余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)方案2（劉亮生）

1、 人教A版必修五余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)衡陽(yáng)市第八中學(xué) 劉亮生 一、教學(xué)內(nèi)容分析:本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修5（人教A版）第一章余弦定理第一課時(shí)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量等知識(shí)之后，是對(duì)三角知識(shí)的應(yīng)用；同時(shí)，作為三角形中的一個(gè)定理，也是對(duì)解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用十分廣泛.余弦定理的教學(xué)分為以下這幾個(gè)步驟：第一，教師通過實(shí)際問題引入，讓學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題；第二，類比同起點(diǎn)兩向量的夾角與他們終點(diǎn)關(guān)系，舉出特例，提出猜想；第三，采用“向量法”、“構(gòu)造直角三角形法”、“坐標(biāo)法”三種方法證明了余弦定理；第四，通過對(duì)余弦定理公式的變形得到推論，進(jìn)一步運(yùn)用定理

2、判定三角形的形狀；第五，利用定理，解決引入問題，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.學(xué)生通過對(duì)任意三角形中余弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察探究猜想證明應(yīng)用”這一數(shù)學(xué)思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神.二、學(xué)情分析: 對(duì)普高高二的學(xué)生來(lái)說(shuō)，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識(shí)，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，多加以前后知識(shí)間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動(dòng)成果的喜悅.三、設(shè)計(jì)思想： 本節(jié)課采用探究式問題教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)

3、引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，從實(shí)際問題出發(fā)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題這個(gè)過程體驗(yàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。通過主動(dòng)探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn)。逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力.四、教學(xué)目標(biāo)：1通過對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，探究，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出余弦定理，掌握余弦定理的內(nèi)容及其證明方法，能運(yùn)用余弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題.2通過對(duì)實(shí)際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生

4、的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力.3培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)： 教學(xué)重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。 教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的猜想提出過程，余弦定理的證明。 教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計(jì)算器。六、教學(xué)過程：（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題：情境:如圖1所示的兩地之間隔著一座小山，現(xiàn)要在之間修建的一條隧道，在以外的點(diǎn)測(cè)得，,如何求兩地之間隧道的長(zhǎng)度（精確到）？ 問題1:上述問題是解決三角形當(dāng)中有關(guān)什么問題？ 學(xué)生：解關(guān)于

5、知道三角形兩邊及它們夾角，求第三邊問題. 教師：能否用正弦定理解決？ 學(xué)生：不能. 教師：本節(jié)課我們將要探究的問題是:在已知三角形兩條邊的前提下,其夾角與第三條邊的長(zhǎng)度之間關(guān)系，這正是余弦定理所揭示的規(guī)律-引入課題.設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的興趣，同時(shí)抽象出數(shù)學(xué)問題引入新課.（2） 問題化歸，構(gòu)建模型：CAB 問題2:如圖2，已知,如果確定，當(dāng)變化時(shí)，向量的長(zhǎng)度的變化趨勢(shì)如何？ 教師：（用制作的動(dòng)畫演示，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律） 學(xué)生：當(dāng)變大時(shí)，向量的長(zhǎng)度變大.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在已知三角形兩邊的前提下，找到他們的夾角的變化對(duì)第三邊的變化的影響。（3） 特例探究，提出猜想：CBA

6、 問題3:已知,若的范圍為，當(dāng)、三種特殊情況時(shí),則分別為多少？A 學(xué)生：當(dāng)時(shí)，；CB 當(dāng)時(shí)，；CAB 當(dāng)時(shí)，. 教師：以上三種特殊位置，可以用統(tǒng)一的形式表示： 當(dāng)時(shí),； 當(dāng)時(shí),； 當(dāng)時(shí),設(shè)計(jì)意圖：從三個(gè)特殊角度與第三邊之間的關(guān)系去找到它們的共同特征，讓學(xué)生提出合理猜想。CAB 問題4:請(qǐng)你根據(jù)上述三個(gè)特例的結(jié)果，試猜想：在中，已知,當(dāng)，線段的長(zhǎng)度為多少？ 學(xué)生:當(dāng)時(shí)，（四）證明猜想，得出定理： 問題5：你能證明該猜想嗎？試一試，看能用幾種方法證明？ 教師：剛才我們研究了：在兩向量的大小確定的前提下，兩向量的夾角的變化對(duì)兩向量終點(diǎn)連線的長(zhǎng)度變化的影響，我們可以用向量的方法證明猜想嗎？（學(xué)生思考并

7、小組討論）學(xué)生：可以用向量的數(shù)量積求邊長(zhǎng).ABC方法一：（構(gòu)造向量數(shù)量積） 證明：如圖，因?yàn)?，所以?即 即，猜想成立. 教師：這種方法的思路是構(gòu)造向量,借助向量的運(yùn)算來(lái)證題.將向量等式轉(zhuǎn)化數(shù)量等式常用的手段是作數(shù)量積.方法二：（構(gòu)造直角三角形）ACBbaD 證明：(1)當(dāng)為銳角時(shí),過點(diǎn)A作于D.則 =.(2)當(dāng)為直角時(shí),結(jié)論顯然成立.(3)當(dāng)為鈍角時(shí), 過點(diǎn)A作交BC的延長(zhǎng)線于D.ACBbaD 則 =.綜上所述,均有,故猜想成立. 教師：這種思路是構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來(lái)計(jì)算AB的長(zhǎng),但要注意這里要分三種情況討論.方法三：（建立直角坐標(biāo)系） 證明：ACBBB建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則

8、，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得，所以，即,故猜想成立. 教師：這種思路是建立平面直角坐標(biāo)系,借助于坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證題.利用坐標(biāo)法的優(yōu)點(diǎn)在于不必分類討論了且運(yùn)算簡(jiǎn)單.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生以小組為單位討論解決問題的方法，老師適當(dāng)引導(dǎo)點(diǎn)撥 ，由學(xué)生自己證明，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位. 問題6：以上結(jié)論為余弦定理，如何用文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言表示以上定理？你能說(shuō)出來(lái)嗎？ 教師：大家觀察我們剛才證明的式子，如果把它們平方就可以得出結(jié)論？ 學(xué)生：，即. 教師：同理這個(gè)式子也可以用來(lái)求另外兩邊，你能把其他兩邊也用式子表示出來(lái)嗎？ 學(xué)生：可以，； . 教師：很好,這三個(gè)式子就是余弦定理的符號(hào)語(yǔ)言表述形式,這個(gè)式子非常美觀,便

9、于記憶,希望大家好好記憶,請(qǐng)問那位同學(xué)能用文字語(yǔ)言把它表述出來(lái)嗎? 符號(hào)語(yǔ)言： ； ； . 文字語(yǔ)言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦的積的兩倍.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生用兩種數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述已經(jīng)證明的定理，加深對(duì)定理的理解，提高學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力及數(shù)學(xué)語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)換能力，特別是符號(hào)語(yǔ)言表述結(jié)構(gòu)具有輪換對(duì)稱美，便于記憶.（5） 合理變型，深化理解： 教師：我們已經(jīng)得到了一個(gè)非常漂亮的定理，其符號(hào)語(yǔ)言表述具有輪換對(duì)稱美，請(qǐng)大家請(qǐng)思考下面的問題？ 問題7：余弦定理是關(guān)于三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系。應(yīng)用余弦定理，我們可以由三角形的三邊來(lái)確定三角形的角嗎？怎么確定

10、？ 學(xué)生：求角我們可以把上面的式子變形，使角和邊分離. 教師：很好，那大家動(dòng)手寫一下，看看公式變成什么樣子？ 學(xué)生：；. 教師：看來(lái)大家都不錯(cuò)，我們把剛才變形之后的公式叫做余弦定理的推論.余弦定理推論：； ；.設(shè)計(jì)意圖：對(duì)公式進(jìn)行變形，學(xué)生很明確就能發(fā)現(xiàn)如何知道三角形的三邊求角. 問題8：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形三邊的平方之間的關(guān)系，如何看待這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？ 教師：你們?nèi)绾慰创陨系膯栴}？能得到什么結(jié)論？ 學(xué)生：勾股定理是余弦定理的特殊情況，余弦定理是勾股定理的推廣.教師：能否根據(jù)余弦定理的推論來(lái)判定三角形的每個(gè)角是銳角、直角鈍角？如何判斷

11、？ 學(xué)生：可以，將各邊代人余弦定理的推論式子，根據(jù)式子的符號(hào)來(lái)判定角的余弦的符號(hào)，若，則A是銳角；若，則A是直角；若，則A是鈍角.教師： （大家一起歸納） 1. ； 2. ； 3. . 教師：判定三角形形狀關(guān)鍵是判定哪個(gè)角？ 學(xué)生：判定最大角. 教師：說(shuō)得好，在知道三角形三邊的前提下，要判斷三角形形狀，只要判斷最大角的大小即可；剛才我們對(duì)余弦定理及推論進(jìn)行了探討，大家議議，余弦定理可以解決一些什么問題？ 學(xué)生：1.已知三角形兩邊及夾角，求第三邊； 2.已知三角形三邊，求任意一角；3.判定三角形形狀.設(shè)計(jì)意圖：發(fā)現(xiàn)勾股定理與余弦定理之間的區(qū)別與聯(lián)系，并能運(yùn)用定理判斷角的范圍，從而判定三角形的形狀

12、.（6） 運(yùn)用定理，解決問題： 例1.在，,求邊的長(zhǎng)度（精確到）？ 解：根據(jù)余弦定理， 例2.在，,求該三角形的最大角與最小角的余弦值，并請(qǐng)判定該三角形的形狀. 解：，,根據(jù)余弦定理，;.,為銳角三角形.（7） 隨堂訓(xùn)練，鞏固反饋： 1.已知在中，那么等于（ B ） A、 B、 C、 D、 2.已知在中，則等于( A ) A、123 B231 C132D312 3.若三條線段的長(zhǎng)為5、6、8，則用這三條線段（ C ） A、能組成直角三角形 B、能組成銳角三角形 C、能組成鈍角三角形 D、不能組成三角形七.課時(shí)小結(jié)：（一）.探究過程： 1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題；2.問題化歸，構(gòu)建模型；3.特例探究

13、，提出猜想； 4.證明猜想，得出定理；5.合理變型，深化理解；6.運(yùn)用定理，解決問題； 7.隨堂訓(xùn)練，鞏固反饋.（二）.知識(shí)體系： 1.余弦定理： 文字語(yǔ)言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦的積的兩倍. 符號(hào)語(yǔ)言： ； ； . 2.余弦定理推論：; ;. 3.余弦定理的應(yīng)用： 1.已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；2.已知三角形三邊，求任意一角；3.判定三角形形狀.（三）.探究思想方法： 1.從特殊到一般思想；2.轉(zhuǎn)化化歸思想；3.歸納猜想思想；4.數(shù)形結(jié)合思想.八作業(yè)：必做：教材P10 習(xí)題1.1 A組 3、4.選做：教材P10 習(xí)題1.1 B組 2.

14、思考題：已知a、b、c為ABC的三邊，且a2-a-2b-2c0，a2b-2c30，求這個(gè)三角形的最大內(nèi)角九教學(xué)反思：本課的教學(xué)應(yīng)具有承上啟下的目的，因此在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)既要兼顧前后知識(shí)的聯(lián)系，又要使學(xué)生明確本課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，將新舊知識(shí)逐漸地融為一體，構(gòu)建比較完整的知識(shí)系統(tǒng)。所以在余弦定理的表現(xiàn)方式、結(jié)構(gòu)特征上重加指導(dǎo)，只有當(dāng)學(xué)生正確地理解了余弦定理的本質(zhì)，才能更好地應(yīng)用求解問題.本課教學(xué)設(shè)計(jì)力求在型（模型、類型），質(zhì)（實(shí)質(zhì)、本質(zhì)），思（思維、思想方法）上達(dá)到教學(xué)效果。本課之前學(xué)生已學(xué)習(xí)過三角函數(shù)，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，使本課有了較多的處理工具，也使余弦定理的探討有了更加簡(jiǎn)潔的工具。因此在本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中抓住前后知識(shí)的聯(lián)系，重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決一些實(shí)際問題.學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造力不足、看待問題不深入，很大原因在于學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)不夠完善。因此本課運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從多角度看待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行示范引導(dǎo)，將舊知識(shí)與新知識(shí)進(jìn)行重組擬合及提高，幫助學(xué)生建立自己的良好知識(shí)結(jié)構(gòu).本教學(xué)設(shè)計(jì)的創(chuàng)新之處1.教學(xué)目標(biāo)創(chuàng)新 (1)培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般地探究問題的能力；(2)培養(yǎng)