2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試題（文科）（新課標(biāo)Ⅱ）（含解析）

1、絕密啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，在選涂其它答案標(biāo)號框.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合A=x|x|<3，xZ，B=x|x|>1，xZ，則AB=( )A. B. 3，2，2，3)C. 2，0，2D. 2，2【答案】D【解析

2、】【分析】解絕對值不等式化簡集合的表示，再根據(jù)集合交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，或，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查集合交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.2.(1i)4=( )A. 4B. 4C. 4iD. 4i【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，a12.設(shè)1i<j<k12若kj=3且ji=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若kj=4且ji=3，則稱ai，aj，ak為原位

3、小三和弦用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為( )A. 5B. 8C. 10D. 15【答案】C【解析】【分析】根據(jù)原位大三和弦滿足，原位小三和弦滿足從開始，利用列舉法即可解出【詳解】根據(jù)題意可知，原位大三和弦滿足：；原位小三和弦滿足：；故個(gè)數(shù)之和為10故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查列舉法的應(yīng)用，以及對新定義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題4.在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.

4、05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者( )A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名【答案】B【解析】【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，設(shè)需要志愿者x名，,故需要志愿者名.故選：B【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷即可.【

5、詳解】由已知可得：.A：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不符合題意；B：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不符合題意；C：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不符合題意；D：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)符合題意.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)，考查了兩平面向量數(shù)量積為零則這兩個(gè)平面向量互相垂直這一性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6.記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a5a3=12，a6a4=24，則=( )A. 2n1B. 221nC. 22n1D. 21n1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公比，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，所

6、以，因此.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7.執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的k=0，a=0，則輸出的k為( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，即可求得答案.【詳解】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出的值模擬程序的運(yùn)行過程第1次循環(huán)，為否第2次循環(huán)，為否第3次循環(huán)，為否第4次循環(huán)，為是 退出循環(huán)輸出.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求循環(huán)框圖的輸出值，解題關(guān)鍵

7、是掌握模擬循環(huán)語句運(yùn)行的計(jì)算方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.若過點(diǎn)(2，1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距

8、離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為( )A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】因?yàn)?，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號的焦距的最小值：故選：B.

9、【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.10.設(shè)函數(shù),則( )A. 是奇函數(shù)，且在(0,+)單調(diào)遞增B. 是奇函數(shù)，且在(0,+)單調(diào)遞減C. 是偶函數(shù)，且在(0,+)單調(diào)遞增D. 是偶函數(shù)，且在(0,+)單調(diào)遞減【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域?yàn)?，利用定義可得出函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性法則，即可解出【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋潢P(guān)于原點(diǎn)對稱，而，所以函數(shù)為奇函數(shù)又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，在

10、上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題11.已知ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16，則O到平面ABC的距離為( )A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)球的表面積和的面積可求得球的半徑和外接圓半徑，由球的性質(zhì)可知所求距離.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長為， 是面積為的等邊三角形，解得：，球心到平面的距離.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓

11、圓心的連線必垂直于三角形所在平面.12.若，則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】將不等式變?yōu)?，根?jù)的單調(diào)性知，以此去判斷各個(gè)選項(xiàng)中真數(shù)與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，則A正確，B錯(cuò)誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則_【答案】【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式進(jìn)行運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案：.【點(diǎn)睛】本題

12、考查了余弦的二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和若，則_【答案】【解析】【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.若x，y滿足約束條件則最大值是_【答案】【解析】【分析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后平移直線，在平面區(qū)域內(nèi)找到一點(diǎn)使得直線在縱軸上的截距最大，求出點(diǎn)的

13、坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橄聢D所示：平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線在縱軸上的截距最大，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解，解得：，因此的最大值為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.16.設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.p4：若直線l平面，直線m平面，則ml.則下述命題中所有真命題的序號是_.【答案】【解析】【分析】利用兩交線直線確定一個(gè)平面可判斷命題的真假；利用三點(diǎn)共線可判斷命題的真假；利用異面直線可

14、判斷命題的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題的真假.再利用復(fù)合命題的真假可得出結(jié)論.【詳解】對于命題，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面為；若與相交，則交點(diǎn)在平面內(nèi)，同理，與的交點(diǎn)也在平面內(nèi)，所以，即，命題為真命題；對于命題，若三點(diǎn)共線，則過這三個(gè)點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè)，命題為假命題；對于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面，命題為假命題；對于命題，若直線平面，則垂直于平面內(nèi)所有直線，直線平面，直線直線，命題為真命題.綜上可知，為真命題，為假命題，為真命題，為假命題，為真命題，為真命題.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假，同時(shí)也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等題.

15、三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(1)求A；(2)若，證明：ABC是直角三角形【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，可化為，即可解出；(2)根據(jù)余弦定理可得，將代入可找到關(guān)系，再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出【詳解】(1)因?yàn)?，所以，即，解得，又，所以?2)因?yàn)?，所以，即，又?將代入得，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形【點(diǎn)睛】本題主要考查

16、誘導(dǎo)公式和平方關(guān)系的應(yīng)用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題18.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得，.(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i=1，2，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01

17、)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)r=，1.414.【答案】(1)；(2)；(3)詳見解析【解析】【分析】(1)利用野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可；(2)利用公式計(jì)算即可；(3)各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣.【詳解】(1)樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為，地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為(2)樣本(i=1，2，20)的相關(guān)系數(shù)為(3)由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋

18、面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).【點(diǎn)晴】本題主要考查平均數(shù)的估計(jì)值、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.19.已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合過F且與x軸重直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|(1)求C1的離心率；(2)若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2

19、的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】(1)；(2)：，： .【解析】【分析】(1)根據(jù)題意求出的方程，結(jié)合橢圓和拋物線的對稱性不妨設(shè)在第一象限，運(yùn)用代入法求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)，結(jié)合橢圓離心率的公式進(jìn)行求解即可；(2)由(1)可以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，再確定拋物線的準(zhǔn)線方程，最后結(jié)合已知進(jìn)行求解即可；【詳解】解：(1)因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為：,所以拋物線的方程為，其中.不妨設(shè)在第一象限，因?yàn)闄E圓的方程為：，所以當(dāng)時(shí)，有，因此的縱坐標(biāo)分別為，；又因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以當(dāng)時(shí)，有，所以的縱坐標(biāo)分別為，故，.由得，即，解得(舍去)，.所以的離心率為.(2)由(1)知，故，所以的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

20、的準(zhǔn)線為.由已知得，即.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的離心率，考查了求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)以及拋物線的準(zhǔn)線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20.如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F(1)證明：AA1/MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；(2)設(shè)O為A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO/平面EB1C1F，且MPN=，求四棱錐BEB1C1F的體積【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)由分別為

21、，的中點(diǎn)，根據(jù)條件可得，可證，要證平面平面，只需證明平面即可；(2)根據(jù)已知條件求得和到的距離，根據(jù)椎體體積公式，即可求得.【詳解】(1)分別為，的中點(diǎn)，又在等邊中，為中點(diǎn)，則又側(cè)面為矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面 又平面平面平面平面平面(2)過作垂線，交點(diǎn)為，畫出圖形，如圖平面平面，平面平面又為的中心.故：，則，平面平面，平面平面，平面平面又在等邊中即由(1)知，四邊形為梯形四邊形的面積為：，為到的距離，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明線線平行和面面垂直，及其求四棱錐的體積，解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)為求證線面垂直的證法和棱錐的體積公式，考查了分析能力和空間想象能力，屬

22、于中檔題.21.已知函數(shù)f(x)=2lnx+1(1)若f(x)2x+c，求c的取值范圍；(2)設(shè)a>0時(shí)，討論函數(shù)g(x)=的單調(diào)性【答案】(1)；(2)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間【解析】【分析】(1)不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最大值，進(jìn)而進(jìn)行求解即可；(2)對函數(shù)求導(dǎo)，把導(dǎo)函數(shù)的分子構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，再求導(dǎo)得到，根據(jù)的正負(fù)，判斷的單調(diào)性，進(jìn)而確定的正負(fù)性，最后求出函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即，要想不等式在上恒成立，只需；(2)且因此，設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，所以，單調(diào)遞減，因此有，即，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，所以，單調(diào)遞增，因此有，即，所以單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成