北理工數(shù)值計(jì)算方法試題及答案

1、數(shù)值計(jì)算方法試題一一、填空題(每空 1 分，共 17 分)1、如果用二分法求方程x3+x4=0在區(qū)間1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對(duì)分()次。,22、迭代格式xT= =人人+ +二二( (人人-2) )局部收斂的充分條件是支取值在)。3_，X0Mx1S(x)=132八(x-1)a(x-1)b(x-1)c1MxM3口一、二工.七十小心3、已知 12是二次樣條函數(shù)，則4、l0(x),l1(x),，ln(x)是以整數(shù)點(diǎn)x0,x1，xn為節(jié)點(diǎn)的 Lagrange 插值基函數(shù)，貝Unn二lk(x)=xklj(xk):kzQ(),kz0()，當(dāng)n2時(shí)n、(x4x23)lk(x)=k=e()。5、設(shè)f(x)

2、=6x7+2x4+3x2+1和節(jié)點(diǎn)xk=k/2,k=0,1,2，則fR,x，=和&f0=。6、5 個(gè)節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度為,5 個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式最高代數(shù)精度為。7、加加k(x)言是區(qū)間0,1上權(quán)函數(shù)畋)=*的最高項(xiàng)系數(shù)為 1 的正交多項(xiàng)XI-ax2=b1-8、給定方程組1axJx2=b2,a為實(shí)數(shù)，當(dāng) 0c2 時(shí)，SOR 迭代法收斂。f(x,y)9、解初值問(wèn)題1y(x0)=y0yn*=yn+hf(xn,yn)h=，0yn1=yn-f(xn,yn)f(xn1,yn1)L2是a=(),1式族，其中Q(x)=1,則Ix( (x)dx=a滿足的改進(jìn)歐階方法。一10a1A=01a

3、10、設(shè).aaL,當(dāng) aw(其中L為下三角陣，當(dāng)其對(duì)角線元素l.(i=1,2,3)滿足()條件時(shí)，這種分解是唯一的。二、二、選擇題(每題 2 分)1、解方程組Ax=b的簡(jiǎn)單迭代格式x(s=Bx(k)+g收斂的充要條件是()。(1)P(A)1,(2)P(B)1,(4)P(B)1?_n_(n)_2、在牛頓-柯特斯求積公式：，一a，i中，當(dāng)系數(shù)G是負(fù)值時(shí)，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)()時(shí)的牛頓-柯特斯求積公式不使用。( 1 )n之8 ,( 2 )n之7 ,( 3 )n 10,( 4 )n 6,3、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插

4、值多項(xiàng)式的次數(shù)是()。( 1 ) 二 次 ；(2 ) 三 次 ；(3 ) 四 次 ；(4 ) 五 次hh.，4、若用二階中點(diǎn)公式y(tǒng)(Xn2，yn4D求解初值問(wèn)題y，=-2y,y(0)=1,試問(wèn)為保證該公式絕對(duì)穩(wěn)定，步長(zhǎng)h的取值范圍為()。(1)0h2,(2)0h2,(3)0：h；2,(4)0三h：二2三、1、(8 分)用最小二乘法求形如y=a+bx2的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)據(jù)：xi19253038V19.032.349.073.312、(15 分)用n=8的復(fù)化梯形公式(或復(fù)化 Simpson 公式)計(jì)算(edx時(shí)，(1)(1)試用余項(xiàng)估計(jì)其誤差。(2)用門=8的復(fù)化梯形公式(或復(fù)化 Simpso

5、n 公式)計(jì)算出該積分的近似值。四、1、(15 分)方程x3-x-1=0在x=1.5附近有根，把方程寫(xiě)成三種-x=J1+不同的等價(jià)形式(1)x=3/x+1對(duì)應(yīng)迭代格式xn由=3/Xn+1；(2)xx)時(shí)，必有分解式A=LLT,d1Xn1=1.3對(duì)應(yīng)迭代格式；(3)X=X3-1對(duì)應(yīng)迭代格式xn.=xn-1。判斷迭代格式在=15的收斂性，選一種收斂格式計(jì)算X=1.5附近的根，精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位。選一種迭代格式建立 Steffensen 迭代法，并進(jìn)行計(jì)算與前一種結(jié)果比較，說(shuō)明是否有加速效果。2、(8 分)已知方程組AX=f,其中43-241A=34-1f=30:一-14-：-241(1)(1)列

6、出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seide 迭代法的分量形式。(2)(2)求出 Jacobi 迭代矩陣的譜半徑，寫(xiě)出 SOR 迭代法。dy4J=-y1dx五、1、(15 分)取步長(zhǎng)h=0.1,求解初值問(wèn)題Iy=1用改進(jìn)的歐拉法求y(0.1)的值；用經(jīng)典的四階龍格一庫(kù)塔法求y(0.1)的值。2、(8 分)求一次數(shù)不高于 4 次的多項(xiàng)式 p(x)使它滿足p(x0)=f(x0),P(XI)=f(XI),p(x0)=f(x0),P(XI)=f(x1),P(X2)=f(X2)六、(下列 2 題任選一題，4 分)1、1、數(shù)值積分公式形如10 xf(x)dx七S(x)=Af(0)十Bf(1)+Cf(

7、0)+Df(1)(1)(1)試確定參數(shù)A,B,C,D使公式代數(shù)精度盡量高；(2)1設(shè)f(x)wC40,1,推導(dǎo)余項(xiàng)公式R(x)=0 xf(x)dx-S(x),并估計(jì)誤差。2、2、用二步法ynLAynynhf(xn,yn)(1-U)f(xn，yn)；y=f(x,y)求解常微分方程的初值問(wèn)題Ly(x)=y0時(shí)，如何選擇參數(shù)豆0戶1,8 使方法階數(shù)盡可能高，并求局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)，此時(shí)該方法是幾階的。數(shù)值計(jì)算方法試題二一、判斷題：(共 16 分，每小題2分)1、若A是nMn階非奇異陣，則必存在單位下三角陣L和上三角陣U,使A=LU唯一成立。()2、當(dāng)n之8時(shí)，Newtoncotes 型求積公式會(huì)產(chǎn)生數(shù)

8、值不穩(wěn)定性。6、設(shè)AwRn：n,QwRn,且有QTQ=I(單位陣)，則有1A2=lQA2()7、區(qū)間a,b】上關(guān)于權(quán)函數(shù)W(x)的直交多項(xiàng)式是存在的，且唯一。1、設(shè)f(x)=9x8+3x4+21x2+10,則均差018019.f2,2，,2=,f3,3，,3=?2、設(shè)函數(shù)f(x)于區(qū)間Q,b】上有足夠階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，pwQ,b】為f(x)的f(xk)xk1-m-一個(gè)m重零點(diǎn)，Newton 迭代公式f(xk)的收斂階至少是階。3、區(qū)間a,b1上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在bb】上具有直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。77-2)A=4、向量X=(12)T,矩陣31人則IIAXL=?cond(A)oo_?15、為使兩點(diǎn)

9、的數(shù)值求積公式：f-1f(x)dx&f(x0)f(x1)具有最高的代f(x)dx，Aif(xi)3、形如ai=i的高斯數(shù)精確度的次數(shù)為2n+1。(Gauss)型求積公式具有最高代2A=14、矩陣02aaA=0a5、設(shè)00101114的2范數(shù)情2=9。()0、0aA則對(duì)任意實(shí)數(shù)a#0,方程組Ax=b都是病態(tài)的8、對(duì)矩陣22A=4724(:、填空題:A 作如下的 Doolittle 分解:3)(17=25JJ00丫223、I10|0b1a1人006J,則a,b的值分別為a=2,b=2。(共 20 分,每小題 2 分)數(shù)精確度，則其求積基點(diǎn)應(yīng)為X1=?X2=o6、設(shè)AwRn：n,AT=A,則

10、P（A）（譜半徑）IA2O（此處填小于、大于、等于）7、設(shè) 22 一，則kmA=。三、簡(jiǎn)答題：（9 分）1、 1、方程x=42X在區(qū)間口內(nèi)有唯一根X*,若用迭代公式：xz=ln（4Xk）/ln2（k=0,12），則其產(chǎn)生的序列科是否收斂于x*?說(shuō)明理由。2、 2、使用高斯消去法解線性代數(shù)方程組，一般為什么要用選主元的技術(shù)？f（x）=-3、 3、設(shè)X=0.001,試選擇較好的算法計(jì)算函數(shù)值X2四、（10 分）已知數(shù)值積分公式為：0f（X）dX&2f（0）+f（h）hf（0）-f（h）,試確定積分公式中的參數(shù)九，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。五、（8 分）已知求ja（aA

11、。）的迭代公式為：Xk14Xk里）X00k=0,1,22Xk證明：對(duì)一切k=1,2,，Xk2va,且序列xj是單調(diào)遞減的，從而迭代過(guò)程收斂。33六、（9 分）數(shù)值求積公式10f3dx9f+2）是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？七、（9 分）設(shè)線性代數(shù)方程組AX=b中系數(shù)矩陣 A 非奇異，X 為精確解，b=0,若向量X是AX=b的一個(gè)近似解，殘向量r=b-AX,X-XWcond（A）1n蚪（假定所用矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容）。八、（10 分）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間0,3】上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試求滿足下列插值條件的一個(gè)次數(shù)不超過(guò) 3 的插值多項(xiàng)式H（x）,并導(dǎo)出1一cosx其余項(xiàng)i012

12、xi012f(x。-113_f(xi)3九、（9 分）設(shè)如（x）是區(qū)間a,b上關(guān)于權(quán)函數(shù)w（x）的直交多項(xiàng)式序歹ij,Xi（i=12:，。為例書(shū)（x）的零點(diǎn)，li（x）（i=12，是以為基點(diǎn)的拉格朗日（Lagrange 海值基f(x)w(x)dxAkf(xk)、ay為圖斯型求積公式，證明:n/Aik(xi)j(xi)=0(1)當(dāng)0Ek,jEn,k*j時(shí)，ybalk(x)lj(x)w(x)dx=0(kj)n1b2blk(x)w(x)dx=w(x)dx(3)kJaa十、(選做題 8 分)若f(x)=Q由(x)=(xx0)(xXI)(x4),X（i=0,1，n）互異，求fx0,x1，xp的值，其中p

13、En+1函數(shù),(1)(2)數(shù)值計(jì)算方法試題三一、（24 分）填空題（1）（2 分）改變函數(shù)f（x）（x1）的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確（2）（2）（2 分）若用二分法求方程f（x）=。在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第 3 位小數(shù)，則需要對(duì)分次(3)(3)fx=(2 分)設(shè)2.2x1x2x1x2%貝Ufx二a=,b=,c=。1x,(5)(5)(3 分)若用復(fù)化梯形公式計(jì)算1edx，要求誤差不超過(guò)10，利用余項(xiàng)公式估計(jì)，至少用個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。x1+1.6x2=1-(6)(6)(6 分)寫(xiě)出求解方程組0.4X1+X2=2的 Gauss-Seidel 迭代公式迭代矩陣此迭代法是否收斂。54)A=:II1(7)

14、(7)(4 分)設(shè)達(dá)3,則,Cond以A尸。(8)(2 分)若用 Euler 法求解初值問(wèn)題y=-10y，y0)=1,為保證算法的絕對(duì)穩(wěn)定，則步長(zhǎng) h 的取值范圍為二(64 分)(1)(1)(6 分)寫(xiě)出求方程4x=cos(x)十1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(2)(12 分)以 100,121,144 為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算加5的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。(3)(3)(10 分)求f(x)=ex在區(qū)間0,1上的 1 次最佳平方逼近多項(xiàng)(4)(4)(3 分)設(shè)S(x)=*2x3,0 x132.x+ax+bx+c,1wx*是3次樣條函數(shù),（10 分）用 Gauss 列主

15、元消去法解方程組:x1+4x2+2x3=243x1+x2+5x3=342XI+6x2+x3=27J（7）（8 分）已知常微分方程的初值問(wèn)題:用改進(jìn)的 Euler 方法計(jì)算y（12）的近似值，取步長(zhǎng)h=0.2。.（12 分，在下列 5 個(gè)題中至多選做 3 個(gè)題）（1）（6 分）求一次數(shù)不超過(guò) 4 次的多項(xiàng)式 p（x）滿足:p(1)=15,p(1)=20,p=30,p(2)=57,p(2)=72（2）（6 分）構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度:0 xfxdx:AOf_2AIf1相應(yīng)的單位特征向量， 迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距離小于 0.05,取特征向量的初始近似值為（

16、1,0）T。式。（10 分）用復(fù)化 Simpson 公式計(jì)算積分11sinx.=dxL0 x的近似值, 要求誤差限為0.5M10。(6)（6）（8 分）求方程組2的最小二乘解dy/dx=x/y,1J(1)=2x1,2A二（3）（6 分）用哥法求矩陣101J*的模最大的特征值及其解得:C_0.9255577110.0501025所以a=0.9255577,b=0.0501025（4）（4）（6 分）推導(dǎo)求解常微分方程初值問(wèn)題yx=fx,yx,a_x_b,ya=v。的形式為Vi+=Vi+h(Pofi+PifiJ),i=1,2，,N的公式，使其精度盡量高，其中fi=f(xi，Vi),X=a+ih,i

17、=0,1Nh=b-aN（5）（5）（6 分）求出用差分方法求解常微分方程的邊值問(wèn)題y+p(xy+q(xy+r(x)=0,axb:y(a)=0,y(b)=。所得到的三對(duì)角線性方程數(shù)值計(jì)算方法試題一答案一、填空題（每空 1 分，共 17 分）1、( (10)(1)2、（、（3、a=(3),b=(3),4、（1）、）、（）、（）、（x4x23）5、69_7、08、a0）二、二、選擇題（每題 2 分）1、（2）2、（1）3、（1）三、1、（8 分）解：G=span1,x2等=9454=236.252、.210、( (2,24、（、（）6、T1111A|192252312382解方程組ATAC=ATyy

18、T=19.032.349.073.31其中T43391AA=|33913529603T173.6Ay=|什79980.7-h7T(8)=-f(a)2-f(xjf(b)2k41=112(0.88249690.77880080.606530660.53526140.472366550.41686207)0.36787947u0.6329434叫、四、1、(15 分)解：(1)()3(，任。=0.181,故收斂;1叫x)=之(2)2XW 晨，卜。5)、?！翱诠适諗?；(3)叫x)=3x2,(1.5)1:3.52A1,故發(fā)散。選擇(1):x0=1.5,x1=1.3572?x2=1.3309?x3=1.3

19、259,x4=1.3249,x5=1.32476,x6=1.32472(Xk)-Xk)2xk1-xk一Steffensen 迭代：(4)-2乂)xk(3xk1-xk)2-xk-33xk11-23xk11計(jì)算結(jié)果：x0=1.5,x1=1.324899,x2=1.324718有加速效果。x1(k+)=1(24-3x2k)4Jx2k*)=：(30-3x1(k)+x3(k)x3k*)=1(-24+x2k)42、(8分)解：Jacobi 迭代法：、k=0，1,2,3，,x1(k+)=1(24-3x2k)4x2k=1(30-3x11)x3k)乂尸=工(-24+乂尸)4Gauss-Seidel 迭代法：、及

20、二0，1,2,3，0-340BJ=-D“(L+U)=-%0%.034。一2、（15 分）解:RTf=b-a2hfii0,-e128210.001302768P(BJ)=瓦(或.)=0.790569k4f(Xnh,ynhk3)匕=k2=k3=k4=0,所以y(0.1)=y1=10H3(Xi)=f(Xi)2、(8 分分) )解：設(shè)H3(X)為滿足條件1H3Txi)=fa)i=01的 Hermite插值多項(xiàng)式，22則p(x)=H3(X)k(x-X0)(X-X1)代入條件m%)=9)得:Lf(x2)-H3(X2)k一/、2/、2(X2-X0)(X2-X1)六、(下列 2 題任選一題，4 分)1、解：將

21、f(x)=1,x,x2,x3分布代入公式得:371A=，B=，B=,D=202030120構(gòu)造 Hermite 插值多項(xiàng)式%=0,XI=1H3(X)=f(Xi)H3(X)滿足lH3r(X)=fr(X)i=0,1其中1則有：0XH3(x)dx=S(x)f(4)()22，一小)R(X)=0Xf(X)-S(X)dX=of(4)()132X(X-1)dx=4!04!f(4)()4!602(X-1)dxf(4)()1440(k判0、(k)(k)X1=(1co)X1+(243X2)4Xy=(1f)x2k)嚀(30.3X產(chǎn)十x3k)x/=(1f)x3k)+N(-24+x2，4SOR 迭代法：、k=01,2,

22、3,五、1、(15 分)解：改進(jìn)的歐拉法：yn01=ynhf(Xn,Yn)=0.9丫口0.1h(0),yn1=n2【f(Xn,yn)f(Xn1,yn1)=0.905yn0.095所以y(0.1)=y1=1；經(jīng)典的四階龍格一庫(kù)塔法:Yn+=yn+hki+2k2+6ki=f(Xn,yn)Jk2=f(Xn+2，yn+k3=f(Xn+yn+22k3kJ2、解、解: :卜2h3=y(Xn.1)-Yn1=y(Xn)hy(Xn)萬(wàn)y(Xn)句丫(Xn)h2h3小hy(Xn)(1-與(y(Xn)hy(Xn)y(Xn)-目y(Xn)二(1-二0-二iW(Xn)h(1-11I)Y(Xn)21：1.31：11-U4

23、h2(-1-)Y(Xn)h3(-)Y(Xn)O(h4)226620=1=三、三、簡(jiǎn)答題：（15 分）1、1、解：、解：迭代函數(shù)為p（X）=ln（4-X）/ln2-1111X父4-XIn24-2In22、答：Gauss 消去法能進(jìn)行到底的條件是各步消元的主元素 ak?全不為 0,如果在消元過(guò)程中發(fā)現(xiàn)某個(gè)主元素為 0,即使det（A）#。，則消元過(guò)程將無(wú)法進(jìn)行；其次，即使主元素不為 0,但若主元素 a 黑的絕對(duì)值很小，用它作除數(shù)，將使該步消元的乘數(shù)絕對(duì)值很大，勢(shì)必造成舍入誤差的嚴(yán)重?cái)U(kuò)散，以致于方程組解的精確程度受到嚴(yán)重影響，采用選主元的技術(shù)，可避免（k）（k）主元素akk=0 或akk很小的情況發(fā)

24、生，從而不會(huì)使計(jì)算中斷或因誤差Rn,hh2.、-二0y(Xn)-二l(y(Xn)-hy(Xn)3y(Xn)-h33!y(Xn).)所以、工1=0:1-1-1-02主項(xiàng):Q3y(Xn)該方法是二階的數(shù)值計(jì)算方法試題二答案(X)2、擴(kuò)大太大而使計(jì)算不穩(wěn)定。四四、五、3、3、x2cosx=1-一解：2!2x1一cosx=1f(x)二2!2!2x42nxnx-(-1)4!(2n!)4x,、_(-1)4!(-1)4!2nn1x.麗2nNn_1x+(2n!)四、解：f(x)=1顯然精確成立;hxdx=f(x)=x時(shí)，0h2h2萬(wàn)二/hh-；f(x)f(x)f(x)=x2時(shí),=x4時(shí),hx2dx;里h3ox

25、dxdx二3h44h55所以，其代數(shù)精確度為五、證明:h22h30h2h20-2h=-2h-22h_312_2=a0+hFh0-3h；h4123二0hh0-4h=2123。axk1=-(xk)2xk-22xk二axkh56；k=0,1,2Xk_1又xk故對(duì)一切k=1,2，Xka(1衛(wèi))”(11)=12xk2所以人*人，即序列人是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過(guò)程收斂。八、八、八、八、p(x)=1-23是。因?yàn)閒(x)在基點(diǎn) 1、2x-1f(1)-f(2)2-1處的插值多項(xiàng)式為七、0p(x)dx=3f(1)+f(2。其代數(shù)精度為七、證明：由題意知：AX=b,AXA(X-X)=1二X-XX-X1。A-1

26、AX=b=b=AX又A|XiuiAA|X11IIXFIM十、所以lk(x)lj(x)w(x)dx-Alk(xi)lj(xi)=0ai=13)2,、.一取f(x)=li(x)，代入求積公式：因?yàn)閚1bli(x)w(x)dx=Ajli(xj)=A所以aj1n1n1b2b二ilk(x)w(x)dx=A=w(x)dxaa(kj),2，、li(x)是 2n 次多項(xiàng)式,kJ故結(jié)論成立。十、解：八、解：設(shè)H(x)=N2(x)ax(x-1)(x-2)，1N2(x)=f(0)f0,1(x-0)f0,1,2(x-0)(x-1)=1-2x(x-0)(x-1)21H(x)=1-2xx(x-1)ax(x-1)(x-2)

27、所以21a二4-5x23x-14aR(x)=f(x)-H(x),作輔助函數(shù)g(t)=f(t)-H(t)-k(x)t2(t-1)(t-2)則g在。上也具有 4 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且至少有 4 個(gè)零點(diǎn)：t=xQ，1,2f(4)()小反復(fù)利用羅爾定理可得：k(x)=4!,(g(4)()=0)r2f(4)()2R(x)=f(x)-H(x)=k(x)x2(x-1)(x-2)=()x2(x-1)(x-2)所以4!X-X所以XAA卿|A曠8nd網(wǎng)。、,.由H(0)=3得：H(x)=-x所以4九、九、證明：形如積公式具有最高代數(shù)精度次的多項(xiàng)式均精確成立f(x)w(x)dx；Z：Akf(Xk)ak=1的高斯(Gaus型

28、求2n+1 次，它對(duì)f(x)取所有次數(shù)不超過(guò) 2n+11)、Ai(xi)j(xi)=：k(x)j(x)w(x)dx=0i1a2)li(xj)=，因?yàn)樽ω资情T次多項(xiàng)式，且有jpf(Xi)fx0,X1,Xp=0pni衛(wèi)一衛(wèi)一I1(Xi-xj).(24 分)二.（64 分）11八xn1=xn=-1cosxn(6 分)n4n,n=0,1,2,（12 分）用 Newton 插值方法：差分表:1001211410110.04761900.0434783-0.000094113611510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.72275553fXo,Xi,必必1（n1）!數(shù)值計(jì)算方法試題三答案fX=(1) (2 分)(2) (2 分)10(3) (2 分)2XI2X2、02XI/(3 分)3-31(5)(3 分)477(6)(6 分)xr*)=11.6xf)x尸尸)=2+0.4XIWJ-0-1.6、2-0.64J收斂(7)(4 分)991(8)(2 分)h0.21.JL1/sin(xJ2/12112,2=Qxdx=3,f,1=011/2丫&“21/3八C2e-111.1.1( (電電21)=j0d