長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試題壓軸題總匯及答案

1、長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試題壓軸題總匯52013】(第對(duì)劇)2013年湖南長(zhǎng)沙中考數(shù)學(xué)壓軸題第二道丄2百題)2鼻如田*在平血必用蜂杯麵中，克線>=工+2與上輸、y軸分別交于點(diǎn)小點(diǎn)執(zhí)功點(diǎn)尸8)莊第一象隈內(nèi)，由戌尸向F轆新悴的垂純PMPN(足為M,AO分別與直圾”曲樹交于點(diǎn)E.點(diǎn)力與點(diǎn)尸(瓠時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形卩加N的面枳為定值2.<1)最NOME的度牧；(2) 求證：AOFBEOi(3) 囁點(diǎn)民尸都在找段沖円上時(shí).由三衆(zhòng)線段AE，職甘F組嵐f三肅形記此二俯龜?shù)耐饨诱f(shuō)角幟為£,ZWF的面稅為気.試按穽；%*£比否存在最小值？若存血>請(qǐng)求出該瓏小値；若不存在.請(qǐng)說(shuō)叨理由”【20

2、12】如圖半徑分別為m,n(0m<n)的兩圓0O和0Q相交于P,Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P(4,1)，兩圓同時(shí)與兩坐標(biāo)軸相切，00與x軸，y軸分別切于點(diǎn)M,點(diǎn)N,0O與x軸，y軸分別切于點(diǎn)R,點(diǎn)H。(1) 求兩圓的圓心o,0所在直線的解析式；求兩圓的圓心0,0之間的距離d；12令四邊形卩0診02的面積為S,四邊形RM00的面積為S.112212試探究：是否存在條經(jīng)過(guò)P,Q兩點(diǎn)、開口向下，且在x軸上截得的線段長(zhǎng)為的拋物線？若存在，親、請(qǐng)求出此拋物線的解析式說(shuō)明理由。s-s-42邁d【2011】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為一邊,在其一側(cè)作等邊三角形APQ

3、.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O處時(shí)，記Q的位置為B.(1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2) 求證：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)(P不與0重合)時(shí)，ZABQ為定值；(3) 是否存在點(diǎn)P,使得以A、O、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【2010】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=弘2cm,OC=8cm,現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從0、C同時(shí)出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1) 用t的式子表示AOPO的面積S；(2) 求證：四邊形OPBQ的面積是一個(gè)定值，并求出

4、這個(gè)定值；(3) 當(dāng)MPQ與APAB和AQPB相似時(shí)，拋物線y=1x2+bx+c經(jīng)過(guò)B、P兩點(diǎn)，過(guò)【2009】如圖，二次函數(shù)y二ax2+bx+c(a豐0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C.連結(jié)AC、BC,A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,0)、C(0,3)，且當(dāng)x=-4和x二2時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等.(1)求實(shí)數(shù)a,b,c的值；(2) 若點(diǎn)M、N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，連結(jié)MN，將BMN沿MN翻折，B點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3) 在(2)的條件下，二次函

5、數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以B，N,Q為項(xiàng)點(diǎn)的三角形與AABC相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.y豐【2008】如圖，六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為(常數(shù))的00,其中AD為直徑，且AB=CD=DE=FA.(1) 當(dāng)ZBAD=75時(shí)，求從的長(zhǎng)；(2) 求證：BCADFE；(3) 設(shè)AB=x，求六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)L關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x為何值時(shí)，L取得最大值.【2007】如圖，平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=3,ZBAD=120。，E為BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與B重合)，作EF丄AB于F,FE,DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,設(shè)BE=x,DEF的面積為S(1) 求

6、證：BEFACEG；(2) 求用x表示S的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍；(3) 當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，S有最大值，最大值為多少？11【2006】如圖1,已知直線y二2x與拋物線y二4x2+6交于A,B兩點(diǎn).1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段AB的垂直平分線的解析式；（3）如圖2,取與線段AB等長(zhǎng)的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在A，B兩處.用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P將與A，B構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形，這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在,請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由圖2占（附）（m>0）f且與y軸交于2005】得分評(píng)

7、卷人燙評(píng)人26,£本題滿分10分）已知拋物線y=/+應(yīng)經(jīng)過(guò)慮A（一的）、點(diǎn)C（I）求莊、b的值用舍用的式子表示h口）如圖所示財(cái)過(guò)/、乩C二點(diǎn)，求陰影部分炭形的血積3（用含祈的式子裳示G）在工軸上方，若拋物線上存在點(diǎn)凡便得以月、&F為頂點(diǎn)的三角形與2肚相似，求旳的值，【2004】已知兩點(diǎn)O(0,0)、B(0,2),OA過(guò)點(diǎn)B且與x軸分別相交于點(diǎn)O、C,OA被y軸分成段兩圓弧，其弧長(zhǎng)之比為3：1,直線1與0A切于點(diǎn)O,拋物線的頂點(diǎn)在直線l上運(yùn)動(dòng).(1) 求0A的半徑；(2) 若拋物線經(jīng)過(guò)O、C兩點(diǎn),求拋物線的解析式；(3) 過(guò)1上一點(diǎn)P的直線與0A交于C、E兩點(diǎn)，且PC=CE，求

8、點(diǎn)E的坐標(biāo)；(4) 若拋物線與x軸分別相交于C、F兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為口求厶PEC的面積關(guān)于m的函數(shù)解析式長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試題壓軸題總匯答案1. （1）連結(jié)OB、0C,由ZBAD=75。,0A=0B知ZA0B=30。,（1分）.AB=CD,ZC0D=ZA0B=30°,ZB0C=120。,（2分）故險(xiǎn)的長(zhǎng)為警（3分）（2）連結(jié)BD,TAB=CD,ZADB=ZCBD,BCAD,（5分）同理EFAD,從而BCADFE.（6分）（3）過(guò)點(diǎn)B作BM丄AD于M,由（2）知四邊形ABCD為等腰梯形，從而BC=AD-2AM=2r-2AM.（7分）AD為直徑，ZABD=90。，易得BAMDAB.AM

9、=AB2=X2,.BC=2r竺，同理EF=2r亞（8分）AD2rrr.L=4x+2（2r擔(dān)）=X2+4x+4r=Cr+6r，其中OVxVJ2r（9分）rrr.當(dāng)x=r時(shí)，L取得最大值6r.（10分）2、略26解：:CQ=t,0P=遼t,CO=8：.OQ=8-t1J2:Sopq=2(8-t"=-計(jì)12+4(0VtV8)3分'四邊形OPBQ=S矩形ABCDSpabScbq=8x8<2x8v2tx8x(8囂'2v,2t)=32*2225分四邊形OPBQ的面積為一個(gè)定值，且等于3226分（3）當(dāng)MPQ與APAB和AQPB相似時(shí)，QPB必須是一個(gè)直角三角形，依題意只能是Z

10、QPB=90°又BQ與AO不平行:ZQPO不可能等于NPQB,NAPB不可能等于ZPBQ根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系只能是OPQs&BQsMBP7分解得：t=48經(jīng)檢驗(yàn)：t=4是方程的解且符合題意（從邊長(zhǎng)關(guān)系和速度）此時(shí)P(4J2,0)b（8邁,8）且拋物線y-4x2+bx+c經(jīng)過(guò)Bp兩點(diǎn),拋物線是y4x22、遼X+8，直線BP是:y-邁X88分設(shè)M(m,J2m8)、N(m,M在BP上運(yùn)動(dòng)4遼<m<&2y1x22邁x+8與y-邁x8交于p、B兩點(diǎn)且拋物線的頂點(diǎn)是P142.當(dāng)4邁<m<8J2時(shí)，y>y9分12MN|yiy2|=4(m6孫2+2.

11、當(dāng)m6邁時(shí)，MN有最大值是2設(shè)MN與BQ交于H點(diǎn)則M(62,4)、H(6邁,7)S"BHMSbhm=2x3x2邁=3邁:S五邊形qopmh=3邁：(32邁-3邁)=3:2910分當(dāng)MN取最大值時(shí)兩部分面積之比是3：29.4/134、（1）過(guò)點(diǎn)B作BCy軸于點(diǎn)C,1分A(0,2),AOB為等邊三角形，AB=OB=2,ZBAO=60。，BC=、3,OC=AC=1,即BG3,1).3分(2)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)(P不與O重合)時(shí)，不失一般性,VZPA0=ZOAB=60O,:.ZPAO=ZQAB,4分在厶1卩0和QB中，yAP=AQ,ZPAO=ZQAB,AO=AB,/.APOAAQB總成立，5

12、分ZABQ=ZAOP=90O總成立，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合）時(shí)，ZABQ為定值90O.6分（3）由（2）可知，點(diǎn)Q總在過(guò)點(diǎn)B且與AB垂直的直線上，可見AO與BQ不平行.7分當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方,此時(shí)，若ABOQ,四邊形AOQB即是梯形.當(dāng)AB/OQ時(shí)，ZBQO=90O,ZBOQ=ZABO=60。,又OB=OA=2，可求得BQ=/3,由（2）可知APOAQB,OP=BQ=<3,°此時(shí)P的坐標(biāo)為(一叮3,0).當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的上方，此時(shí)，若AQIIOB，四邊形AOBQ即是梯形.當(dāng)AQIIOB時(shí)，ZQAB=ZABO=60°,Z

13、ABQ=90°,AB=2,:.BQ=2J3.由(2)可知APO今AQB,:.op=bq=2、3,:此時(shí)P的坐標(biāo)為(23,0).綜上，P的坐標(biāo)為(一x-'3,0)或(2*3,0).5、(1)由題意可知，兩圓的圓心都在第一、三象限的角平分線上，故所求解析式為：y=x(2)T0(m,m),02(n,n)(m<n),兩圓的半徑分別為m,n,(m-1)2+(4-m)2=m2：0P=m,0P=n,由題意及勾股定理得：12(n-1)2+(n-4)2=n2解得：m=5-2.：2,n=5+2、：2故d=00'2(m-n)=丫2x42=8(也可構(gòu)造一元二次方程，利用韋達(dá)定理求解)_

14、(3)方法1；TP(4,1)，根據(jù)對(duì)稱性，Q(l,4),故PQ=3邁,TPQ丄0Q;:S=PQ00=!x3*2x8=122,s=(m+n)(n-m)=20、.21212222s-s12J2-20V2故卡亠=產(chǎn)=1;TP(4,1),即P到y(tǒng)軸的距離=4,P又在x軸上方，故當(dāng)拋物線開口2dv'2x8向下時(shí)，且過(guò)P,Q兩點(diǎn)時(shí)，拋物線在x軸上截得的距離不可能為1,故不存在這樣的拋物線；s-s方法2：同上求出2=1,設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x,0),(x,0);2d12則!X1-xj=1，設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,于是有：16a+4b+c=1a+b+c=4解得：8a2-1

15、0a+1=0，求得a=5+v'17_80，與題意矛盾,故不存在這樣的拋物線。6、如圖，平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=3,ZBAD=120。，E為BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與B重合),作EF丄AB于F，F(xiàn)E,DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,設(shè)BE=x,DEF的面積為S.(1) 求證：BEFsCEG；(2) 求用x表示S的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍;(3) 當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，S有最大值，最大值為多少？考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定。專題：壓軸題。分析(1)因?yàn)閆B=ZGCE,ZBEF=ZGEC，所以BEFCEG；(2) 在平行四邊形ABCD中，因?yàn)閆BAD=120

16、6;所以ZB=60°=ZECG,又BE=x,EC=3-x,所以EF、CG可利用三角函數(shù)求出，即在EFG中，邊和邊上的高就為已知，從而求出解析式；(3) 在(2)的基礎(chǔ)上，尋求函數(shù)的最大值.解答(1)證明：TAB/GD,AZB=ZGCE,又VZBEF=ZGEC,.BEFsCEG.（2）解：由（1）DG為DEF中EF邊上的高，在RtABFE中，ZB=60°,EF=BEsinB#x，（4分）在RtACEG中，CE=3-x，CG=（3-x）cos60°=x，（6分）.DG-DC+CG'*，（5分）.S=EFDG=-28其中0<x<3.（7分）（3）解:

17、Va=-矜,對(duì)稱軸x渾，.當(dāng)0<x<3時(shí)，S隨x的增大而增大，.當(dāng)x=3,即E與C重合時(shí)，S有最大值.（9分）S最大（10分）點(diǎn)評(píng)：此題考查內(nèi)容較為豐富，既有平行四邊形又有三角函數(shù)，難易程度適中7、26.（1）解：依題意得iy二-x2+641y二一一x2x二6i1匕一3Iy2=4二2A（63）B（，423分（2）作AB的垂直平分線交x軸，y軸于C,D兩點(diǎn)，交AB于M（如圖1）由（1）可知：OA=3嘗5OB=2p5.AB=5：'51 J5:.OM=-ABOB=2 2圖1第26題過(guò)B作BE丄x軸，E為垂足同理：由beoocm，得:Ob二魯，二oc二4,5分設(shè)CD的解析式為y二k

18、x+b（k豐0）6分AB的垂直平分線的解析式為：y二2x-5.（3）若存在點(diǎn)P使厶APB的面積最大，則點(diǎn)P在與直線AB平行且和拋物線只有一個(gè)交1點(diǎn)的直線y二-x+m上，并設(shè)該直線與x軸，y軸交于G,H兩點(diǎn)（如圖2）.1x+m2x2-x+m-6=042:拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn),(1)22丿-4X4(m-6)=025m=4125在直線GH：y二一-x+中,.G.GH二和圖2第26題設(shè)O到GH的距離為d2GHd=2嚴(yán)嚴(yán)1 25%5712525xd二一xx2 4224d二5<52ABGH,工P到AB的距離等于O到GH的距離d.二S最大面積2AB8、26.依題意得有?a_b_l=0還+渤亠0&#

19、39;解得:1a=m方=巳m(2分):拋物線的解析式為：y=x2+-x-1mm(2)x=0日寸，j/=1；C(0,1)*：OA=OC,：/OAC=45o：ZBMC=2ZOAC=90°又VBC-7+1:S亠MC丄力空=顯+%_（5分）12（3）如圖，由拋物線的對(duì)稱性可知，若拋物線上存在點(diǎn)p,使得以4、b、p為頂點(diǎn)的三角形與ZU/C相似，則P關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)尸也符合題意，即戶、p對(duì)應(yīng)的利值相同，下面以點(diǎn)尸在對(duì)稱軸右側(cè)進(jìn)行分析：（6分）*/zw>0.加=1+y/2即若拋物線上存在點(diǎn)尸，使得以兒B、P為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似，貝U加=1+佢&分）情形二：ABCs/pab則

20、ZR4B=NABC,ABBCAPAB同于情形一:ZR4B=ZABCPDOC1ADOBm可令px(x+l)9、已知兩點(diǎn)O(0,0)、B(0,2),OA過(guò)點(diǎn)B且與x軸分別相交于點(diǎn)O、C,OA被y軸分成段兩圓弧，其弧長(zhǎng)之比為3：1,直線1與0A切于點(diǎn)O,拋物線的頂點(diǎn)在直線l上運(yùn)動(dòng).(1) 求0A的半徑；(2) 若拋物線經(jīng)過(guò)O、C兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；(3) 過(guò)1上一點(diǎn)P的直線與0A交于C、E兩點(diǎn)，且PC=CE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(4) 若拋物線與x軸分別相交于C、F兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為口求厶PEC的面積關(guān)于m的函數(shù)解析式.18分析(1)根據(jù)，0A被y軸分成段兩圓弧，其弧長(zhǎng)之比為3：1,可知弦OB所

21、對(duì)的圓心角的度數(shù)為90°，即三角形OAB為等腰直角三角形，根據(jù)斜邊OB長(zhǎng)為2,因此圓A的半徑應(yīng)該是錯(cuò)誤！未找到引用源。；(2)本題要分兩種情況進(jìn)行求解：圓A的圓心在第一象限時(shí)，那么C點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)是(2,0)，圓A的圓心在第二象限時(shí)，C點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(-2,0)，因此可設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x-2)或y=ax(x+2).已知頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線1上，由于1與圓相切，在(1)已經(jīng)得出ZBOA=45。，因此直線1與y軸的夾角為45。，那么直線1的解析式為y=x或y=-x.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和O,C的坐標(biāo)可知，拋物線的對(duì)稱軸為x=1或x=-1，將橫坐標(biāo)代入直線1中即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中即可得出所求的結(jié)果；(3) 本題可根據(jù)切割線定理求解，先根據(jù)直線1的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，如(m,-m)(m>0)那么OP=錯(cuò)誤！未找到引用源。m,根據(jù)切割線定理有OP2=PCPE=2PC2=2m2,因此PC=m,由此可得出PC與P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相同，即PC丄x軸，因此m=OC=2.即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；(另外一種情況，即當(dāng)直線1的解析式為y=x時(shí)，解法同上)(4) 已知了P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,即拋物線的對(duì)稱軸為x=m，可據(jù)此求出FC的長(zhǎng)，然后將m代入拋物線的解析式中求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得出三角形的高，然后根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可求得S