20XX年北京市高考數(shù)學試卷試題(理科) (2)

1、2018年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1（5分）已知集合A=x|x|2，B=2，0，1，2，則AB=（）A0，1B1，0，1C2，0，1，2D1，0，1，22（5分）在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）ABCD4（5分）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻，十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率

2、與它的前一個單音的頻率的比都等于若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（）AfBfCfDf5（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數(shù)為（）A1B2C3D46（5分）設，均為單位向量，則“|3|=|3+|”是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件7（5分）在平面直角坐標系中，記d為點P（cos，sin）到直線xmy2=0的距離當、m變化時，d的最大值為（）A1B2C3D48（5分）設集合A=（x，y）|xy1，ax+y4，xay2，則（）A對任意實數(shù)a，（2，1）AB對任意實數(shù)a，（2，1）AC當且僅當a0時，（2，

3、1）AD當且僅當a時，（2，1）A二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9（5分）設an是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則an的通項公式為 10（5分）在極坐標系中，直線cos+sin=a（a0）與圓=2cos相切，則a= 11（5分）設函數(shù)f（x）=cos（x）（0），若f（x）f（）對任意的實數(shù)x都成立，則的最小值為 12（5分）若x，y滿足x+1y2x，則2yx的最小值是 13（5分）能說明“若f（x）f（0）對任意的x（0，2都成立，則f（x）在0，2上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是 14（5分）已知橢圓M：+=1（ab0），雙曲線N：=1若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的

4、四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為 ；雙曲線N的離心率為 三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15（13分）在ABC中，a=7，b=8，cosB=（）求A；（）求AC邊上的高16（14分）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點，AB=BC=，AC=AA1=2（）求證：AC平面BEF；（）求二面角BCDC1的余弦值；（）證明：直線FG與平面BCD相交17（12分）電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六

5、類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值假設所有電影是否獲得好評相互獨立（）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；（）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等用“k=1”表示第k類電影得到人們喜歡“k=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）寫出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小關系18（13分）設函數(shù)f（x）=ax2（4a+

6、1）x+4a+3ex（）若曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線與x軸平行，求a；（）若f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍19（14分）已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過點P（1，2），過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N（）求直線l的斜率的取值范圍；（）設O為原點，=，=，求證：+為定值20（14分）設n為正整數(shù)，集合A=|=（t1，t2，tn），tk0，1，k=1，2，n，對于集合A中的任意元素=（x1，x2，xn）和=（y1，y2，yn），記M（，）=（x1+y1|x1y1|）+（x2+y2|x2y2|）+（xn+y

7、n|xnyn|）（）當n=3時，若=（1，1，0），=（0，1，1），求M（，）和M（，）的值；（）當n=4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，當，相同時，M（，）是奇數(shù)；當，不同時，M（，）是偶數(shù)求集合B中元素個數(shù)的最大值；（）給定不小于2的n，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素，M（，）=0，寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由2018年北京市高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1（5分）已知集合A=x|x|2，B=2，0，1，2，則AB=（）A0，1B1，0

8、，1C2，0，1，2D1，0，1，2【解答】解：A=x|x|2=x|2x2，B=2，0，1，2，則AB=0，1，故選：A2（5分）在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：復數(shù)=，共軛復數(shù)對應點的坐標（，）在第四象限故選：D3（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）ABCD【解答】解：在執(zhí)行第一次循環(huán)時，k=1，S=1在執(zhí)行第一次循環(huán)時，S=1=由于k=23，所以執(zhí)行下一次循環(huán)S=，k=3，直接輸出S=，故選：B4（5分）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻，十二平均律

9、將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（）AfBfCfDf【解答】解：從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為：=故選：D5（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數(shù)為（）A1B2C3D4【解答】解：四棱錐的三視圖對應的直觀圖為：PA底面ABCD，AC=，CD=，PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形所以側面中有3個直角三角形，分別為：PAB，PBC，PAD故選：C6（5

10、分）設，均為單位向量，則“|3|=|3+|”是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【解答】解：“|3|=|3+|”平方得|2+9|26=|2+9|2+6則=0，即，則“|3|=|3+|”是“”的充要條件，故選：C7（5分）在平面直角坐標系中，記d為點P（cos，sin）到直線xmy2=0的距離當、m變化時，d的最大值為（）A1B2C3D4【解答】解：由題意d=，tan=，當sin（+）=1時，dmax=1+3d的最大值為3故選：C8（5分）設集合A=（x，y）|xy1，ax+y4，xay2，則（）A對任意實數(shù)a，（2，1）AB對任意實數(shù)a，（2，1

11、）AC當且僅當a0時，（2，1）AD當且僅當a時，（2，1）A【解答】解：當a=1時，集合A=（x，y）|xy1，ax+y4，xay2=（x，y）|xy1，x+y4，x+y2，顯然（2，1）不滿足，x+y4，x+y2，所以A，C不正確；當a=4，集合A=（x，y）|xy1，ax+y4，xay2=（x，y）|xy1，4x+y4，x4y2，顯然（2，1）在可行域內(nèi)，滿足不等式，所以B不正確；故選：D二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9（5分）設an是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則an的通項公式為an=6n3【解答】解：an是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，解得a1=3，

12、d=6，an=a1+（n1）d=3+（n1）×6=6n3an的通項公式為an=6n3故答案為：an=6n310（5分）在極坐標系中，直線cos+sin=a（a0）與圓=2cos相切，則a=1+【解答】解：圓=2cos，轉化成：2=2cos，進一步轉化成直角坐標方程為：（x1）2+y2=1，把直線（cos+sin）=a的方程轉化成直角坐標方程為：x+ya=0由于直線和圓相切，所以：利用圓心到直線的距離等于半徑則：=1，解得：a=1±a0則負值舍去故：a=1+故答案為：1+11（5分）設函數(shù)f（x）=cos（x）（0），若f（x）f（）對任意的實數(shù)x都成立，則的最小值為【解答】

13、解：函數(shù)f（x）=cos（x）（0），若f（x）f（）對任意的實數(shù)x都成立，可得：，kZ，解得=，kZ，0則的最小值為：故答案為：12（5分）若x，y滿足x+1y2x，則2yx的最小值是3【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：設z=2yx，則y=x+z，平移y=x+z，由圖象知當直線y=x+z經(jīng)過點A時，直線的截距最小，此時z最小，由得，即A（1，2），此時z=2×21=3，故答案為：313（5分）能說明“若f（x）f（0）對任意的x（0，2都成立，則f（x）在0，2上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是f（x）=sinx【解答】解：例如f（x）=sinx，盡管f（x）f（0）對任意

14、的x（0，2都成立，當x0，）上為增函數(shù)，在（，2為減函數(shù)，故答案為：f（x）=sinx14（5分）已知橢圓M：+=1（ab0），雙曲線N：=1若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為；雙曲線N的離心率為2【解答】解：橢圓M：+=1（ab0），雙曲線N：=1若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，可得橢圓的焦點坐標（c，0），正六邊形的一個頂點（，），可得：，可得，可得e48e2+4=0，e（0，1），解得e=同時，雙曲線的漸近線的斜率為，即，可得：，即，可得雙曲線的離心率為e=2故答案為：；

15、2三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15（13分）在ABC中，a=7，b=8，cosB=（）求A；（）求AC邊上的高【解答】解：（）ab，AB，即A是銳角，cosB=，sinB=，由正弦定理得=得sinA=，則A=（）由余弦定理得b2=a2+c22accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c15=0，得（c3）（c+5）=0，得c=3或c=5（舍），則AC邊上的高h=csinA=3×=16（14分）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的

16、中點，AB=BC=，AC=AA1=2（）求證：AC平面BEF；（）求二面角BCDC1的余弦值；（）證明：直線FG與平面BCD相交【解答】（I）證明：E，F(xiàn)分別是AC，A1C1的中點，EFCC1，CC1平面ABC，EF平面ABC，又AC平面ABC，EFAC，AB=BC，E是AC的中點，BEAC，又BEEF=E，BE平面BEF，EF平面BEF，AC平面BEF（II）解：以E為原點，以EB，EC，EF為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示：則B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，1，1），=（2，1，0），=（0，2，1），設平面BCD的法向量為=（x，y，z），則，即，令y=2可得=（1，2，4

17、），又EB平面ACC1A1，=（2，0，0）為平面CDC1的一個法向量，cos，=由圖形可知二面角BCDC1為鈍二面角，二面角BCDC1的余弦值為（III）證明：F（0，0，2），（2，0，1），=（2，0，1），=2+04=20，與不垂直，F(xiàn)G與平面BCD不平行，又FG平面BCD，F(xiàn)G與平面BCD相交17（12分）電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值假設所有電影是否獲得好評相互獨立（）從

18、電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；（）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等用“k=1”表示第k類電影得到人們喜歡“k=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）寫出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小關系【解答】解：（）設事件A表示“從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影”，總的電影部數(shù)為140+50+300+200+800+510=2000部，第四類電影中獲得好評的電影有：200×0.25

19、=50部，從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的頻率為：P（A）=0.025（）設事件B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，恰有1部獲得好評”，第四類獲得好評的有：200×0.25=50部，第五類獲得好評的有：800×0.2=160部，則從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率：P（B）=0.35（）由題意知，定義隨機變量如下：k=，則k服從兩點分布，則六類電影的分布列及方差計算如下：第一類電影： 1 1 0 P 0.4 0.6E（1）=1×0.4+0×0.6=0.4，D（1）=（1

20、0.4）2×0.4+（00.4）2×0.6=0.24第二類電影： 2 1 0 P 0.2 0.8E（2）=1×0.2+0×0.8=0.2，D（2）=（10.2）2×0.2+（00.2）2×0.8=0.16第三類電影： 3 1 0 P 0.15 0.85E（3）=1×0.15+0×0.85=0.15，D（3）=（10.15）2×0.15+（00.85）2×0.85=0.1275第四類電影： 4 1 0 P 0.25 0.75E（4）=1×0.25+0×0.75=0.15，D（4

21、）=（10.25）2×0.25+（00.75）2×0.75=0.1875第五類電影： 5 1 0 P 0.2 0.8E（5）=1×0.2+0×0.8=0.2，D（5）=（10.2）2×0.2+（00.2）2×0.8=0.16第六類電影： 6 1 0 P 0.1 0.9E（6）=1×0.1+0×0.9=0.1，D（5）=（10.1）2×0.1+（00.1）2×0.9=0.09方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小關系為：D6D3D2=D5D4D118（13分）設函數(shù)f（x）=ax2（4a+1

22、）x+4a+3ex（）若曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線與x軸平行，求a；（）若f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍【解答】解：（）函數(shù)f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex的導數(shù)為f（x）=ax2（2a+1）x+2ex由題意可得曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線斜率為0，可得（a2a1+2）e=0，解得a=1；（）f（x）的導數(shù)為f（x）=ax2（2a+1）x+2ex=（x2）（ax1）ex，若a=0則x2時，f（x）0，f（x）遞增；x2，f（x）0，f（x）遞減x=2處f（x）取得極大值，不符題意；若a0，且a=，則f（x）=（x2）2ex0，f（x）遞增

23、，無極值；若a，則2，f（x）在（，2）遞減；在（2，+），（，）遞增，可得f（x）在x=2處取得極小值；若0a，則2，f（x）在（2，）遞減；在（，+），（，2）遞增，可得f（x）在x=2處取得極大值，不符題意；若a0，則2，f（x）在（，2）遞增；在（2，+），（，）遞減，可得f（x）在x=2處取得極大值，不符題意綜上可得，a的范圍是（，+）19（14分）已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過點P（1，2），過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N（）求直線l的斜率的取值范圍；（）設O為原點，=，=，求證：+為定值【解答】解：（）拋物線C：

24、y2=2px經(jīng)過點P（1，2），4=2p，解得p=2，設過點（0，1）的直線方程為y=kx+1，設A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立方程組可得，消y可得k2x2+（2k4）x+1=0，=（2k4）24k20，且k0解得k1，且k0，x1+x2=，x1x2=，故直線l的斜率的取值范圍（，0）（0，1）；（）證明：設點M（0，yM），N（0，yN），則=（0，yM1），=（0，1）因為=，所以yM1=yM1，故=1yM，同理=1yN，直線PA的方程為y2=（x1）=（x1）=（x1），令x=0，得yM=，同理可得yN=，因為+=+=+=2，+=2，+為定值20（14分）設n為正整數(shù)，集合A=|=（t1，t2，tn），tk0，1，k=1，2，n，對于集合A中的任意元素=（x1，x2，xn）和=（y1，y2，yn），記M（，）=（x1+y1|x1y1|）+（x2+y2|x2y2|）