第6章++故障樹分析

1、第六章失效模式、效應及危害度分第六章失效模式、效應及危害度分析析(FMECA)和故障樹分析法和故障樹分析法(FTA)6161失效模式、效應及危害度分析失效模式、效應及危害度分析(FMECA) 基本概念分析的過程和方法6161故障樹分析法故障樹分析法(FTA) 概述概述 故障樹分析法(FaultTreeAnalysis)是1961年一1962年間，由美國貝爾電話實驗室的沃特森(HAWatson)在研究民兵火箭的控制系統(tǒng)時提出來的。首篇論文在1965年由華盛頓大學與波音公司發(fā)起的安全討論會上發(fā)表。1970年波音公司的哈斯爾(Hassl)、舒洛特(Schroder)與杰克遜(Jackson)等人研制

2、出故障樹分析法的計算機程序，使飛機設計有了重要的改進。1974年美國原子能委員會發(fā)表了麻省理工學院(MIT)的拉斯穆森(Rasmusson)為首的安全小組所寫的“商用輕水核電站事故危險性評價”報告，使故障樹分析法從宇航、核能逐步推廣到電子、化工和機械等部門。 (1)指導人們去查找系統(tǒng)的故障。(2)指出系統(tǒng)中一些關鍵零件的失效對于系統(tǒng)的重 要度。(3)在系統(tǒng)的管理中，提供了一種看得見 的圖解，以便幫助人們對系統(tǒng)進行故障分析，使人們對系統(tǒng)工況一目了然，從而對系統(tǒng)的設計有指導作用。(4)為系統(tǒng)可靠度的定性與定量分析提供了一個基礎。 (1)明確規(guī)定“系統(tǒng)”和“系統(tǒng)故障”定義，也就是說，必須首先明確所研

3、究的對象是由什么零件(子系統(tǒng))組成，它們之間在運行上的彼此關系如何?對于所研究的系統(tǒng)，最終不希望什么樣的故障發(fā)生(即選定系統(tǒng)的頂事件)。 (2)在系統(tǒng)故障定義明確的基礎上，進一步探求引起故障的原因，并對這些原因進行分類歸納(如設計上的，制造上的，運行，其它環(huán)境因素等)。 (3)根據(jù)故障之間的邏輯關系，建造故障樹。(5)收集并確定故障樹中每個基本事件的發(fā)生概率或基本事件分布規(guī)律及其特性參數(shù)。 (6)根據(jù)故障樹建立系統(tǒng)不可靠度(可靠度)的統(tǒng)計模型，確定對系統(tǒng)作定量分析的方法，然后對該系統(tǒng)進行定量分析，并對分析結果進行驗證。 6-3 6-3 故障樹的建立故障樹的建立一、故障樹一、故障樹 如上所述，故

4、障樹是表示事件因果關系的樹狀邏輯圖。故障樹分析(FTA)就是以故障樹(FT)為模型對系統(tǒng)進行可靠性分析的方法。下面舉例說明什么是故障樹。如圖是一個供水系統(tǒng)，E為水箱，F(xiàn)為閥門，L1和L2為水泵，S1和S2為支路閥門。此系統(tǒng)的規(guī)定功能是向B側供水，因此，B側無水”是一個不希望發(fā)生事件系統(tǒng)的故障狀態(tài)。為了找到導致此事件發(fā)生的基本原因，可以設想此事件發(fā)生，再通過邏輯分析追溯其原因。 由圖可知，B側無水的原因有三：水箱E無水，或閥門F關閉，或泵系統(tǒng)故障，泵系統(tǒng)故障原因是支路與支路同時故障，支路故障原因有二：或泵Ll故障，或閥門S1故障關閉，支路故障原因有二：或泵L2故障，或閥門S2故障關閉。若將這一分

5、析過程表示成圖形，則畫成如圖的分支狀圖，這就是一種樹狀邏輯圖。如果用規(guī)定的符號代替圖中表示邏輯關系的文字“或”、“與”，并將描述事件的文字寫在規(guī)定的符號內，則所得到的圖即是故障樹(見圖b)。 可以看出，故障樹既嚴格地表示了系統(tǒng)各組成單元的可靠性邏輯關系，又易于理解、掌握。概括地說故障樹作為可靠性分析模型有以下優(yōu)點 ： 1)圖文兼?zhèn)洌磉_清晰，可讀性好，便于交流。 2)故障樹是工程技術人員故障分析思維流的圖解，因而易于掌握。 3)邏輯嚴密。運用多種符號按事件發(fā)生的逆順序進行圖形邏輯演繹逐層次分析因果關系，可包含各種原因事件的可能組合。 4)運用靈活。不限于對系統(tǒng)作全面可靠性分析，也可對系統(tǒng)的某一

6、特定故障狀態(tài)進行分析。 5)應用廣泛。可用于系統(tǒng)的可靠性分析，事故分析，風險評價，人員培訓。也可用于社會，經(jīng)濟問題的決策分析。 二、故障樹符號二、故障樹符號 下表列出了常用的故障樹符號。故障樹符號是建立故障樹的基本要素，包括事件符號、邏輯門符號和轉移符號。下面說明各符號的意義。(一)事件符號所有事件符號都以不同的幾何形狀標志其性質，并在符號圖框內用簡明、準確的文字寫明事件的內容 1矩形事件 它表示兩類事件；一是頂事件，是故障樹分析的起始事件，也就是系統(tǒng)的一種不希望發(fā)生的失效事件。圖b的“TOP事件即是頂事件。二是表示中間事件，它們在故障樹中位于頂事件與各分支末端之間。如圖b中的G1、G2和G3

7、都是中間事件，它們既是上級事件的原因，又是下級事件的結果。 2圓形事件 它表示基本失效事件，是頂事件發(fā)生的最基本因素，不再作進一步分析。這種處于故障樹分支末端的事件統(tǒng)稱為底事件。 3菱形事件 它表示本可以作進一步分析但不再分析的失效事件，亦稱為省略事件。省略的原因，通常是以下幾種：1)更詳細的分析在技術上無意義。2)事件發(fā)生的概率極小。3)再分析到下一級將找不到可靠性數(shù)據(jù)。4)事件發(fā)生原因不明。菱形事件也是一種底事件。4房形事件 多數(shù)情況下表示正常事件。有時表示開關事件，即作為邏輯門導通條件的事件。房形事件也是底事件。 (二)邏輯符號 邏輯符號也稱邏輯門符號，表示下級事件與上級事件的因果關系。

8、門下面的事件稱輸入事件，門上面的事件是輸出事件(也稱門事件)。 1、與門 與門表示只有當全部輸入事件都同時存在時，其輸出事件才發(fā)生。設與門共有n個輸入事件Bi(i=1，2，n), 則其輸出事件和輸入事件的邏輯關系可表示為：121nniiABBBB 2或門 或門表示只要輸入事件中的任何一個發(fā)生，則輸出事件發(fā)生。設有n個輸入事件Bi(i=1，2，n)，則其輸出事件A的邏輯表達式為：121nniiABBBB 3、禁門 禁門只有一個輸入事件，側面的長圓框內是條件事件C，只有當該條件存在時，輸入事件B的發(fā)生才能導致輸出事件A發(fā)生。如下圖即是禁門故障樹。 4表決門(n取k門) 表決門表示當n個輸入事件中有

9、任意k個(kn)同時存在時，則輸出事件發(fā)生。具體例子如下圖所示。其中圖a是由3臺水泵構成的三取二系統(tǒng)，即只要有任何兩臺水泵故障，則系統(tǒng)故障。圖a是該系統(tǒng)的故障樹 (三)轉移符號轉移符號也稱連接符號，其作用有三：1)當故障樹需繪成多頁時，此符號表示各頁故障樹分支的連接關系。2)當故障樹中有相同的子樹時，為了不重復作圖而減少工作量，則應用此符號。3)利用此符號將故障樹拆開布置，使圖面布局均衡。因此，一個轉出符號至少應有一個轉入符號與之對應，并標以相同的編碼。如下圖是轉移符號應用舉例。 三、建故障樹步驟 故障樹是系統(tǒng)可靠性分析的基礎，故障樹是否正確從根本上決定了分析的效果，因此，要特別重視建樹這一環(huán)

10、節(jié)。到目前為止，建樹工作基本上由人工進行，人工建樹的總體步驟是：1)熟悉系統(tǒng)。2)確定頂事件。3)確定邊界條件。4)發(fā)展故障樹。5)整理與簡化。 充分熟悉系統(tǒng)是保證正確建樹的前提，為了對所分析對象有全面透徹的了解，要深入細致地研究系統(tǒng)的設計、運行資料。 對于大型復雜系統(tǒng)，往往需要多種專業(yè)人員共同參與建樹活動。在熟悉系統(tǒng)的功能、結構、工作原理與使用條件的基礎上，明確系統(tǒng)正常與故障狀態(tài)的定義，或它們之間的界限。 在熟悉系統(tǒng)之后，首先要確定故障樹的頂事件。概括言之，頂事件是系統(tǒng)不希望發(fā)生的失效事件，但是一個系統(tǒng)往往有多個不希望發(fā)生的失效事件，這就應根據(jù)分析的目的作出選擇。例如，當分析一臺鍋爐的可用性

11、時，頂事件可選為“鍋爐故障”，而在分析其安全性時，頂事件則選為“鍋爐爆炸”。頂事件不同，則其故障樹也不相同，但對同一系統(tǒng)的同一頂事件，在相同邊界條件下的故障樹是唯一的。 在頂事件確定之后要定義故障樹的邊界條件。這就是要對系統(tǒng)的某些組成部分(部件、子系統(tǒng))的狀態(tài)，環(huán)境條件等作出合理的假設。如當分析硬件系統(tǒng)時，可將“軟件可靠”和“人員操作可靠”作為邊界條件，分析電路時， “導線可靠”是常用的邊界條件等等。供水系統(tǒng)圖b故障樹的邊界條件是“管路及其連接可靠”。總之，邊界條件應根據(jù)分析的需要確定。 頂事件和邊界條件確定之后，就可以從頂事件出發(fā)展開故障樹，并應遵循以下原則： 1)要有層次地逐級進行分析?？?/p>

12、以按系統(tǒng)的結構層次，也可按系統(tǒng)的功能流程或信息流程逐級分析。 2)要找出所有矩形事件的全部、直接起因。 3)對各級事件的定義要簡明、確切。 4)正確運用故障樹符號。 5)當所有中間事件都被分解為底事件時，則故障樹 建成。 四、故障樹實例 現(xiàn)在以家用洗衣機為例說明故障樹的建立。FTA的目的是分析洗衣機主系統(tǒng)的可靠性。 主系統(tǒng)不希望發(fā)生的故障事件有：1)波輪不轉。2)波輪轉速過低。 3)振動過大等。其中最嚴重的故障事件是波輪不轉，所以選定1)為頂事件。 邊界條件為：1)電源可靠。2)支持結構完好。按照功能流程逐級發(fā)展故障樹，下圖即其一部分 。64 64 故障樹的定性分析故障樹的定性分析 故障樹定性

13、分析的目的是要找出系統(tǒng)故障的全部可能起因，或導致指定頂事件發(fā)生的全部可能起因，并定性地識別系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)。 為了達到這一目的，首先應求出故障的最小割集或最小路集。 故障樹的每一個底事件不一定都是頂事件發(fā)生的起因，由供水系統(tǒng)圖b故障樹可以看出，當E或F事件發(fā)生時，停水事件一定發(fā)生，因為它們的邏輯門是或門。但若只有L1件發(fā)生時，則不能使頂事件發(fā)生，因為L1發(fā)生雖然可導致G2發(fā)生，使不能使G1發(fā)生，只有當G2與G3同時存在時才能使G1與門導通。若是G2一側有某個輸入事件，例如S2與L1事件同時存在，則可導致頂事件發(fā)生，所以事件的集合（ L1 、S2）是使系統(tǒng)喪失供水能力的一個原因。E、F是僅包括一個

14、事件的集合，可見頂事件發(fā)生的原因是一系列底事件的集合。 凡是能導致頂事件發(fā)生的底事件的集合稱為故障樹的一個割集。除上述3個集合外，L1，S2，L2、L1，S2，F(xiàn)，E和L1，F(xiàn)等也都是供水系統(tǒng)故障樹的割集，還可列舉出許多，但在工程上沒有意義，因為其中有的事件對于頂事件的發(fā)生而言是多余的。 人們關心的是最小割集，所謂最小割集是導致頂事件發(fā)生的必要而充分的底事件集合。如E、F、L1，S2都是供水系統(tǒng)故障樹的最小割集，與L1，S2，L2，L1，S2，F(xiàn)，E，L1，F(xiàn)相比較，也可以作出如下的定義：最小割集是那些屬于去掉其中任何個底事件就不再成為割集的底事件集合。 最小割集的性質是，僅當最小割集所包含的

15、底事件都同時存在時，頂事件才發(fā)生。反言之，只要最小割集中有任何一個事件不發(fā)生，則頂事件就不會發(fā)生(假設同時無其它最小割集發(fā)生)。因此，欲保證系統(tǒng)安全、可靠，就必須防止所有最小割集發(fā)生。反之，如果系統(tǒng)發(fā)生了不希望的故障事件，則必定至少有一個最小割集發(fā)生。故障樹的全部最小割集即是頂事件發(fā)生的全部可能原因。一個最小割集表示系統(tǒng)的一種故障模式，系統(tǒng)的全體最小割集就構成系統(tǒng)的故障譜。 路集是一些底事件的集合，若其中所有底事件都不發(fā)生，則頂事件必定不發(fā)生。例如E，F(xiàn)，L1，L2，S1就是供水系統(tǒng)故障樹的一個路集。 最小路集是去掉其中任何一個底事件就不再是路集的路集。例如上述路集中去掉L2后的底事件集合(E

16、，F(xiàn)，L1，S1)仍是路集， 因而E，F(xiàn)，L1，L2，S1不是最小路集。但(E，F(xiàn)，L1，S1)中不能再去掉任何底事件，否則就不再成為路集，因而它是供水系統(tǒng)故障樹的個最小路集。 一個最小路集表示系統(tǒng)的一種成功模式，系統(tǒng)的全體最小路集構成系統(tǒng)的成功譜。 系統(tǒng)的任何一種故障模式的發(fā)生，都導致系統(tǒng)不希望事件的發(fā)生，因而在產(chǎn)品的設計中要努力降低最小割集發(fā)生的可能性，在系統(tǒng)運轉中要努力確保不使最小割集發(fā)生。或者說，為保證系統(tǒng)正常工作，必須至少保證有一個最小路集存在。最小割集與最小路集是系統(tǒng)可靠性分析的重要信息，它們來自同一頂事件的相反分析，所以只要知道其中之一就可進行分析。下面說明求故障樹最小割集的方法

17、。 二、求最小割集的方法 對于簡單故障樹，可以用直觀的方法，即按照故障樹結構及邏輯門的性質求最小割集。但對于復雜故障樹就要利用系統(tǒng)的方法求最小割集。常用的方法有兩種上行法和下行法。 ()上行法(Semanderes法) 上行法是自下而上地求頂事件與底事件的邏輯關系式的方法。在說明具體方法之前，先介紹點準備知識。 1、事件邏輯運算的基本法則 設A、B、C是不同的事件或事件集合，則事件邏輯運算的基本法則如下： 1)冪等律 AA=A，A+A=A 2)交換律 AB=BA A+B=B+A 3)結合律 (AB)C=A(BC) (A+B)+C=A+(B+C)4）分配律 (AB+C)=(A+C)(B+C)5）

18、吸收律 A+AB=A A(A+B)=A6）摩根律 讀者可以利用文氏圖幫助理解這些法則。ABBABABA 2上行法步驟 1)從故障樹的最下一級開始，逐級寫出各矩形事件與其相鄰下級事件的邏輯關系式。 2)從最下一級開始，逐級將下一級的邏輯表達式代入其上一級事件的邏輯表達式。在每一級代入之后都要運用上述邏輯運算法則，將表達式整理、簡化為底事件邏輯積求和形式，稱為積和表達式。當代換進行至頂事件時，則得到頂事件的積和表達式。 3)利用冪等律去掉各求和項中的重復事件，則表達式中的每一求和項都是 故障樹的一個割集，但不一定是最小割集。 4)再運用吸收律去掉多余的項，則表達式中的每一求和項即是故障樹的一個最小

19、割集。 例1 試求下圖所示的故障樹的全部最小割集。 解 為了不引起混淆，將該故障樹中1， 2，6各底事件分別用又X1，X2，X6表示。于是按照上述方法求最小割集的過程如下： (二)下行法(FussellVasely法) 所謂下行法是由頂事件開始，自上而下地逐級進行列表置換的方法。下行法的基本依據(jù)是邏輯門的性質：與門使割集的容量增大，或門使割集的數(shù)量增多。下行法求最小割集的步驟如下： 1)將頂事件寫入第1行。2)自頂事件開始，逐級用輸入事件置換表中的門事件(輸出事件)。3)如果邏輯門是或門，則輸入事件各占一行。4)如果邏輯門是與門，則輸入事件均寫入同一行。5)當表中全部中間事件皆被置換成底事件時

20、，則停止置換。6)去掉各行內多余的重復事件和去掉多余的重復行，則每一行都是故障樹的一個割集，但不一定是最小割集，7)吸收：將所有割集相互比較，去掉被包含的割集，則剩下的即是故障樹的全部最小割集。 例2 試利用下行法求下圖故障樹的全部最小割集。解 下行法的具體列表置換過程如下： 至此，各行已全部由底事件置換，經(jīng)過去重復和吸收處理后，剩下4行，即共有4個最小割集：1，2，3，4， 3，5，6?？梢钥闯?，這與前述上行法的結果完全一致。 三，求最小路集的方法 現(xiàn)在只說明求最小路集的下行法。步驟與求最小割集下行法步驟相同，但須在文字上作如下改變：第一，將各步驟中的“或門”改成“與門”，將“與門”改成“或

21、門”。第二，將各步驟中的“割集”改為“路集”，“最小割集”改為“最小路集”。 例3 試利用下行法求上例故障樹最小路集。 解 列表置換過程如下：經(jīng)過去重復和吸收處理后，得最小路集為：1，2，3，l，2，4，5，1，2，4，6。這意味著只要這3個路集有任何一個存在(即它所包含的底事件不同時存在)，則頂事件不會發(fā)生。 四、結構重要度 在進行可靠性分析時，要根據(jù)對頂事件的影響大小來區(qū)別最小割集的重要性及各底事件的重要性。如果是進行定性分析，由于不進行定量計算，只能根據(jù)最小割集的容量，即根據(jù)其階數(shù)來決定其重要性。一般而言，低階割集比高階割集更重要，如果底事件發(fā)生概率相差不懸殊的話。 在定性分析中，底事件

22、的重要性用其結構重要度評價。底事件的結構重要度定義為：底事件狀態(tài)由不發(fā)生變?yōu)榘l(fā)生時，頂事件發(fā)生次數(shù)的變化量與該事件不發(fā)生時系統(tǒng)狀態(tài)總數(shù)之比。可以用狀態(tài)枚舉法計算事件的結構重要度。 方法的步驟如下： (1)用 表示底事件i的狀態(tài)(底事件總數(shù)為m)，且狀態(tài)枚舉表ix 將所有底事件列入下表所示的表中，并在表中寫出全部底事件狀態(tài)的組合。ixi事件發(fā)生1，0， i事件不發(fā)生(i=1，2，m)2)用 表示頂事件的狀態(tài)，且 1，頂事件發(fā)生 0，頂事件不發(fā)生 3)在所有xi=1的系統(tǒng)狀奮中挑出 =1的狀態(tài)，設此類狀態(tài)數(shù)為 (1)inx4)在所有xi=0的系統(tǒng)狀態(tài)中挑出 =1的狀態(tài)，設此類狀態(tài)數(shù)為 (0)inx

23、5)于是可由下式計算第i個底事件的結構重要度 ：11(1)(0)2iiimInxnx在表中根據(jù)底事件狀態(tài)寫出頂事件狀態(tài)(即系統(tǒng)的狀態(tài))。此時可利用最小割集進行判斷。 (6-1) 式中， 為事件i不發(fā)生時系統(tǒng)的可能狀態(tài)數(shù)，此數(shù)由除事件i外其余底事件的狀態(tài)組合決定?，F(xiàn)在舉例說明結構重要度的計算。m-12例4 設某故障樹共有3個底事件；已知其最小割集為 1，2，1，3，試求各底事件的結構重要度。 解 為求各底事件的結構重要度，先列狀態(tài)枚舉表。 于是，按式(6-1)計算各底事件的結構重要度為1213(30)24I 2211(2 1)24I 3211(2 1)24I 當故障樹邊界條件限定只考慮硬件故障時

24、，底事件結構重要度也稱為部件結構重要度。 五、故障樹的定性分析 故障樹定性分析的主要內容有兩個方面。首先是通過故障樹了解不希望事件發(fā)生的過程。其次是通過最小割集(或最小路集)分析可能的薄弱環(huán)節(jié)。最小割集所含底事件(稱為割集元素)的數(shù)目稱為最小割集的階數(shù)。對于高可靠性系統(tǒng)，其底事件發(fā)生概率很小(通常小于 )，所以原則上可以只注意那些低階的最小割集，例如3階或4階以下的最小割集。 -3l0 在設計階段，應考慮在技術上是否能充分保證這些低階割集的可靠性，即是否能充分保證它所包含的硬件、軟僻：、人員操作的可靠性。尤其對一階割集更要分析它是否有足夠高的可靠性。在運行階段，為保證系統(tǒng)正常實現(xiàn)其功能，則要防

25、止屬于同一割集的事件同時發(fā)生，這對于復雜系統(tǒng)的安全運行有重要意義。 當需要鑒別底事件的薄弱環(huán)節(jié)時，在定性分析階段主要是根據(jù)其結構重要度進行。將底事件按結構重要度大小由大到小排隊，其順序就是對系統(tǒng)可靠性影響大小的順序。 第五節(jié) 故障樹的定量分析 以故障樹為系統(tǒng)模型，在已知全部底事件可靠性參數(shù)的情況下，可以計算頂事件的發(fā)生概率。通常，對于不可修系統(tǒng)，頂事件發(fā)生的概率是系統(tǒng)的不可靠度。對于可修系統(tǒng)，頂事發(fā)生的概率是系統(tǒng)的不可用度。在安全性分析中，頂事件的 因此，故障樹的定量分析可以對系統(tǒng)的可靠性(無故障性)、可用性和安全性作出定量評價。概率是系統(tǒng)的事故發(fā)生的概率。一、直接概率法 直接概率法是按照故障

26、樹結構自下而上地逐級根據(jù)概率運算法則計算各門事件概率的方法。故障樹中最典型的結構是與門結構和或門結構，下面分別說明這兩種結構的門事件概率計算方法。 （一）與門結構的概率計算 設故障樹僅包含一個與門，門事件GAND和m個輸入事件Xi（i=1，2，m）（見下圖）。根據(jù)與門的性質，可寫出各事件的邏輯關系式為 因而，門事件的發(fā)生概率為121ANDmmiiGXXXX1()mANDiiP GPX當各輸入事件Xi(i=1，2，m)為獨立事件時，由概率論可知，此與門輸出事件的概率應等于各輸入事件單獨發(fā)生概率之乘積，即 (6-2)式中，P（Xi）輸入事件Xi發(fā)生概率 121()() ()()()ANDmmiiP

27、 GP XP XP XP Xm與門的輸入事件總數(shù) 如果GAND是故障樹的頂事件，則頂事件概率P（TOP）=P（GAND）。(6-3)（二）或門結構的概率計算 設故障樹僅包含一個或門，門事件GOR，及m個輸入事件Xi(i=1，2，m)（見下圖）。根據(jù)或門的性質，各事件的邏輯關系可由下式表示： 121ORmmiiGXXXX 由概率論知，門事件GOR發(fā)生的概率P(GOR)由下式計算 1111111()()()( 1)mORiimmmmmiijiiij iiP GPXP XP XXPX 式中，第一項是m個輸入事件概率之和；第二項是m個輸入事件中所有兩不同事件相交的概率之和；第3項則應是輸入事件中所有3

28、個不同輸入事件相交的概率之和等等。最后一項是所有m個輸入事件相交的概率，全式共m項。(6-4) 當輸入事件均為獨立事件時，上式變?yōu)?式中 P（Xi）、P（Xj）分別為Xi、Xj事件的概率。當所有輸入事件均為互斥事件時，或門輸出事件的概率等于所有輸入事件概率之和。 miimimijmjimiiORXPXPXPXPGP111111)() 1()()()()(6-5)于是式(6-4)變?yōu)?在輸入事件互斥的情況下，式(6-6)是精確公式。但是在多數(shù)情況下，或門的輸入事件不是互斥的，即此式作為精確公式運用的場合是較少的。miiORXPGP1)()(6-6） 當系統(tǒng)的可靠性較高時，即其故障樹底事件概率P(

29、Xi)0.1時，利用式(6-6)計算或門輸出事件的概率將給出很好的近似值。由式(6-5)可知，此時式，(6-6)的計算結果是偏高的近似。在系統(tǒng)的初步設計階段或其他不要求精確值的情況，以及需要對系統(tǒng)的可靠性水平迅速作出定量估計時，利用式(6-6)計算或門輸出事件發(fā)生概率是很方便的。 (三)一般情況 當故障樹是由與門、或門形成的復雜結構時，只要其各邏輯門的輸入事件是統(tǒng)計獨立的，就可以利用式(6-3)和式(6-5)，由下而上地逐級計算各門事件的概率直至頂事件概率。下面通過舉例說明直接概率法的運用。 二、最小割集法 上述直接概率法是直接按故障樹結構并根據(jù)概率運算法則計算頂事件概率的方法，并未涉及最小割

30、集。在故障樹分析中如果已經(jīng)求出了最小割集，也可以在最小割集基礎上計算頂事件概率。 設故障樹共有N個最小割集Ci=X1，X2，Xj，Xni（i=1，2，N），Xj（j=1，2，ni）為割集元素，即屬于最小割集的底事件，ni為最小割集Ci的容量。由于每個最小割集的發(fā)生都導致頂事件發(fā)生，所以各最小割集同頂事件的邏輯關系是“或”邏輯關系。割集元素與最小割集的邏輯關系是“與”邏輯關系，因為只有當全部割集元素都同時存在時最小割集才發(fā)生。于是，任何故障同時存在時最小割集才發(fā)生。于是，任何故障故障樹表示為如下圖所示的結構。圖中只畫出了第i個最小割集Ci的輸入事件。此時，事件的邏輯表達式為 因而，頂事件概率為1

31、NiiTOPC1111111()()()()( 1)()NiiNNNiijiijiNNiiP TOPPCP CP CCPC 式中，右側第一項中的P(Ci)，是最小割集Ci的概率，由于121niinijjCXXXX（6-7）（6-8）（6-9） 所以最小割集概率為1()()niijjP CPX當各Xj為獨立事件時，121()() ()()()niinijjP CP XP XP XP X式(6-8)中的第2項及以后各項，都是在最小割集中所有不同的k(k為該式中各項的序號)個最小割集相交的概率之和。當各相交的最小割集相互獨立時，該最小割集相交的概率等于相應最小割集概率乏乘積：（6-10）（6-11） 當各相交的最小割集不獨立時，可利用事件邏輯運算的結合律和冪等律將相交項化