第十章無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課

1、無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容二、例題選講二、例題選講目的要求：目的要求：(1). 理解無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念與內(nèi)容；理解無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念與內(nèi)容；(2). 熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的審斂法；熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的審斂法；(3). 熟練掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散的審斂法；熟練掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散的審斂法；(4). 了解一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的審斂法；了解一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的審斂法；(5). 熟練掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法；熟練掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法；(6). 了解冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求法、性質(zhì)以及了解冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求法、性質(zhì)以及 求簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)的和；求簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)的和；(7). 了解函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式。了解函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式。

2、重點(diǎn)：重點(diǎn)：(1).熟練掌握常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的審斂法；熟練掌握常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的審斂法；(2).熟練掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法；熟練掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法；(3).函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式。函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式。難點(diǎn)難點(diǎn)(1).一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的審斂法；一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的審斂法；(2). 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；(3).函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式。函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式。常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一一般般項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開(kāi)式泰勒展開(kāi)式數(shù)或函數(shù)數(shù)或函數(shù)函函 數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)任任意意項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)0)(xRn為常數(shù)為常數(shù)nu)(xuunn

3、為函數(shù)為函數(shù)0 xx 取取在收斂在收斂 級(jí)數(shù)與數(shù)級(jí)數(shù)與數(shù)條件下條件下 相互轉(zhuǎn)化相互轉(zhuǎn)化 一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容 nnnuuuuu32111、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) ). . niinnuuuus121級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和定義定義級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散性質(zhì)性質(zhì)1: 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂斂散性不變散性不變.性質(zhì)性質(zhì)2:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.性質(zhì)性質(zhì)3:在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)

4、不影響級(jí)數(shù)的斂散性散性.性質(zhì)性質(zhì)4:收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂于原來(lái)的和于原來(lái)的和. 0lim nnu級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件:收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正正 項(xiàng)項(xiàng) 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂若若SSn;, 0,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) nun一般項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂定義定義0,1 nnnu

5、u.有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂ns2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法審斂法審斂法(1) 比較審斂法比較審斂法若若 1nnu收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) )且且)(nnnnvuuv , ,則則 1nnv收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) ). .(2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果如果lvunnn lim,則則(1) 當(dāng)當(dāng) l0時(shí)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性二級(jí)數(shù)有相同的斂散性; (2) 當(dāng)當(dāng)0 l時(shí)，若時(shí)，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當(dāng)當(dāng) l時(shí)時(shí), 若若 1nnv發(fā)散發(fā)

6、散,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散;設(shè)設(shè) 1nnu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果如果0lim lnunn (或或 nnnulim),則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散;如果有如果有1 p, 使得使得npnun lim存在存在,則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 1nnu收斂收斂.(3) 極限審斂法極限審斂法(4) 比值審斂法比值審斂法(達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾 DAlembert 判別法判別法)設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂;1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 1 時(shí)失效時(shí)失效.(5) 根值審斂法根值審斂法 (柯西判別法柯西判別法)設(shè)設(shè) 1nnu是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), ,如

7、果如果 nnnulim)( 為數(shù)或?yàn)閿?shù)或 , ,則則1 時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)收斂; ; 1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; ;1 時(shí)失效時(shí)失效. .定義定義 正正 、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù). )1()1(111nnnnnnuu 或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件:( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,則則級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂, , 且其和且其和1us , , 其余項(xiàng)其余項(xiàng)nr的絕對(duì)值的絕對(duì)值1 nnur. .)0( nu其中其中3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義定義 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出

8、現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱(chēng)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱(chēng)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).定理定理 若若 1nnu收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂.定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱(chēng)則稱(chēng) 0nnu為絕對(duì)收斂為絕對(duì)收斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱(chēng)稱(chēng) 1nnu為為條條件件收收斂斂. .4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法5、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1) 定義定義設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是定義在是定義在RI 上的上的函數(shù)函數(shù), ,則則 )()()()(211xuxuxuxunnn稱(chēng)為定義在區(qū)間稱(chēng)為定義在區(qū)間I上的上的(函數(shù)項(xiàng)函數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮

9、級(jí)數(shù).(2) 收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域如如果果Ix 0,數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 10)(nnxu收收斂斂,則則稱(chēng)稱(chēng)0 x為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))(1xunn 的的收收斂斂點(diǎn)點(diǎn), ,否否則則稱(chēng)稱(chēng)為為發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn). .所所有有發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱(chēng)稱(chēng)為為發(fā)發(fā)散散域域.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))(1xunn 的所有收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為的所有收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為收斂域收斂域,(3) 和函數(shù)和函數(shù)在在收收斂斂域域上上, ,函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和是是x的的函函數(shù)數(shù))(xs, ,稱(chēng)稱(chēng))(xs為為函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù). .(1) 定義定義形如形如nnnxxa)(00 的級(jí)數(shù)稱(chēng)為的級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù).,00

10、時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x其其中中na為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).6、冪級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)nnnxa 0如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿(mǎn)滿(mǎn)足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .定理定理 1 (Abel 定理定理) 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(00 xxx處處收收斂斂, ,則則它它在在滿(mǎn)滿(mǎn)足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ;(2) 收斂性收斂性如如果果冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個(gè)個(gè)完完全全確確定定的的

11、正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí), ,冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí),冪級(jí)數(shù)發(fā)散冪級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時(shí)時(shí), ,冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .推論推論定義定義: 正數(shù)正數(shù)R稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑收斂半徑.冪級(jí)數(shù)的收斂域稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)的收斂域稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.定理定理 2 2 如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的所有系數(shù)的所有系數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), 1R;(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), R;a.

12、代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (3)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(RR 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),在在端端點(diǎn)

13、點(diǎn)收收斂斂,則則在在端端點(diǎn)點(diǎn)單單側(cè)側(cè)連連續(xù)續(xù). 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對(duì)且對(duì)),(RRx 可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次.7、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 如果如果)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo),則冪級(jí)數(shù)則冪級(jí)數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱(chēng)為稱(chēng)為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù).nnnxnf 0)(!)0(稱(chēng)為稱(chēng)為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的的麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞

14、林級(jí)數(shù).(1) 定義定義定理定理 )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. .(2) 充要條件充要條件(3) 唯一性唯一性定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)能能展開(kāi)成展開(kāi)成)(0 xx 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開(kāi)式是唯一的且展開(kāi)式是唯一的. .(3) 展開(kāi)方法展開(kāi)方法a.直接法直接法(泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法)步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(

15、0lim)2()(MxfRnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收b.間接法間接法 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見(jiàn)展開(kāi)式利用常見(jiàn)展開(kāi)式, 通過(guò)通過(guò)變量代換變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積逐項(xiàng)積分分等方法等方法,求展開(kāi)式求展開(kāi)式.),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(4) 常見(jiàn)函數(shù)展開(kāi)式常見(jiàn)函數(shù)展開(kāi)式)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1

16、(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x(5) 應(yīng)用應(yīng)用歐拉公式歐拉公式,sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit ;)1()1(:11 nnnnnnn判斷級(jí)數(shù)斂散性判斷級(jí)數(shù)斂散性例例1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn 二、例題選講二、例題選講nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散;23cos)2(12

17、 nnnn解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收斂收斂 nnn根據(jù)比較判別法，根據(jù)比較判別法，原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時(shí)時(shí)從而有從而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1100時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) aa原級(jí)數(shù)收斂；原級(jí)數(shù)收斂；,1110時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) aa原級(jí)數(shù)發(fā)散；原級(jí)數(shù)發(fā)散；,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a,)

18、11()2ln(1 nnnn原級(jí)數(shù)為原級(jí)數(shù)為,)11()2ln(lim nnnn原級(jí)數(shù)也發(fā)散原級(jí)數(shù)也發(fā)散斂？斂？是條件收斂還是絕對(duì)收是條件收斂還是絕對(duì)收斂？如果收斂，斂？如果收斂，是否收是否收判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù) 1ln)1(nnnn例例2解解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而而 nn,ln1ln)1(11發(fā)散發(fā)散 nnnnnnn即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂,ln)1(1級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是交錯(cuò)是交錯(cuò) nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上單增上單增在在,ln1單減單減即即xx ,1ln1時(shí)單減時(shí)單減當(dāng)當(dāng)故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂故原級(jí)數(shù)是條件收斂.)1)(1(0斂域及和函數(shù)斂域及和函數(shù)收收求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù) nnxn例例3解解, 1)1)(1(0 Rxnnn斂半徑為斂半徑為的收的收, 111 x收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)? 20 x即即則有則有設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs兩邊逐項(xiàng)積分兩邊逐項(xiàng)積分 011)1(nxnx 011)1)(1()(n