多元函數(shù)的極值及其求法

1、第十一講二元函數(shù)的極值要求：理解多元函數(shù)極值的概念，會(huì)用充分條件判定二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。問題提出：在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到多元函數(shù)的最大值，最小值問題，與一元函數(shù)相類似，多元函數(shù)的最大值，最小值與極大值，極小值有密切的關(guān)系，因此以二元函數(shù)為例，來討論多元函數(shù)的極值問題.一.二元函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(xo,y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)的所有(x,y)(xo,yo),如果總有f(x,y)f(x°,yo),則稱函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(xo,y°)處有極大值；如果總有f(x,y)f(xo,yo),則稱函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(xo

2、,yo)有極小值.函數(shù)的極大值，極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).例1.函數(shù)zxy在點(diǎn)(O,O)處不取得極值，因?yàn)樵邳c(diǎn)(O,O)處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn)(O,O)的任一鄰域內(nèi)總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)._22.一例2.函數(shù)z3x4y在點(diǎn)(O,O)處有極小值.因?yàn)閷?duì)任何(x,y)有f(x,y)f(O,O)O.從幾何上看，點(diǎn)(O,O,O)是開口朝上的橢圓拋物面z3x24y2的頂點(diǎn)，曲面在點(diǎn)(O,O,O)處有切平面zO,從而得到函數(shù)取得極值的必要條件.定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,yo)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(xo,yo)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為

3、零，即fx(xo,yo)O,fy(xo,yo)O.幾何解釋若函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,yo)取得極值z(mì)0,那么函數(shù)所表示的曲面在點(diǎn)(xo,yo,z°)處的切平面方程為zzofx(xo,yo)(xxo)fy(xo,yo)(yy°)是平行于xoy坐標(biāo)面的平面zzo.類似地有三元及三元以上函數(shù)的極值概念，對(duì)三元函數(shù)也有取得極值的必要條件為fx(xO,yO,zO)O,fy(xO,yO,zO)O,fz(xO,yO,zo)O說明上面的定理雖然沒有完全解決求極值的問題，但它明確指出找極值點(diǎn)的途徑，即fx(x0,y0)0只要解方程組,求得解(Xi,y1)，(X2,y2)(Xn,yn),

4、那么極值點(diǎn)必包fy(X0,y0)0含在其中，這些點(diǎn)稱為函數(shù)zf(x,y)的駐點(diǎn).注意1.駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如zxy在(0,0)點(diǎn).怎樣判別駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢？下面定理回答了這個(gè)問題.定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x°,y°)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0,令fxx(x0,y。)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y。)c,則(1)當(dāng)ACB20時(shí)，函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)取得極值，且當(dāng)A0時(shí)，有極大值f(x0,y0),當(dāng)A0時(shí)，有極小值f(x0,y°)；2(2)當(dāng)ACB0時(shí)，函

5、數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y°)沒有極值；(3)當(dāng)ACB20時(shí)，函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x°,y°)可能有極值，也可能沒有極值，還要另作討論.求函數(shù)zf(x,y)極值的步驟：(1)解方程組fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0,求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)(xi,yi),(x2,y2)(xn,yn);(2)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(為、)。1,2，n),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ),B,C;2(3)確定ACB的符號(hào)，按定理2的結(jié)論判定f(xi,y)是否是極值，是極大值還是極小值；(4)考察函數(shù)f(x,y)是否有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，若有加以判別是否為極值點(diǎn).例3.考察z版y2是

6、否有極值.解因?yàn)橐粃,x,y在x0,y0處導(dǎo)數(shù)不存在，但是對(duì)所xx2y2yx2y2有的(x,y)(0,0),均有f(x,y)f(0,0)0,所以函數(shù)在(0,0)點(diǎn)取得極大值.注意2.極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)，若對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言，怎樣?例4.求函數(shù)f(x,y)3322xy3x3y9x的極值.解先解方程組2fx3x6x902，求得駐點(diǎn)為(1,0),(1,2),(3,0),(3,2),fy3y6y0再求出二階偏導(dǎo)函數(shù)fxx6x6,fxy在點(diǎn)(1,0)處，ACB2126720,又A0,所以函數(shù)在點(diǎn)(1,0)處有極小值為f(1,0)5;在點(diǎn)(1,2)處，ACB2720,所以f(1,2)不是極值;在點(diǎn)(3,0)

7、處，ACB2720,所以f(3,0)不是極值;在點(diǎn)(3,2)處，ACB2720,又A0,所以函數(shù)在點(diǎn)(3,2)處有極大值為f(3,2)31.二.函數(shù)的最大值與最小值求最值方法：將函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的全部極值點(diǎn)求出;求出f(x,y)在D邊界上的最值；即分別求一元函數(shù)f(x,1(x),f(x,2(x)的最值；將這些點(diǎn)的函數(shù)值求出，并且互相比較，定出函數(shù)的最值.實(shí)際問題求最值根據(jù)問題的性質(zhì)，知道函數(shù)f(x,y)的最值一定在區(qū)域D的內(nèi)部取得，而函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x,y)在D上的最值.例4.求把一個(gè)正數(shù)a分成三個(gè)正數(shù)之和，并使它們的乘積為最大.解設(shè)x

8、,y分別為前兩個(gè)正數(shù)，第三個(gè)正數(shù)為axy,問題為求函數(shù)uxy(axy)在區(qū)域D:x0,y0,xya內(nèi)的最大值.因?yàn)閥(axy)xyy(a2xy),-x(a2yx),ya2xy0a斛方程組，得x,ya2yx03由實(shí)際問題可知，函數(shù)必在D內(nèi)取得最大值，而在區(qū)域D內(nèi)部只有唯一的駐點(diǎn)，則函數(shù)必在該點(diǎn)處取得最大值，即把a(bǔ)分成三等份，乘積(a)3最大.另外還可得出，若令zaxy,則海、3(Xyz、3U匹(3)(3)3xyz3xyz-.3三個(gè)數(shù)的幾何平均值不大于算術(shù)平均值.三.條件極值，拉格朗日乘數(shù)法.一.22.引例求函數(shù)zxy的極值.該問題就是求函數(shù)在它定義域內(nèi)的極值，前面求過在(0,0)取得極小值；若求

9、函數(shù)zx2y2在條件xy1下極值，這時(shí)自變量受到約束，不能在整個(gè)函數(shù)定義域上求極值，而只能在定義域的一部分xy1的直線上求極值，前者只要求變量在定義域內(nèi)變化，而沒有其他附加條件稱為無條件極值，后者自變量受到條件的約束，稱為條件極值.如何求條件極值？有時(shí)可把條件極值化為無條件極值，如上例從條件中解出y1x,222一一一2_2代入zxy中，得zx(1x)2x2x1成為一兀函數(shù)極值問題，令,口1111zx4x20,倚x,求出極值為z(,).2222但是在很多情形下，將條件極值化為無條件極值并不這樣簡單，我們另有一種直接尋求條件極值的方法，可不必先把問題化為無條件極值的問題，這就是下面介紹的拉格朗日乘

10、數(shù)法.利用一元函數(shù)取得極值的必要條件.求函數(shù)zf(x,y)在條件(x,y)0下取得極值的必要條件.若函數(shù)zf(x,y)在(x°,y°)取得所求的極值，那么首先有(x0,y0)0.假定在(x°,y°)的某一鄰域內(nèi)函數(shù)zf(x,y)與均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且y(x0,y0)0.有隱函數(shù)存在定理可知，方程(x,y)0確定一個(gè)單值可導(dǎo)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y(x),將其代入函數(shù)zf(x,y)中，得到一個(gè)變量的函數(shù)zf(x,(x)于是函數(shù)zf(x,y)在(X0,y0)取得所求的極值，也就是相當(dāng)于一元函數(shù)zf(x,(x)在xx0取得極值.由一元函數(shù)取得極值的必要條件知

11、道dz一、一、dy八fx(x0,y0)fy(x0,y0)丁。，dxxxodxxx0而方程(x,y)0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為dydxxx0x(x0,y°)y(x0,y°)將上式代入fx(x0,y0)fy(x0,y0*0中，得""口0。0)親資0，因此函數(shù)zf(x,y)在條彳(x,y)0下取得極值的必要條件為fx(x0,y。)fy(x0,y0)x(x0,y0)0y(x0,y°).(x0,y0)0為了計(jì)算方便起見，我們令fy(%,yO)y(x0,y°)'則上述必要條件變?yōu)閒x(x0,y°)x(x0,y0)0fy(x0,yO

12、)y(x0,y°)0,(A*)0容易看出，上式中的前兩式的左端正是函數(shù)F(x,y)f(x,y)(x,y)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在(x0,y°)的值，其中是一個(gè)待定常數(shù).拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)zf(x,y)在條彳(x,y)0下的可能的極值點(diǎn).構(gòu)成輔助函數(shù)F(x,y)f(x,y)(x,y),(為常數(shù))求函數(shù)F對(duì)x,對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，解方程組fx(x,y)x(x,y)0fy(x,y)y(x,y)0(x,y)0得x,y,其中x,y就是函數(shù)在條件(x,y)0下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)；如何確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？在實(shí)際問題中往往可根據(jù)實(shí)際問題本身的性質(zhì)來判定.拉格朗日乘數(shù)法推廣求函數(shù)uf(

13、x,y,z,t)在條彳(x,y,z,t)0,(x,y,z,t)0下的可能的極值點(diǎn).構(gòu)成輔助函數(shù)F(x,y,z,t)f(x,y,z,t)1(x,y,z,t)2(x,y,z,t)其中i,2為常數(shù)，求函數(shù)F對(duì)x,y,z的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，解方程組fx1x2x0fy1y2y0fz1z2z0ft1t2t0(x,y,z,t)0(x,y,z,t)0得x,y,z就是函數(shù)uf(x,y,z,t)在條彳(x,y,z,t)0,(x,y,z,t)0下的極值點(diǎn).注意：一般解方程組是通過前幾個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的方程找出x,y,z之間的關(guān)系，然后再將其代入到條件中，即可以求出可能的極值點(diǎn).例6.求表面積為a2而體積為最大的長方體的體

14、積.解設(shè)長方體的三棱長分別為x,y,z,則問題是在條件2(x,y,z)2xy2yz2xza0下，求函數(shù)vxyz(x0,y0,z0)的最大值.2構(gòu)成輔助函數(shù)F(x,y,z)xyz(2xy2yz2xza),求函數(shù)F對(duì)x,y,z偏導(dǎo)數(shù)，使其為0,得到方程組yz2(yz)0(1)xz2(xz)0(2)xy2(xy)0(3)2xy2yz2xza20(4)由,xxz得，由型，得-(1)yyz(2)zxz即有，x(yz)y(xz),xy，y(xz)z(xy),yz,可得xyz,將其代入方程2xy2yz2xza20中，得、.6xyza.6這是唯一可能的極值點(diǎn)，因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在，所以最大值就是在

15、這可6能的極值點(diǎn)處取得，即在表面積為a2的長方體中，以棱長為一6a的正萬體的體積為最大,66q取大體積為va.36例7.試在千面x2y2z24上求出與點(diǎn)(3,1,1)距離最近和最遠(yuǎn)的點(diǎn).解設(shè)M(x,y,z)為球面上任意一點(diǎn)，則到點(diǎn)(3,1,1)距離為d.(x3)2(y1)2(z1)2但是，如果考慮d2,則應(yīng)與d有相同的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，為了簡化運(yùn)算，故取f(x,y,z)d2(x3)2(y1)2(z1)2,又因?yàn)辄c(diǎn)M(x,y,z)在球面上，附加條件為(x,y,z)x2y2z240.構(gòu)成輔助函數(shù)F(x,y,z)(x3)2(y1)2(z1)2(x2y2z24).求函數(shù)F對(duì)x,y,z偏導(dǎo)數(shù)，使其為0,得到方程組2(x3)2x0(1)2(y1)2y0(