第二章二次函數(shù)與命題(高中數(shù)學競賽標準教材)

1、第二章二次函數(shù)與命題（高中數(shù)學競賽標準教材）第二章二次函數(shù)與命題一、基礎知識.二次函數(shù)：當0時，y=ax2+bx+c或f=ax2+bx+c稱為關于x的二次函數(shù)，其對稱軸為直線x=-,另外配方可得f=a2+f，其中x0=-,下同。.二次函數(shù)的性質(zhì)：當a>0時，f的圖象開口向上，在區(qū)間，在x0,-a）上隨自變量增大函數(shù)值增大。當a0時，方程f=0即ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c>0及ax2+bx+c0時，方程有兩個不等實根，設x1,x2，不等式和不等式的解集分別是x|xx2和x|x10，當x=x0時，f取最小值f=,若an時，f在,n上的最小值為f。定義1能判斷真假的語句

2、叫命題，如“3>5”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題由復合命題。注1“p或q”復合命題只有當p,q同為假命題時為假，否則為真命題；“p且q”復合命題只有當p,q同時為真命題時為真，否則為假命題；p與“非P”即“P”恰好一真一假。定義2原命題：若p則q；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。注2原命題與其逆否命題同真假。一個命題的逆命題和否命題同真假。注3反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。定義3如果命題“若p則q”為真，則記為pq否則記作pq.在命題“若

3、p則q”中，如果已知pq,則p是q的充分條件；如果qp，則稱p是q的必要條件；如果pq但q不p，則稱p是q的充分非必要條件；如果p不q但pq，則p稱為q的必要非充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件。二、方法與例題.待定系數(shù)法。例1設方程x2-x+1=0的兩根是a,B,求滿足f=B,f=a,f=1的二次函數(shù)f.【解】設f=ax2+bx+c,則由已知f=B,f=a相減并整理得a+b+1=0,因為方程x2-x+1=0中厶0,所以aB，所以a+b+仁0.又a+B=1,所以a+b+仁0.又因為f=a+b+c=1,所以c-1=1，所以c=2.又b=-,所以f=ax2-x+2.再由f=B得aa2-a+

4、2=B,所以aa2-aa+2=a+B=1,所以aa2-aa+仁0.即a+1-a=0,即1-a=0,所以a=1,所以f=x2-2x+2.方程的思想。例2已知f=ax2-c滿足-4<f<-1,-1<f<5,求f的取值范圍?！窘狻恳驗?4<f=a-c<-1,所以1<-f=c-a<4.又-1<f=4a-c<5,f=f-f,所以x+<f<x5+x4,所以-1<f<20.利用二次函數(shù)的性質(zhì)。例3已知二次函數(shù)f=ax2+bx+c,若方程f=x無實根，求證：方程f)=x也無實根?！咀C明】若a>0,因為f=x無實根，所以二

5、次函數(shù)g=f-x圖象與x軸無公共點且開口向上，所以對任意的xR,f-x>0即f>x，從而f)>f。所以f)>x，所以方程f)=x無實根。注：請讀者思考例3的逆命題是否正確。.利用二次函數(shù)表達式解題。例4設二次函數(shù)f=ax2+bx+c,方程f=x的兩根x1,x2滿足00，所以f>x.其次f-x1=a+1=ax-x2+1，求證：方程的正根比1小，負根比-1大?！咀C明】方程化為2a2x2+2ax+1-a2=0.構(gòu)造f=2a2x2+2ax+1-a2,f=2>0,f=2>0,f=1-a20，所以f在區(qū)間和上各有一根。即方程的正根比1小，負根比-1大。.定義在區(qū)間

6、上的二次函數(shù)的最值。例6當x取何值時，函數(shù)y=取最小值？求出這個最小值?！窘狻縴=1-,令u,則0-，即卩b>-2時，x2+bx在0,-上是減函數(shù)，所以x2+bx的最小值為b+1,b+1=-,b=-.綜上，b=-.一元二次不等式問題的解法。例8已知不等式組的整數(shù)解恰好有兩個，求a的取值范圍?！窘狻恳驗榉匠蘹2-x+a-a2=0的兩根為x1=a,x2=1-a,若a<0,貝Ux11-2a.因為1-2a>1-a，所以a<0,所以不等式組無解。若a>O,i）當0時，a>1-a，由得x>1-2a,所以不等式組的解集為1-a1且a-<3,所以10,=22-4

7、Ac2<0恒成立，所以2-4Ac<0,即A2+B2+C2W2同理有B>0,c>0,所以必要性成立。再證充分性，若A>0,B>0,c>0且A2+B2+C2W2,）若A=0,則由B2+C2W2Bc得2<0,所以B=c,所以=0,所以成立，成立。）若A>0,則由知0,所以成立，所以成立。綜上，充分性得證。.常用結(jié)論。定理1若a,bR,|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|.【證明】因為-|a|<a<|a|,-|b|<b<|b|，所以-<a+b<|a|+|b|,所以|a+b|<|a|+|b|

8、.又|a|=|a+b-b|<|a+b|+|-b|,即|a|-|b|<|a+b|.綜上定理1得證。定理2若a,bR,則a2+b2>2ab;若x,yR+,則x+y>注定理2可以推廣到n個正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細論證。三、基礎訓練題.下列四個命題中屬于真命題的是，“若x+y=O，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；“兩個全等三角形的面積相等”的否命題；“若qw1,則x2+x+q=0有實根”的逆否命題；“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題。.由上列各組命題構(gòu)成“p或q”，“p且q”，“非P”形式的復合命題中，p或q為真，p且q為假，非p為真的是.p；3是偶數(shù)，q：4是奇

9、數(shù)；p:3+2=6,q:p:a,q:aa,b;p:QR,q:N=Z.當|x-2|0的解是10,則集合x|xA且xAnB=.1.求使不等式ax2+4x-1>-2x2-a對任意實數(shù)x恒成立的a的取值范圍。.對任意x0,1,有成立，求的取值范圍。四、高考水平訓練題.若不等式|x-a|0當|a|w1時恒成立的x的取值范圍是.若不等式-x2+x-410,B=x|x-5|0和a2x2+b2x+c2>0解集分別為和N,那么“”是“=N”的條件。.若下列三個方程x2+4ax-4a+3=0,x2+x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是.已知p,q都是r的必要

10、條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則r是q的條件。.已知p:|1-|<2,q:x2-2x+1-2<0,若非p是非q的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是.已知a>0，f=ax2+bx+c，對任意xR有f=f，若f0且|x|<1時，g最大值為2,求f.1.設實數(shù)a,b,c,滿足條件：=0，且a>0,>0,求證：方程ax2+bx+c=0有一根xO滿足00,當函數(shù)的最小值取最大值時，a+b2+c3=.已知f=|1-2x|,x0,1,方程f)=x有個實根。.若關于x的方程4x2-4x+=0在-1,1上至少有一個實根，則取值范圍是.若f=x4+px3+qx2+x

11、對一切xR都有f>x且f=1,則p+q2=.對一切xRf=ax2+bx+c的值恒為非負實數(shù)，貝U的最小值為.函數(shù)f=ax2+bx+c的圖象如圖，且=b-2ac.那么b2-4ac4.若a100，試問滿足|f|<50的整數(shù)x最多有幾個？.設函數(shù)f=ax2+8x+3，對于給定的負數(shù)a,有一個最大的正數(shù)I,使得在整個區(qū)間0,1上，不等式|f|<5都成立。求I的最大值及相應a的值.設x1,x2，,xna,a+1，且設x=,y=,求f=y-x2的最大值。.F=ax2+bx+c,a,b,cR,且|F|<1,|F|<1,|F|<1,則對于|x|<1,求|F|的最大值。.已知f=x2+ax+b，若存在實數(shù)，使得|f|<,|f|<,求=a2-4b的最大值和最小值。.設二次函數(shù)f=ax2+bx+c滿足下列條件：）當xR