各種幾何形狀約束下的平拋運動

1、平拋運動是曲線運動的典型物理模型，其處理的方法是化曲為直，即平拋運動可分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，分運動和合運動具有獨立性、等時性和等效性的特點.縱觀近幾年的高考試題，平拋運動考點的題型大多不是單純考查平拋運動而是平拋運動與斜面、曲面相結(jié)合的問題，這類問題題型靈活多變，綜合性較強，既可考查基礎(chǔ)又可考查能力，因而受到命題專家的青睞，在歷年高考試題中屬高頻考點.解答平拋運動的問題，首先要掌握平拋運動的規(guī)律和特了時間t,還有是兩個重要參量圖1);二是位移與水平方向之間還滿足關(guān)系：tan0=2tan.能否尋找一定的幾何關(guān)系，建立點，同時也應(yīng)明確聯(lián)系平拋運動的兩個分運動數(shù)量關(guān)系

2、的橋梁:一是速度與水平方向之間的夾角0,其正切值tan0=Mvx(如間的夾角”，其正切值tan“=yx(如圖2).這兩個正切值之“平拋運動與斜面、曲面相結(jié)合的問題，命題者用意在于考查學(xué)生上述兩個角參量與幾何圖形中幾何角之間關(guān)系，或建立水平位移、豎直位移與曲線方程的函數(shù)關(guān)系，考查學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識；能夠從尋找這層關(guān)系上展開思維，也就找到了解決這類問題的鑰匙.分幾種情況進行討論和解析解決物理問題的能力.倘若學(xué)生.這類問題有多種題型，下面一.斜面約束下的平拋運動例5:在傾角為a的斜面上某點A,以水平速度vo拋出一物體，物體落在斜面上B點，如圖9所示，求：(1)物體在斜面運動的時間？(2)小球飛行多長時

3、間距離斜面最遠？最遠距離是多大？(空氣阻力不計，重力加速度為g)解析：方法一，構(gòu)造位移的矢量三角形，(1)如圖10所示，水平位移x,豎直位移y,得x=v0t1O-y=_gt2tan二=1x由得：t=2V0-：g(2)如圖11所示，離斜面最遠時末速度與斜面平行，構(gòu)造速度矢量三角形得:,vygttan上=VoVot=v0tan;g最遠距離d為:d=（xtan；-y）cos二2V0,2tancos2g方法二，如圖12所示沿斜面建立平面直角坐標系，把初速度和重力加速度投影到坐標軸上，分析兩坐標軸上的分運動；(1)小球在y軸的分運動做勻減速運動，由離開斜面到再次回到斜面列方程有:-v0sin<-v

4、0sin?-gcos：t陽2votan二行：t二g(2)由離開斜面到據(jù)斜面距離最遠處列方程有:2,、20-(v0sin)=-2gcosd2,v0，2-d=一tan二：cos.：2g點評：本題是建立做平拋運動的物體由斜面拋出落回斜面的模型，并讓同學(xué)們初步學(xué)會運用運動的不同分解方法(沿水平和豎直方向分解、沿斜面和垂直于斜面方向分解，也可沿初速度方向和重力方向分解)解決此類問題。例4:一水平拋出的小球落到一傾角為9的斜面上時，其速度方向與斜面垂直，運動軌跡如圖6所示，忽略空氣阻力，重力加速度為g；則小球在豎直方向下落的距離與在水平方向通過的距離之比為多少？解析：方法一，由于是垂直打在斜面上，由合速度

5、與分速度的關(guān)系，可構(gòu)造合速度與分速度中間的矢量三角形，得出兩分速度的關(guān)系如圖7所示，從而得解。x=v0t1O-y=_gt2由得：y:x=1:2tanitan二-v0"gt方法二，由末速度反向延長線過水平位移的中點如圖8所示，可得：1-xtan1一2yy:x=1:2tanf點評：通過斜面傾角構(gòu)造合速度與分速度的矢量三角形，建立各速度的關(guān)系，使問題得以解決；也可運用“平拋運動末速度反向延長線過水平位移的中點”此二級結(jié)論進行分析。10.橫截面為直角三角形的兩個相同斜面緊靠在一起，固定在水平面上，如圖8所示，它們的豎直邊長都是底邊長的一半，現(xiàn)有三個小球從左邊斜面的頂點以不同的初速度向右平拋，

6、最后落在斜面上，其落點分別是a、b、c.下列判斷正確的是()A.圖中三小球比較，落在a點的小球飛行時間最短B.圖中三小球比較，落在c點的小球飛行過程速度變化最大C.圖中三小球比較，落在c點的小球飛行過程速度變化最快D.無論小球拋出時初速度多大，落到兩個斜面上的瞬時速度都不可能與斜面垂直答案D解析題圖中三個小球均做平拋運動，可以看出a、b和c三個小球下落的高度關(guān)系為ha>hb>hc,由t=，彳導(dǎo)ta>tb>tc,又Av=gt,則知Ava>Avb>Avc,A、B項錯誤.速度變化快慢由加速度決定，因為aa=ab=ac=g,則知三個小球飛行過程中速度變化快慢相同，C

7、項錯誤.由題給條件可確定小球落在左邊斜面上的瞬時速度不可能垂直于左邊斜面，而對右邊斜面可假設(shè)小球初速度為v0時，其落到斜面上白瞬時速度v與斜面垂直，將v沿水平方向和豎直方向分解，則vx=v°,vy=gt,且需滿足/=蔗=tan6(。為右側(cè)斜面傾角),由幾何關(guān)系可知tan0=2,則丫。=，而豎直位移y=gt2,水平位移x=v0t=2gt2,可以看出x=y,而由題圖可知這一關(guān)系不可能存在，則假設(shè)不能成立，D項正確.二.臺階約束下的平拋運動的臨界和極值問題例7如圖21所示，小球自樓梯頂?shù)钠脚_上以水平速度v0做平拋運動，所有階梯的高度為0.20m,寬度為0.40m,重力加速度g取10m/s2

8、第1級2期繳鄉(xiāng)第微個圖21(1)求小球拋出后能直接打到第1級階梯上v。的范圍；(2)求小球拋出后能直接打到第2級階梯上v0的范圍；(3)若小千以10.4m/s的速度水平拋出，則小球直接打到第幾級階梯上？答案(1)0<v0w2m/s(2)2m/s<v0w2,2m/s(3)282解析(1)運動情況如圖甲所示，根據(jù)題意及平拋運動規(guī)律有h=gj,x=voti,可得vo=2m/s,故直接打到第1級階梯上v0的范圍是0<v0<2m/s.第蝎甲(2)運動情況如圖乙所示，根據(jù)題意及平拋運動規(guī)律有2h=g2，2x=vot2,可得vo=272m/s,故直接打到第2級階梯上vo的范圍是2m/

9、s<vo<2小m/s(3)同理推知，直接打到第3級階才vo的范圍是2也m/s<v°w2V3m/s直接打到第n級階梯上v0的范圍是2，n1m/s<v產(chǎn)2乖m/s設(shè)能直接打到第n級階梯上，有2yjn-1<10.4W27n解得27.04<n<28.04,故能直接打到第28級階梯上.二、擋板約束(一)水平擋板約束、1. “套圈圈”是老少皆宜的游戲，如圖1,大人和小孩在同一豎直線上的不同高度處分別以水平速度v1、v2拋出鐵圈，都能套中地面上同一目標。設(shè)鐵圈在空中運動時間分別為3t2,則()圖1A.v1=v2B.v1>v2C.t1=t2D.t1&g

10、t;t2解析根據(jù)平拋運動的規(guī)律h=2gt2知，運動的時間由下落的高度決定，故t1>t2,所以C錯誤，D正確；由題圖知，兩圈水平位移相同，再根據(jù)x=vt,可得：vi<v2,故A、B錯誤。答案D（二）豎直擋板約束做平拋運動的物體拋在平面上。常見有飛機投彈模型，子彈打靶模型，打乒乓球模型，打網(wǎng)球模型等。變式6（2015新課標全國I18）一帶有乒乓球發(fā)射機的乒乓球臺如圖22所示.水平臺面的長和寬分別為L/口L2,中間球網(wǎng)高度為h.發(fā)射機安裝于臺面左側(cè)邊緣的中點，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點距臺面高度為3h.不計空氣的作用，重力加速度大小為g.若乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍

11、內(nèi)，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺面上，則v的最大取值范圍是（）答案D圖22解析發(fā)射機無論向哪個方向水平發(fā)射，乒乓球都做平拋運動.當速度v最小時，球沿中線恰好過網(wǎng)，有:L1、2-vitig、，一、LL1聯(lián)立兩式，得v；14當速度v最大時，球斜向右側(cè)臺面兩個角發(fā)射，有聯(lián)立兩式，得V2=4Li+L2g6h八L1所以使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺面上，v的最大取值范圍為422(4旦薩g選項d正6hh<V<確.例1:一架飛機水平地勻速飛行.從飛機上每隔1s釋放一個鐵球，先后共釋放4個.若不計空氣阻力，從飛機上觀察4個球()A.在空中任何時刻總是排成拋物線，它們的落地點是等間距的B.

12、在空中任何時刻總是排成拋物線，它們的落地點是不等間距的C.在空中任何時刻總是在飛機正下方排成豎直的直線，它們的落地點是等間距的D.在空中任何時刻總是在飛機正下方排成豎直的直線，它們的落地點是不等間距的點評：建立飛機投彈模型，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，也鞏固了學(xué)生對平拋運動的深刻理解；答案：C例2:如圖1所示，排球場的長為18m,網(wǎng)高2m,運動員站在離網(wǎng)3m遠的線上，正對網(wǎng)前豎直跳起，把球垂直于網(wǎng)水平擊出，忽略空氣阻力，重力加速度為g0(1)射擊球點的高度為2.5m,問球被水平擊出時的速度在什么范圍內(nèi)才能使球既不觸網(wǎng)也不出界？(2)若擊球點的高度小于某個值,那么無論球被水平擊出時的速度為多大，球不

13、是觸網(wǎng)就是出界，試求出此高3ml解析：(1)要球不出界，水平位移不能超過12m,要/不觸網(wǎng)，水平位移應(yīng)大于3m,運動草圖如圖2所示：/，小，fx1=Vot11r.二&H18m圖1,12Ghgt12X2=Vot212fh2=gt22其中x=12m,%=2.5m,x2=3m,h2=0.5m;由并代入數(shù)據(jù)得:v0=17m/s,v0=9.5m/s因此要球既不觸網(wǎng)又不出界，有：9.5m/s<v0<17m/s(2)運動軌跡剛好過網(wǎng)的最高點和邊界點時球的高度為臨界高度，如圖3所示:V0圖3Xi=V0tih=-112®2X2v0t2CZ)12Gh-2=-gt2其中x1=12m,x

14、2=3m;由并代入數(shù)據(jù)得:h=2.13m.點評：通過分析這個問題，讓同學(xué)們熟悉有關(guān)臨界問題的狀態(tài)模型在物理中的運用。例3:拋體運動在各類體育運動項目中很常見，如乒乓球運動。現(xiàn)討論乒乓球發(fā)球問題。設(shè)球臺長2L、網(wǎng)高h,乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力(設(shè)重力加速度為g)0(1)若球在球臺邊緣O點正上方高度為h1處以速度V1水平發(fā)出，落在球臺的R點(如圖4實線所示)，求P1點距O點的距離x;(2)若球在0點正上方以速度V2水平發(fā)出后，恰好在最高點時越過球網(wǎng)落在球臺的P2點(如圖4虛線所示)，求V2的大??；(3)若球在O點正上方水平發(fā)出后，球

15、經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對方球臺邊緣P3處，求發(fā)球點距0點的高度h3o解析：(1)由分運動之間的獨立性與等時性可得：(2)由所給條件知整個軌跡可分為三段對稱軌跡，因此整個運動可等效為三段相同的平拋運動過程，由此可得：12ch2gt22V222h其中h2=h,X2=L/2;由并代入已知量得:(3)如圖5所示，借助第(2)問的思維方法可得：x3=V3t312八h3=-t32x4=v3t"12Gh3-h=3gt4，一，2其中x3=2L/3,X4=L-L=L/3;由并代入已知量得：3h4hh3h3點評：本題主要通過軌跡的對稱性及等效平拋運動的思維模型進行解決問題，使復(fù)雜問題變得簡單化。做

16、平拋運動的物體拋在豎直面上。例9:在同一平臺上的0點拋出的三個物體，做平拋運動的軌跡如圖16所示，忽略空氣阻力，比較三次所用時間的大小及初速度的大??？解析：時間分析參考例8得，tA>tB>teOe一f任三：-=一c由于水平包移相同，由V0=一分析可得，VA<VB<VC。、口tBIA圖16（三）三雙豎直擋板約束8、如圖示，從一根內(nèi)壁光滑的空心豎直鋼管A的上端邊緣，沿直徑方向向管內(nèi)水平拋入一鋼球.球與管壁多次相碰后落地（球與管壁相碰時間不計），若換一根等高但較粗的內(nèi)壁光滑的鋼管B,用同樣的方法拋入此鋼球，則運動時間（）A.在A管中的球運動時間長映，B.在B管中的球運動時間長

17、C.在兩管中的球運動時間一樣長4D.無法確定擴展：初速度為，高度為，水平距離為，落地時碰撞了多少次?三.拋物線擋板約束例7:一質(zhì)量為m的物體以速度V0沿水平方向拋出打在拋物面上。如圖14所示，建立O點為原點坐標系Oxy。已知拋出點到0點距離為h,坡面的拋物線方程為y=x2/h,忽略空氣阻力，重力加速度為g。求落到拋物面所用時間及速度？解析：x=v0ty，=1gt222h-y=jhv=v'v2+(gt)22gh2v2v"2g”,gh2V0由聯(lián)立得:點評：運用平拋運動的知識結(jié)合拋物線（也可是橢圓曲線）的關(guān)系從而使問題得以解決。四.圓周約束例題三、如圖，水平地面上有一個坑，其豎直截

18、面為半圓，ab為沿水平方向的直徑。若在a點以初速度vo沿ab方向拋出一小球，小球會擊中坑壁上的c點。已知c點與水平直徑的距離為圓半徑的一般，求圓的直徑。分析：既然平拋運動是在圓周的約束下發(fā)生的，那么我們就要充分的利用圓周的幾何特點，去尋找?guī)缀侮P(guān)系，這是解決圓周約束下的平拋的關(guān)鍵。圖13例6:如圖13所示小球平拋在圓面內(nèi)，已知小球下落高度為h,圓的半徑為R,求小球的初速度？（忽略空氣阻力，重力加速度為g）解析：x=R+dR2-h2d1 2-h=-gt2Vo=：由得：Vo=(RR2h2).g2h點評：抓住時間由下落高度決定這一規(guī)律，由半徑入手通過幾何關(guān)系，結(jié)合分運動的等時性原理即可求出初速度。2、如圖所示，在豎直放置的半圓形容器的中心O點分別以水平初%出速度vi、V2拋出兩個小球（可視為質(zhì)點），最終它們分別落在圓弧/上的A點和B點，已知OA與OB互相垂直，且OA與豎直方向入Vi,成a角，則兩小球初速度之比一為V2A.tanaB.cosaC.tana/tanaD.cosccosa答案C1.2v=v2t2,Fsina=2gt2,，一，一Vi解四式可得：一解析兩小球被拋出后都做平拋運動，設(shè)容器半徑為R兩小球運動時間分別為ti、t2,對A1.2球：Rsina=Viti,Rcosa=2gti；對B球：FCos=tanayan一膜,C項正確.五.做平拋運動的物體拋在一般