在樣品與針尖之間加一微小電壓尖之間加一微小電壓Ub，電子在外電場(chǎng)作用下就會(huì)電子在外電場(chǎng)作用下就會(huì)穿過兩極間的絕緣層流向穿過兩極間的絕緣層流向另一極，產(chǎn)生隧道電流，另一極，產(chǎn)生隧道電流，并通過反饋電路傳遞到計(jì)并通過反饋電路傳遞到計(jì)算機(jī)上表現(xiàn)出來。算機(jī)上表現(xiàn)出來。 隧道電流隧道電流 iABUbd探針探針樣品樣品 bAdiU e A 常量常量 樣品表面平均勢(shì)壘高度（樣品表面平均勢(shì)壘高度（ eV） d 1nmd 變變 i 變，反映表面情況。變，反映表面情況。d 變變 0.1nm 隧道電流隧道電流 i 變幾十倍，非常靈敏

29、。變幾十倍，非常靈敏。反饋反饋電路電路 如果控制隧道電如果控制隧道電流不變，則探針在垂流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高直于樣品方向上的高度變化就能反映樣品度變化就能反映樣品表面的起伏；表面的起伏； 如果控制針尖的高如果控制針尖的高度不變，通過隧道電流度不變，通過隧道電流的變化可得到表面態(tài)密的變化可得到表面態(tài)密度的分布。度的分布。 STM具有原子級(jí)分辨率，可分辨出單個(gè)原子；具有原子級(jí)分辨率，可分辨出單個(gè)原子；具有直接觀測(cè)的性能，有利于對(duì)表面反應(yīng)、擴(kuò)散等具有直接觀測(cè)的性能，有利于對(duì)表面反應(yīng)、擴(kuò)散等動(dòng)態(tài)過程的研究；還可得到單原子層表面的局部結(jié)動(dòng)態(tài)過程的研究；還可得到單原子層表面的局部結(jié)構(gòu)，直接繪

30、出表面的三維圖象，直接觀測(cè)到局部的構(gòu)，直接繪出表面的三維圖象，直接觀測(cè)到局部的表面缺陷、表面重構(gòu)、表面吸附體的形態(tài)和位置，表面缺陷、表面重構(gòu)、表面吸附體的形態(tài)和位置，以及由吸附體引起的表面重構(gòu)等。以及由吸附體引起的表面重構(gòu)等。豎直分辨本領(lǐng)可達(dá)約豎直分辨本領(lǐng)可達(dá)約10 2 nm； 橫向分辨本領(lǐng)橫向分辨本領(lǐng)與探針、樣品材料及絕緣物有關(guān)，與探針、樣品材料及絕緣物有關(guān)，在真空中在真空中可達(dá)可達(dá) 0.2 nm。 STM 在在表面科學(xué)表面科學(xué)、材料科學(xué)材料科學(xué)和和生命科學(xué)生命科學(xué)等領(lǐng)等領(lǐng)域中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用前景。被國(guó)際科域中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用前景。被國(guó)際科學(xué)界學(xué)界公認(rèn)為公認(rèn)為20世紀(jì)世紀(jì)

31、80年代世界年代世界19大科技成就之一大科技成就之一。 STM顯示的生物顯示的生物DNA分子表面圖像分子表面圖像用用STM得到的神經(jīng)細(xì)胞象得到的神經(jīng)細(xì)胞象硅表面硅表面7 7重構(gòu)圖象重構(gòu)圖象中國(guó)科學(xué)院科學(xué)家的中國(guó)科學(xué)院科學(xué)家的“原子書法原子書法” 在石墨表面上刻蝕在石墨表面上刻蝕的出來最小的中國(guó)地圖的出來最小的中國(guó)地圖 （納米量級(jí)）（納米量級(jí)） 在硅單晶表面上提在硅單晶表面上提走硅原子形成寬度為走硅原子形成寬度為 2 納米的線條字樣納米的線條字樣 操縱原子已不是夢(mèng)操縱原子已不是夢(mèng)“掃描隧道繪畫掃描隧道繪畫”一氧化碳一氧化碳“分子人分子人”1991年年恩格勒恩格勒等用等用STM在鎳單晶表面逐個(gè)移動(dòng)

32、在鎳單晶表面逐個(gè)移動(dòng)氙原子，拼成了字母氙原子，拼成了字母 IBM，每個(gè)字母長(zhǎng)每個(gè)字母長(zhǎng) 5 納米納米 用用STM移動(dòng)移動(dòng)48個(gè)個(gè)Fe原子到原子到Cu表面表面上構(gòu)成的上構(gòu)成的 “量子圍欄量子圍欄”3 一維諧振子一維諧振子(1) (1) 一維諧振子的勢(shì)能函數(shù)一維諧振子的勢(shì)能函數(shù)一維運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)諧振子（一維運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)諧振子（線性諧振子線性諧振子）其勢(shì)能）其勢(shì)能 2221122V xkxmx （m 振子質(zhì)量；振子質(zhì)量； 固有頻率）固有頻率）代表在其平衡位置代表在其平衡位置(穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn))附近的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。附近的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 諧振子模型在很多問題中有重要應(yīng)用，例如，諧振子模型在很多問題中有重要應(yīng)用，例如，

33、分子中的原子或晶格點(diǎn)陣上的原子都可以近似看分子中的原子或晶格點(diǎn)陣上的原子都可以近似看成在其平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的諧振子。成在其平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的諧振子。 作諧振動(dòng)作諧振動(dòng)的粒子就稱的粒子就稱諧振子諧振子 雙原子分子中兩個(gè)原子之間的勢(shì)能雙原子分子中兩個(gè)原子之間的勢(shì)能 V 是兩原子是兩原子之間距離之間距離 x 的函數(shù)（如圖）。的函數(shù)（如圖）。 其中其中x = x0處處( )0 ;V xx 200( )()2kV xVxx 0 x 在在x = x0處，勢(shì)能有一處，勢(shì)能有一極小值，這是個(gè)穩(wěn)定平衡極小值，這是個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)。在這點(diǎn)附近，點(diǎn)。在這點(diǎn)附近，V(x) 可可以展成以展成( xx0 )的冪級(jí)

34、數(shù)的冪級(jí)數(shù)進(jìn)一步有進(jìn)一步有21( )2V xkx （取平衡點(diǎn)為原點(diǎn)和勢(shì)能零點(diǎn)取平衡點(diǎn)為原點(diǎn)和勢(shì)能零點(diǎn)） 經(jīng)典物理中，諧振子的能量經(jīng)典物理中，諧振子的能量E (= p2/2m+V )可以具有任意連續(xù)的值?？梢跃哂腥我膺B續(xù)的值。那么，量子力學(xué)的結(jié)果又如何呢？那么，量子力學(xué)的結(jié)果又如何呢？ 其實(shí)，物理上任何復(fù)雜的振動(dòng)體系都可看成其實(shí)，物理上任何復(fù)雜的振動(dòng)體系都可看成許多諧振子的集合（疊加），因此討論諧振子許多諧振子的集合（疊加），因此討論諧振子問題十分重要。問題十分重要。(2) (2) 定態(tài)薛定諤方程及其求解定態(tài)薛定諤方程及其求解 22222222122122pHmxmdmxm dx 線性諧振子的線

35、性諧振子的Hamilton量：量：定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程222221()()22dmxxExm dx mxx 2E 引入無量綱變量引入無量綱變量222()0dd 可將薛定諤方程改寫為可將薛定諤方程改寫為這是一個(gè)變系數(shù)的二階微分方程。這是一個(gè)變系數(shù)的二階微分方程。 求解策略：求解策略：“抓兩頭，帶中間抓兩頭，帶中間”“抓兩頭抓兩頭” 指先看方程在指先看方程在“兩頭兩頭”的的漸進(jìn)行漸進(jìn)行為為。3 3維情況下是看在零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的漸進(jìn)行維情況下是看在零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的漸進(jìn)行為；為；1 1維則看正負(fù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的漸進(jìn)行為。維則看正負(fù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的漸進(jìn)行為。“帶中間帶中間” 指對(duì)波函數(shù)做變換，使之在兩頭指對(duì)

36、波函數(shù)做變換，使之在兩頭有漸進(jìn)行為規(guī)定的形式。有漸進(jìn)行為規(guī)定的形式。（1212）n “抓兩頭抓兩頭” 考察方程考察方程(12)在在 時(shí)，解時(shí)，解 的漸進(jìn)行為。的漸進(jìn)行為。此時(shí)此時(shí) 2，方程，方程(12)近似為近似為2220dd 22dddd dd 21 2 其解其解22 e 方程方程(12)(12)的漸進(jìn)解的漸進(jìn)解（ 時(shí)的解）時(shí)的解）222()0 (12)dd 由于波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化條件要求由于波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化條件要求 時(shí)，時(shí)， 應(yīng)有限，應(yīng)有限，故故方程方程(12)的漸進(jìn)解應(yīng)取的漸進(jìn)解應(yīng)取22 e n “帶中間帶中間”對(duì)波函數(shù)做變換對(duì)波函數(shù)做變換2/2)()( eH使波函數(shù)具有漸進(jìn)行為規(guī)定的形式。函數(shù)使

37、波函數(shù)具有漸進(jìn)行為規(guī)定的形式。函數(shù)H( )應(yīng)滿足應(yīng)滿足 當(dāng)當(dāng)有限時(shí)，有限時(shí)，H()有限；有限； 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，H()的行為要保證的行為要保證 ()0上式代人方程上式代人方程(12)，得到，得到H( )滿足的方程滿足的方程下面只需確定函數(shù)下面只需確定函數(shù)H( )的形式。的形式。使用級(jí)數(shù)解法，將使用級(jí)數(shù)解法，將H( )展開成展開成 的冪級(jí)數(shù)：的冪級(jí)數(shù)：0kkkHb 可以證明，這個(gè)級(jí)數(shù)必須在某項(xiàng)處中斷為有限項(xiàng)，可以證明，這個(gè)級(jí)數(shù)必須在某項(xiàng)處中斷為有限項(xiàng)，才能保證解的漸進(jìn)行為：才能保證解的漸進(jìn)行為：0222(1)0d HdHHdd （13）而級(jí)數(shù)為有限項(xiàng)（多項(xiàng)式）的而級(jí)數(shù)為有限項(xiàng)（多項(xiàng)式）的條件就是條件

38、就是 21(0,1,2,.)nn 相應(yīng)的多項(xiàng)式相應(yīng)的多項(xiàng)式0( )nknkkHb 稱為稱為厄米厄米(Hermite)多項(xiàng)式多項(xiàng)式。（ n 項(xiàng)后面的項(xiàng)中斷項(xiàng)后面的項(xiàng)中斷）厄米多項(xiàng)式的性質(zhì)厄米多項(xiàng)式的性質(zhì)1. Hn( )可以表示成可以表示成22) 1()( eddeHnnnn2. 正交性正交性 22nmnmnHHedn ！3. 遞推公式遞推公式111( )2( )( )2( )2( )0nnnnndHnHdHHnH 4. 最低階的幾個(gè)厄米多項(xiàng)式最低階的幾個(gè)厄米多項(xiàng)式H0=1 H1=2H2=42 - 2 H3=83 - 12 1();0,1,2,.2nEnn 1nnEE 這正是普朗克在解釋黑體輻射時(shí)

39、的觀點(diǎn)！這正是普朗克在解釋黑體輻射時(shí)的觀點(diǎn)！表明諧振子的能量是分立的（量子化的）！且相鄰表明諧振子的能量是分立的（量子化的）！且相鄰兩能級(jí)間隔兩能級(jí)間隔諧振子能量及零點(diǎn)能諧振子能量及零點(diǎn)能由于由于 以及以及2E 21(0,1,2,.)nn 所以一維諧振子的能量所以一維諧振子的能量最低能量（基態(tài)能量，最低能量（基態(tài)能量，n=0）0102E 零點(diǎn)能零點(diǎn)能諧振子的零點(diǎn)能不為零，這與無限深勢(shì)阱中的粒諧振子的零點(diǎn)能不為零，這與無限深勢(shì)阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二象性的表現(xiàn)，能量為零的二象性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的靜止的”波是沒有波是沒有

40、意義的，零點(diǎn)能是量子效應(yīng)。意義的，零點(diǎn)能是量子效應(yīng)。上述結(jié)果均不同于經(jīng)典振子！上述結(jié)果均不同于經(jīng)典振子！諧振子歸一化波函數(shù)諧振子歸一化波函數(shù)22( )( ); nnnN Hex 對(duì)應(yīng)于能量對(duì)應(yīng)于能量En的波函數(shù)為的波函數(shù)為 Nn 歸一化系數(shù)歸一化系數(shù)221( )( )nnnnndxN eHHdx 波函數(shù)歸一化條件：波函數(shù)歸一化條件：22( )( )nnneHHdN 22nnNn ！12()2!nnNn 則諧振子波函數(shù)為：則諧振子波函數(shù)為：222( )()xnnnxN Hx e 12()2!nnNn m 例子例子：寫出一維諧振子基態(tài)、第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)。寫出一維諧振子基態(tài)、第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)。2220( );xxe 2221( )2xxxe 同樣能量的經(jīng)典諧振子，其運(yùn)動(dòng)范圍由紅線表示。同樣能量的經(jīng)典諧振子，其運(yùn)動(dòng)范圍由紅線表示。0n 3n 2n 1n 經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典禁區(qū)諧振子的諧振子的特征長(zhǎng)度特征長(zhǎng)度xn： 221122nV xEmxn 0212121nnxnnxm x0 基態(tài)諧振子特征長(zhǎng)度基態(tài)諧振子特征長(zhǎng)度( )nx 在有限范圍內(nèi)與在有限范圍內(nèi)與 x 軸相交軸相交 n 次，即次，即( )0nx 有