選修4-5《不等式選講》測試題

1、不等式選講測試題1.若a，b是任意的實(shí)數(shù)，且a>b，則()(A)a2>b2-<1a(c)lg(ab)>0(D)C詁a<(2"2不等式->3的解集是()x(A)(-©-1)(B)(8,|)Y(0,+8)(C)(3,0)Y(0,+8)(D)(-2,0)3.不等式|x-1|+|x+2>5的解集為()(A)(8,-2丫b,+g)(B)C也1Y(2,+3)(c)C8,2Yb,+s)(D)(s,3Y(2,+3)324若n>0，則n+的最小值為()n2(A)2(B)4(c)6(D)85. 若A二(x+3)(x+7)，B二(x+4)(x+6)

2、，則A,B的大小關(guān)系為.6. 設(shè)a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：1)(a+b)(b+c)(c+a)>8abc；2)a+b+c>Pab+-Jbc+ca.x2+y2x+y7.已知x,yeR，求證一2三(一)28. 如圖1,把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)作成一個(gè)無蓋方底的盒子,問切去的正方形邊長是多少時(shí),才能使盒子的容積最大？9. 已知a,b,c>0，且不全相等，求證a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.10. 已知a,a，aeR，且aaAa=1，求證(1+a)(1+a)A(1+a)>2n.12

3、n+12n12n11. 已知x,y>0，且x+y>2.試證：比,1±2中至少有一個(gè)小于2.yx12. 求函數(shù)y二5壬x1+丫102x的最大值.13. 已知a2+b2=1，求證|acos0+bsin0|W1.14. 已知x+2y=1，求x2+y2的最小值.15. 已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值.16. 已知a,b，c是正數(shù)'求證丄*丄*丄,a+bb+cc+aa+b+c17. 證明：n3+5n(ngN)能夠被6整除.*18. 設(shè)a,b,cgR*，求證：亠*上+_J>3.b*cc*aa*b2不等式選講答案.提示：注意函數(shù)y=(亍)x的單調(diào)性

4、；.提示：先移項(xiàng)'再通分'再化簡；.提示：當(dāng)xW2時(shí)，原不等式可以化為(x1)(x+2)三5,解得xW3，即不等式組;x<-2的解集是(,3.當(dāng)2<x<1時(shí)，原不等式可以化為(x1)+(x+2)三5,即3三5，矛盾所以不等式組r-2<x<1，的解集為0,|lx11+lx*2>5當(dāng)x三1時(shí)，原不等式可以化為(x1)+(x*2)25,解得x三2,即不等式組；x>1的解集是2,+8).|x1|*|x*2>5綜上所述，原不等式的解集是(,3U2,*8)；.提示：n*32=nn*32;n222n25.A<B.提示：通過考察它們的差與0

5、的大小關(guān)系，得出這兩個(gè)多項(xiàng)式的大小關(guān)系.因?yàn)?x*3)(x*7)(x*4)(x*6)=(x2*10x*21)(x2*10x*24)=3<0所以(x*3)(x*7)<(x*4)(x*6)；6.提示：Qa*b>2-'ab,Qb*c>2bc,Qc*a>2-ca分別將以上三式相乘或相加即可;7.提示：x2*y2(x2*y2)*(x2*y2)x2*y2*2xy,X*y、：=>=()2'2442&提示：設(shè)切去的正方形邊長為x,無蓋方底盒子的容積為V，則V=(a2x)2x=丄(a-2x)(a-2x)x4x<丄(a一2x)*(a2x)*4x3=

6、經(jīng)44327a2a3當(dāng)且僅當(dāng)a2x=a2x=4x,即當(dāng)x=時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)V取最大值即當(dāng)切去的小正方627形邊長是原來正方形邊長的1時(shí)，盒子容積最大.69. 分析：觀察欲證不等式的特點(diǎn)，左邊3項(xiàng)每一項(xiàng)都是兩個(gè)數(shù)的平方之和與另一個(gè)數(shù)之積，右邊是三個(gè)數(shù)的積的6倍.這種結(jié)構(gòu)特點(diǎn)啟發(fā)我們采用如下方法.證明：因?yàn)閎2+c2三2bc,a>0，所以a(b2+c2)三2abc.因?yàn)閏2+a2三2ac,b>0，所以b(c2+a2)三2abc.因?yàn)閍2+b2三2ab,c>0，所以c(a2+b2)三2abc.由于a，b，c不全相等，所以上述式中至少有一個(gè)不取等號(hào)，把它們相加得a(b2+c2)

7、+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.10. 提示：觀察要證明的結(jié)論，左邊是n個(gè)因式的乘積，右邊是2的n次方，再結(jié)合aaAa二1，發(fā)現(xiàn)12n如果能將左邊轉(zhuǎn)化為a，a，a的乘積，問題就能得到解決.12n證明：因?yàn)閍eR，所以1ai'：1-a=-a，即1+a>2：a.1+2iiiv1同理，1+a>2：a，1+a>2：a.因?yàn)閍，a，aeR，由不等式的性質(zhì)，2'2n'n12n+得(1+a)(1+a)A(1+a)>2n：aaAa>2n.12n、12n因?yàn)閍=1時(shí)，1+a>2：a取等號(hào)，所以原式在a=a=A=a=1時(shí)取等號(hào).ii

8、wi12n11. 提示：要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰.另外，如果從正面證明，需要對某一個(gè)分式小于2或兩個(gè)分式都小于2等進(jìn)行分類討論，而從反面證明，則只要證明兩個(gè)分式都不小于2是不可能的即可.于是考慮采用反證法.1+x1+y1+x_1+y證明：假設(shè)，都不小于2，即>2，且>2.yxyx因?yàn)閤，y>0，所以1+x>2y,且1+y>2x.把這兩個(gè)不等式相加，得2+x+y>2(x+y)，從而x+y<2.這與已知條件x+y>2矛盾因此，1+x，都不小于2是不可能的，即原命題成立.yx12. 提示：利用不等式解決極值問題

9、，通常設(shè)法在不等式一邊得到一個(gè)常數(shù)，并尋找不等式取等號(hào)的條件.這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值.解：函數(shù)的定義域?yàn)閎，5】，且y>0.y5x、：x1+:2x、：5x<、：52+(2)2x帚(1：兀-1)2+(i：5-x)2=、：27x4二6：3當(dāng)且僅當(dāng)2xvx-1二5x、：5-x時(shí)，等號(hào)成立，即x=時(shí)函數(shù)取最大值6訂.2713. 提示：|acos0+bsin。|=J(acos0+bsin0)2<、.,©2+b2)(cos2e+sin2e)=耳a2+b2=11002914.提示：Q1=(x+2y)2<(12+22

10、)(x2+y2)二5(x2+y2)x2+y2>.15.提示：Q100=(2x+3y+4z)2<(22+32+42)(x2+y2+z2)x2+y2+z2>16.提示：2(a+b+c)(+)a+bb+cc+a=(a+b)+(b+c)+(c+a)(二+)>(1+1+1)2=9.a+bb+cc+a2229.+>.a+bb+cc+aa+b+c17.提示：這是一個(gè)與整除有關(guān)的命題，它涉及全體正整數(shù)，若用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步應(yīng)證n=1時(shí)命題成立；第二步要明確目標(biāo)，即在假設(shè)k3+5k能夠被6整除的前提下，證明(k+1)3+5(k+1)也能被6整除.證明：1)當(dāng)n二1時(shí)，n3+5

11、n=6顯然能夠被6整除，命題成立.2)假設(shè)當(dāng)n=k(k>1)時(shí)，命題成立，即k3+5k能夠被6整除.當(dāng)n二k+1時(shí)，(k+1)3+5(k+1)二k3+3k2+3k+1+5k+5二(k3+5k)+3k2+3k+6二(k3+5k)+3k(k+1)+6.由假設(shè)知k3+5k能夠被6整除，而k(k+1)是偶數(shù)，故3k(k+1)能夠被6整除，從而(k3+5k)+3k(k+1)+6即(k+1)3+5(k+1)能夠被6整除.因此，當(dāng)n二k+1時(shí)命題成立.由1)2)知，命題對一切正整數(shù)成立，即n3+5n(ngN)能夠被6整除;+abc918.證明：(法一)要證原不等式成立，只須證：+1+1+1>-b+cc+aa+b2即只須證：2(a+b+c)(+)>9b+cc+aa+b由柯西不等式易知上式顯