抽屜原理練習(xí)題.doc

1、抽屜原理練習(xí)題抽屜原理練習(xí)題 1木箱里裝有紅色球個(gè)、黃色球個(gè)、藍(lán)色球個(gè)，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個(gè)球的顏色相同，則最少要取出球？            解：把種顏色看作個(gè)抽屜，若要符合題意，則小球的數(shù)目必須大于，故至少取出個(gè)小球才能符合要求。2一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的點(diǎn)數(shù)？            解：點(diǎn)數(shù)為1(A)、2、3、4、5、6、7、8、

2、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1張，再取大王、小王各1張，一共15張，這15張牌中，沒有兩張的點(diǎn)數(shù)相同。這樣，如果任意再取1張的話，它的點(diǎn)數(shù)必為113中的一個(gè)，于是有2張點(diǎn)數(shù)相同。311名學(xué)生到老師家借書，老師是書房中有、四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少借一本。試證明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的類型相同。 證明：若學(xué)生只借一本書，則不同的類型有、四種，若學(xué)生借兩本不同類型的書，則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種。共有10種類型，把這10種類型看作10個(gè)“抽屜”，把11個(gè)學(xué)生看作11個(gè)“蘋果”。如果誰借哪種類型的書，就進(jìn)入哪個(gè)抽屜，由抽屜原理，至少

3、有兩個(gè)學(xué)生，他們所借的書的類型相同。4有50名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行某個(gè)項(xiàng)目的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝，試證明：一定有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員積分相同。證明：設(shè)每勝一局得一分，由于沒有平局，也沒有全勝，則得分情況只有1、2、349，只有49種可能，以這49種可能得分的情況為49個(gè)抽屜，現(xiàn)有50名運(yùn)動(dòng)員得分，則一定有兩名運(yùn)動(dòng)員得分相同。5體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學(xué)來倉庫拿球，規(guī)定每個(gè)人至少拿個(gè)球，至多拿個(gè)球，問至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的？             解題關(guān)

4、鍵：利用抽屜原理。解：根據(jù)規(guī)定，多有同學(xué)拿球的配組方式共有以下種：足排藍(lán)足足排排藍(lán)藍(lán)足排足藍(lán)排藍(lán)。以這種配組方式制造個(gè)抽屜，將這50個(gè)同學(xué)看作蘋果50÷9 55             由抽屜原理km/n 可得，至少有人，他們所拿的球類是完全一致的。6某校有55個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知將參賽人任意分成四組，則必有一組的女生多于2人，又知參賽者中任何10人中必有男生，則參賽男生的人生為_人。解：因?yàn)槿我夥殖伤慕M，必有一組的女生多于2人，所以女生至少有4×219（人）；

5、因?yàn)槿我?0人中必有男生，所以女生人數(shù)至多有9人。所以女生有9人，男生有55946（人） 7、 證明：從1，3，5，99中任選26個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)的和是100。 解析：將這50個(gè)奇數(shù)按照和為100，放進(jìn)25個(gè)抽屜：（1，99），（3，97），（5，95），（49 ，51）。根據(jù)抽屜原理，從中選出26個(gè)數(shù)，則必定有兩個(gè)數(shù)來自同一個(gè)抽屜，那么這兩個(gè)數(shù)的和即為100。 8.  某旅游車上有47名乘客，每位乘客都只帶有一種水果。如果乘客中有人帶梨，并且其中任何兩位乘客中至少有一個(gè)人帶蘋果，那么乘客中有_人帶蘋果。 解析：由題意，不帶蘋果的乘客不多于一名，但又確實(shí)有不帶蘋果的乘客

6、，所以不帶蘋果的乘客恰有一名，所以帶蘋果的就有46人。 9.  一些蘋果和梨混放在一個(gè)筐里，小明把這筐水果分成了若干堆，后來發(fā)現(xiàn)無論怎么分，總能從這若干堆里找到兩堆，把這兩堆水果合并在一起后，蘋果和梨的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么小明至少把這些水果分成了_堆。 解析：要求把其中兩堆合并在一起后，蘋果和梨的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)，那么這兩堆水果中，蘋果和梨的奇偶性必須相同。對(duì)于每一堆蘋果和梨，奇偶可能性有4種：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根據(jù)抽屜原理可知最少分了4+1=5筐。 10. 有黑色、白色、藍(lán)色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_只（拿的時(shí)候不許看顏色），才能使拿出的手套

7、中一定有兩雙是同顏色的。 解析：考慮最壞情況，假設(shè)拿了3只黑色、1只白色和1只藍(lán)色，則只有一雙同顏色的，但是再多拿一只，不論什么顏色，則一定會(huì)有兩雙同顏色的，所以至少要那6只。11.從前25個(gè)自然數(shù)中任意取出7個(gè)數(shù),證明:取出的數(shù)中一定有兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)不超過小數(shù)的1.5倍.       證明:把前25個(gè)自然數(shù)分成下面6組:       1;       2,3;       4,5,6;

8、      7,8,9,10;       11,12,13,14,15,16;       17,18,19,20,21,22,23,       因?yàn)閺那?5個(gè)自然數(shù)中任意取出7個(gè)數(shù),所以至少有兩個(gè)數(shù)取自上面第組到第組中的某同一組,這兩個(gè)數(shù)中大數(shù)就不超過小數(shù)的1.5倍.       12一副撲克牌有四種花色，每種花色各有13

9、張，現(xiàn)在從中任意抽牌。問最少抽幾張牌，才能保證有4張牌是同一種花色的？       解析：根據(jù)抽屜原理，當(dāng)每次取出4張牌時(shí)，則至少可以保障每種花色一樣一張，按此類推，當(dāng)取出12張牌時(shí)，則至少可以保障每種花色一樣三張，所以當(dāng)抽取第13張牌時(shí)，無論是什么花色，都可以至少保障有4張牌是同一種花色，選B。 13從1、2、3、4、12這12個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)，就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù)，他們的差是7？    【解析】在這12個(gè)自然數(shù)中，差是7的自然樹有以下5對(duì)：12，511，410，39，28，1。另外，還有2個(gè)不能配對(duì)的數(shù)是

10、67?？蓸?gòu)造抽屜原理，共構(gòu)造了7個(gè)抽屜。只要有兩個(gè)數(shù)是取自同一個(gè)抽屜，那么它們的差就等于7。這7個(gè)抽屜可以表示為12，511，410，39，28，167，顯然從7個(gè)抽屜中取8個(gè)數(shù)，則一定可以使有兩個(gè)數(shù)字同一個(gè)抽屜，也即作差為7，所以選擇D。 15某幼兒班有40名小朋友，現(xiàn)有各種玩具122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會(huì)有小朋友得到4件或4件以上的玩具？      分析p 與解：將40名小朋友看成40個(gè)抽屜。今有玩具122件，122=3×402。應(yīng)用抽屜原理2，取n40，m3，立即知道：至少有一個(gè)抽屜中放有4件或4件以上的玩具。也就是說，至少

11、會(huì)有一個(gè)小朋友得到4件或4件以上的玩具。 16一個(gè)布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號(hào)碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號(hào)碼相同的木塊？      分析p 與解：將1，2，3，4四種號(hào)碼看成4個(gè)抽屜。要保證有一個(gè)抽屜中至少有3件物品，根據(jù)抽屜原理2，至少要有4×21=9（件）物品。所以一次至少要取出9塊木塊，才能保證其中有3塊號(hào)碼相同的木塊。 17六年級(jí)有100名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？ 分析p 與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類

12、共有多少種不同的情況。 訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況； 訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況； 訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。 總共有331=7（種）訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個(gè)“抽屜”，把100名學(xué)生看作100件物品。因?yàn)?0014×72。根據(jù)抽屜原理2，至少有14115（人）所訂閱的報(bào)刊種類是相同的。 18籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有81個(gè)小朋友，如果每個(gè)小朋友都從中任意拿兩個(gè)水果，那么至少有多少個(gè)小朋友拿的水果是相同的？      分析p 與解：首先應(yīng)弄清不同的水果搭配有多少種。兩個(gè)水果是相同的有4種，兩個(gè)

13、水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4610（種）。將這10種搭配作為10個(gè)“抽屜”。 81÷10=81（個(gè)）。 根據(jù)抽屜原理2，至少有819（個(gè)）小朋友拿的水果相同。19學(xué)校開辦了語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)三個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)（可以不參加）。問：至少有多少名學(xué)生，才能保證有不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況完全相同？      分析p 與解：首先要弄清參加學(xué)習(xí)班有多少種不同情況。不參加學(xué)習(xí)班有1種情況，只參加一個(gè)學(xué)習(xí)班有3種情況，參加兩個(gè)學(xué)習(xí)班有語文和數(shù)學(xué)、語文和美術(shù)、數(shù)學(xué)和

14、美術(shù)3種情況。共有1337（種）情況。將這7種情況作為7個(gè)“抽屜”，根據(jù)抽屜原理2，要保證不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況相同，要有學(xué)生7×（5-1）129（名）。 20. 在1，4，7，10，100中任選20個(gè)數(shù)，其中至少有不同的兩對(duì)數(shù)，其和等于104。 分析p ：解這道題，可以考慮先將4與100，7與97，49與55，這些和等于104的兩個(gè)數(shù)組成一組，構(gòu)成16個(gè)抽屜，剩下1和52再構(gòu)成2個(gè)抽屜，這樣，即使20個(gè)數(shù)中取到了1和52，剩下的18個(gè)數(shù)還必須至少有兩個(gè)數(shù)取自前面16個(gè)抽屜中的兩個(gè)抽屜，從而有不同的兩組數(shù)，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于10

15、4的數(shù)組將多于兩組。 解：1，4，7，10，100中共有34個(gè)數(shù)，將其分成4，100，7，97，49，55，1，52共18個(gè)抽屜，從這18個(gè)抽屜中任取20個(gè)數(shù)，若取到1和52，則剩下的18個(gè)數(shù)取自前16個(gè)抽屜，至少有4個(gè)數(shù)取自某兩個(gè)抽屜中，結(jié)論成立；若不全取1和52，則有多于18個(gè)數(shù)取自前16個(gè)抽屜，結(jié)論亦成立。 21. 任意5個(gè)自然數(shù)中，必可找出3個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)的和能被3整除。 分析p ：解這個(gè)問題，注意到一個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)只有0，1，2三個(gè)，可以用余數(shù)來構(gòu)造抽屜。 解：以一個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)0、1、2構(gòu)造抽屜，共有3個(gè)抽屜。任意五個(gè)數(shù)放入這三個(gè)抽屜中，若每個(gè)抽屜內(nèi)均有數(shù)，則各抽屜取一個(gè)數(shù)，

16、這三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)，結(jié)論成立；若至少有一個(gè)抽屜內(nèi)沒有數(shù)，那么5個(gè)數(shù)中必有三個(gè)數(shù)在同一抽屜內(nèi)，這三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)，結(jié)論亦成立。 22. 在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)，任意放入9個(gè)點(diǎn)，證明在以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，必有一個(gè)三角形的面積不超過1/8.       解：分別連結(jié)正方形兩組對(duì)邊的中點(diǎn)，將正方形分為四個(gè)全等的小正方形，則各個(gè)小正方形的面積均為1/4 。把這四個(gè)小正方形看作4個(gè)抽屜，將9個(gè)點(diǎn)隨意放入4個(gè)抽屜中，據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)小正方形中有3個(gè)點(diǎn)。顯然，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積不超過1/8 。 反思：將邊長(zhǎng)為1的正方形分成4個(gè)面積

17、均為1/4 的小正方形，從而構(gòu)造出4個(gè)抽屜，是解決本題的關(guān)鍵。我們知道。將正方形分成面積均為1/4 的圖形的方法不只一種，如可連結(jié)兩條對(duì)角線將正方形分成4個(gè)全等的直角三角形，這4個(gè)圖形的面積也都是1/4 ，但這樣構(gòu)造抽屜不能證到結(jié)論。可見，如何構(gòu)造抽屜是利用抽屜原理解決問題的關(guān)鍵。23 班上有50名學(xué)生，將書分給大家，至少要拿多少本，才能保證至少有一個(gè)學(xué)生能得到兩本或兩本以上的書。 解：把50名學(xué)生看作50個(gè)抽屜，把書看成蘋果 ,根據(jù)原理1，書的數(shù)目要比學(xué)生的人數(shù)多,即書至少需要50+1=51本.         24 在一

18、條長(zhǎng)100米的小路一旁植樹棵，不管怎樣種，總有兩棵樹的距離不超過1米。 解：把這條小路分成每段1米長(zhǎng)，共100段,每段看作是一個(gè)抽屜，共100個(gè)抽屜，把棵樹看作是個(gè)蘋果 ,于是個(gè)蘋果放入100個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)蘋果 ,即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹 .         25 有50名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行某個(gè)項(xiàng)目的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝.試證明：一定有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員積分相同       證明：設(shè)每勝一局得一分,由于沒有平局，也沒有全勝，則得分情況只有1、2、349，只有49種可能 ,以這49種可能得分的情況為49個(gè)抽屜 ,現(xiàn)有50名運(yùn)動(dòng)員得分 則一定有兩名運(yùn)動(dòng)員得分相同 .        26.體育用品倉庫里有許多