數(shù)學建模論文奶牛場問題

1、奶牛場計劃摘要本文是對農(nóng)場生產(chǎn)計劃進行最優(yōu)化建模，首先要求制訂未來五年的生產(chǎn)計劃，計劃應貸款的金額、應賣的小母牛、以及用來種植糧食的土地，使成本降到最低。其中農(nóng)場的收入包含賣牛的收入，賣牛奶的收入，和賣糧食甜菜的收入（當糧食和甜菜充足的情況下），農(nóng)場的支出包括勞動力的消費，買牛的費用，承包農(nóng)場的費用，以及購買糧食甜菜的費用（當糧食和甜菜不足的情況下）。通過迭代計算可以把本模型簡化成一個收入和支出的關(guān)系表達式，將銀行貸款利息結(jié)合到收支上，建立一個非線性規(guī)劃模型，同時考慮到糧食的充和不足情況，運用0-1規(guī)劃方法解決建模問題。最后我們利用LINGO編程得到最終結(jié)果。關(guān)鍵詞：收入支出迭代計算0-1規(guī)劃

2、 LINGOLINGO問題重述1.1問題背景某公司計劃承包有200畝土地的農(nóng)場，建立奶牛場，雇傭工人進行奶牛養(yǎng)殖經(jīng)營。由于承租費用較高，公司只能向銀行貸款進行生產(chǎn)經(jīng)營。現(xiàn)在要為未來的五年制定生產(chǎn)計劃，并向銀行還本付息，使公司盈利最大。1.2相關(guān)信息開始承包時農(nóng)場有120頭母牛，其中20頭為不到2歲的幼牛，100頭為產(chǎn)奶牛。產(chǎn)奶牛平均每頭每年生1.1頭牛，其中一半為公牛，生出后不久即賣掉，平均每頭賣300元；另一半為母牛，可以在出生后不久賣掉，平均每頭賣400元，也可以留下飼養(yǎng)，養(yǎng)至2歲成為產(chǎn)奶牛。 幼牛年損失5%產(chǎn)奶牛年損失2%產(chǎn)奶牛養(yǎng)到滿12歲就賣掉， 平均每頭賣1200元?，F(xiàn)在有20頭幼牛

3、，0歲和1歲各10頭；100頭產(chǎn)奶牛，從2歲至11歲，每一年齡的都有10頭。應該賣掉的小母牛都已賣掉。所有20頭是要飼養(yǎng)成產(chǎn)奶牛的。一頭牛所產(chǎn)的奶提供年收入3700元?，F(xiàn)在農(nóng)場最多只能養(yǎng)130頭牛。超過此數(shù)每多養(yǎng)一頭，要投資2000元。每頭產(chǎn)奶牛每年消耗0.6噸糧食和0.7噸甜菜。每頭小牛每年消耗糧食和甜菜量為奶牛的2/3。 糧食和甜菜可以由農(nóng)場種植出來。 每畝產(chǎn)甜菜1.5噸。 只有80畝的土地適于種糧食，產(chǎn)量平均0.9噸。從市場購糧食每噸900元，賣出750元。買甜菜每噸700元，賣出500元。養(yǎng)牛和種植所需的勞動量為：每頭小牛每年10小時；每頭產(chǎn)奶牛每年42小時；種一畝糧食每年需20小時；

4、種一畝甜菜每年需30小時。其它費用：每頭幼牛每年500元，產(chǎn)奶牛每頭每年1000元；種糧食每畝每年150元，種甜菜每畝每年100元。勞動力成本為每小時費用為10元。承包農(nóng)場需要一筆費用，其中一部分是土地承租費用，每年6萬元（每年底付清），另一部分用于支付開始承包時農(nóng)場已有的120頭牛的費用。平均產(chǎn)奶牛每頭4000元，小牛每頭400元，到承包結(jié)束時，農(nóng)場的牛按此價折價抵賣。任何投資都是從5年期的貸款得到。貸款的年利率為12%每年償還本息總共的1/5,五年還清。止匕外，農(nóng)場主不希望產(chǎn)奶牛的數(shù)目在五年末與現(xiàn)在相比減少超過50%也不希望增加超過75%1.3待解決的問題(1)試分析承包人有無盈利的可能性

5、。若有，應如何安排5年的生產(chǎn)，使得五年的凈收益為最大？(2)更進一步討論，若遇到銀行利率波動(例如上下波動2個百分點)，還貸方式改變(如規(guī)定每年還息，改變還本的方式)，由于氣候等外因變化引起的農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量與價格的變化及勞動力市場價格的變動等將會對你的五年生產(chǎn)計劃及收益產(chǎn)生怎樣的影響。、題設分析2.1問題分析2.1.1問題一的分析表1開始承包時每個年齡的奶牛以及承包費用表牛種幼牛產(chǎn)奶牛歲數(shù)01234567891011牛數(shù)101010101010101010101010承包費用400元/頭4000元/頭表2每年養(yǎng)牛所需費用表牛種幼牛產(chǎn)奶牛費用糧食0.6*2/30.6噸/頭甜菜0.7*2/30.7噸/

6、頭勞動力100元/頭420元/頭其他500元/頭1000元/頭表3糧食甜菜清單種植產(chǎn)量勞動力費用其他費用購入價格賣出價格土地數(shù)糧食0.9噸/畝200元/畝150元/畝900元/噸750元/噸080畝甜菜1.5噸/畝300元/畝100元/畝700元/噸500元/噸0200畝本題要求分析農(nóng)場主5年后能否盈利， 并制定5年的生產(chǎn)計劃設法使凈收益最大,我們認為這是一個研究資源的合理配置和優(yōu)化問題。農(nóng)場投資最少收益為最大，要合理生產(chǎn)計劃，減少不必要的成本。1.由題意可知， 第四年和第五年產(chǎn)出的小牛到第五年末都不可以產(chǎn)奶， 所以第四年第五年不飼養(yǎng)剛出生的小奶牛，全部飼養(yǎng)產(chǎn)奶牛盈利最大。2.種糧食和甜菜均有

7、利可圖，種糧食平均盈利比種甜菜平均盈利大，故可以先滿足糧食產(chǎn)量再考慮甜菜的產(chǎn)量。2.1.2問題二的分析1.使用窮舉法求解， 先不考慮貸款及還款做出最優(yōu)解， 然后通過每年運營所需費用以及貸款所需費用計算出貸款金額。2.貸款問題任何投資都是從5年期的貸款得到。 貸款的年利率為10%每年償還本息總共的1/5,五年還清。止匕外，農(nóng)場主不希望產(chǎn)奶牛的數(shù)目在五年末與現(xiàn)在相比減少超過50%也不希望增加超過75%3.勞動力市場的價格變化可能對不同的牛（12歲母牛，0歲母牛）的養(yǎng)殖數(shù)目，種植飼料的畝數(shù)，以及間接地對貸款額造成一定影響。此題我們將結(jié)合模型中利率，農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量和價格，及勞動力價格這幾個變量來進行分析。

8、三、模型假設3.1問題一中的假設方法一的假設：假設一：年初幼牛出生，年末損失。小牛剛出生就賣掉，即剛出生的小牛無損失，12歲的老母牛在年末被賣掉。假設二：假設年初的奶牛消耗食物，也就是說即使有部分奶牛中途死亡也消耗了食物假設三：先收益再還貸款錢，而且固定資產(chǎn)如：地皮錢，第一年買的牛的錢，種地錢，養(yǎng)牛的固定費用等這些消費設在年初，種地和養(yǎng)奶牛勞動力時長消費統(tǒng)一設在年末。假設四：第五年末的老牛將以一定折扣1200元/頭賣出。方法二的假設：假設一：年初幼牛出生，年末損失。小牛剛出生就賣掉，即剛出生的小牛無損失，12歲的老母牛在年末被賣掉。假設二：糧食是在每年末才能成熟并收割，第一年的牛的全部飼料都從

9、市場上購買，以后每年的牛吃上一年種的糧食，不夠的再到市場上購買。假設三：不考慮價格指數(shù)CPI。3.2問題二中的假設1 .銀行按照復利計息，即農(nóng)場每年歸還1/5(1+r)A5M2 .銀行貸款利率穩(wěn)定。3 .每年等額還款。四、符號說明方法一的符號說明ak(k=123,4,5,6)為 0-10-1 變量Jit(t=123)為判斷系數(shù)Li為第 i i 年生育的母牛留下來數(shù)量序為第 i i 年年初幼牛數(shù)量國為第 i i 年年初奶牛數(shù)量日為第 i i 年年末幼牛數(shù)量Ei2為第 i i 年年末奶牛數(shù)量Fii為第 i i 年幼牛消耗糧食量Fi2為第 i i 年幼牛消耗甜菜量Fi3為第 i i 年奶牛消耗糧食量

10、Fi4為第 i i 年奶牛消耗甜菜量Fi5為第 i i 年種植糧食噸數(shù)Fi6為第 i i 年種植甜菜噸數(shù)N N 為第 i i 年種植糧食畝數(shù)(甜菜為200-M)200-M)Ci為第 i i 年總消費Cii為第 i i 年的固定投資Ci2為第 i i 年養(yǎng)牛固定費用G3G3 為第 i i 年種地固定消費a,為第 i i 年種地勞動力時長消費G5 為第 i i 年養(yǎng)奶牛勞動力時長消費心為第 i i 年年末還款數(shù)額W為第 i i 年總收益W為第 i i 年種地總收益Wi2賣幼牛和奶牛收益Wi3奶牛產(chǎn)奶收益CRi為第 i i 年凈利潤CRo為五年內(nèi)的總利潤M 貸款總額T 五年內(nèi)應還總錢數(shù)(也就是本息)

11、Mi第 i i 年年初貸款剩余錢五、模型的建立及求解5.1問題一的求解5.1.1模型準備(1)運籌學0-1規(guī)劃只取0或1的變量， 稱為0-1變量， 若純整數(shù)規(guī)劃決策的變量都是0-1變量， 則稱為0-1規(guī)劃。在討論線性規(guī)劃時，如果研究對象可以歸結(jié)為互相對立的兩種可能情況，那么引入0-1變量，就能夠?qū)⑺M一步化成0-1規(guī)劃。數(shù)學模型為0-1規(guī)劃的標準型：nMaxY八CjXjj=1JJnS.tajXjWji=1,2,.,m)jTXj=0,1.j=1,2,.,n如果0-1規(guī)劃模型不是標準型，總可以通過適當變換，使其化為標準型5.1.2方法一5.1.2.1模型的建立設每年出生留下來的小母牛為Li,每年年

12、初所飼養(yǎng)的小母牛1,成熟奶牛$2,可分別表示為S11=20+L1S21=L2+0.95(10+L1)S22=100.95+900.98=97.7S12=100S32=0.90Li+95.14S42=0.90L20.88L183.80S52=0.90L30.88L20.87L164.04年初奶牛分布表（單位：頭）年齡01234567891011第一年初10+L110.0010.0010.0010.0010.0010.0010,0010.0)10.0010.0010.00第二年初L20.95(10+L1)9.509.809.809.809.809.809.809.809.809.80第三年初L30

13、.95L20.95A2(10+L1)9.319.609.609.609.609.609.609.609.60第 四年初0.000.95L30.95A2L20.9A3(10+L1)9.129.419.419.419.419.419.419.41第五年初0.000.000.95A2L30.95A3L20.95A4(10+L1)8.949.229.229.229.229.229.22根據(jù)農(nóng)場主的想法我們知道要保持每年養(yǎng)的數(shù)量保持在（60210）即滿足5260.二一 Siu210i1u接下來我們計算賣掉的幼牛與奶牛的數(shù)量Ni1我們記為第i年賣的幼公牛數(shù)量，Ni2我們記為第i年賣的幼母牛數(shù)量Ni3我們記

14、為第i年末賣的奶牛數(shù)量則有如下關(guān)系：Ni1=S2M1.1M0.5=055Si2Ni2=Ni1_Li234_N13=0,N23=100.98,N33=100.98,N43=100.98,N53=100.980.98S52于是我們就可以求出第i年賣奶牛收益：W2=300Ni1+400Ni2+1200Ni3（1）我們知道幼牛與奶牛的分布，可以求出每年需要的糧食和甜菜數(shù)量Fn=0.4xSi1Fi3=0.6xSi2S31=0.95L2+L3S41=0.95L3S51=0用表格可表小為：Fi2=0.47S%=0.762已知需求的食物量，我們還想知道我們種植的糧食是否夠吃，當然不管是否夠吃我們都會把地種完，

15、根據(jù)前面假設Ni為第i年種植糧食畝數(shù)，故甜菜畝數(shù)為200-Ni。于是可以求出每年產(chǎn)的食物量分別為：Fi5(糧食)=0.9Ni,Ni0,則有 ai3=1;若 Ji20,并且 Ji30,則有 ai4=1;若 Ji2A0,并且 Ji30,則有 ai5=1;若 Ji20,則有 ai6=1.6并且、aik=1k=3(此時a=750,=500,厘=900,6=700)所有收益均以求出，我們算第i年總收益:3Wi=Wmm1每年年收益以及消費求出之后，我們求出第i年凈利潤表達式為:36CR=WmGnm1n1而我們文中最后說到消費的所有資金是從銀行借貸，利率為r=12%,作為農(nóng)場主我們肯定希望借的越少越好，也就

16、是說如果我們第一年利潤已經(jīng)足夠償還，我們可以不進行借貸.我們通過前面的分析已經(jīng)寫出第i年的凈利潤的表達式，但我們不知道凈利潤具體為多少，所以我們需要根據(jù)這些表達式進行一些處理，具體做法如下：MCRi_0,M1-C11-C12C13可以這樣理解，前i年通常情況下為負收益，故貸款數(shù)額應該保證把這些負收益足夠抵消，根據(jù)假設三，我們也不難理解第二個式子。上面的式子用到了Mi,而且題中也給出了貸款利率，還款方式，我們在前面也已經(jīng)假設了貸款數(shù)額，所以接下來我們很容易把文中的最后一個貸款問題分析出來，具體如下：Mi=M,Mi=M(1r)-C6(i=2,3,4,5)M5(1r)=0.2T5.1.2.2模型的求

17、解第一問已經(jīng)全部分析完畢，由于變量和等式很多，而且此問題屬于最優(yōu)化問題，并且第二問是敏感度問題，為了是模型簡單明了化，我們做出如下假設：假設一：假設奶牛每年年初出生，年末賣掉老奶牛，并且損失率都發(fā)生在年末假設二：假設年初的奶牛消耗食物，也就是說即使有部分奶牛中途死亡也消耗了食物假設三：先收益再還貸款錢，而且固定資產(chǎn)如：地皮錢，第一年買的牛的錢，種地錢，養(yǎng)牛的固定費用等這些消費設在年初，種地和養(yǎng)奶牛勞動力時長消費統(tǒng)一設在年末我們選擇利用lingo軟件求解，具體做法見附錄，這里我們只給出lingo運行結(jié)果如下：5.1.3方法4(一)目標函數(shù)：maxZ=(W/Cj)+叫，i=111(二)約束條件：50_一、Ni5*98%N15*95%175i衛(wèi)Noj一 0N