圓錐曲線求最值方法總結(jié)及典型例題

1、圓錐曲線最值問題一5大方面最值問題是圓錐曲線中的典型問題，它是教學(xué)的重點也是歷年高考的熱點。解決這類問題不僅要緊緊把握圓錐曲線的定義，而且要善于綜合應(yīng)用代數(shù)、平幾、三角等相關(guān)知識。以下從五個方面予以闡述。.求距離的最值B、M準(zhǔn)+>4例1.設(shè)AB為拋物線y=x2的一條弦，若AB=4,則AB的中點M至U直線y+1=0的最短距離解析：拋物線y=x2的焦點為F(0,1)，準(zhǔn)線為y=1,過A、441線y=的垂線，垂足分別是Ai、Bi、Mi,4則所求的距離d=MMi+3=-(AAi+BBi)+3=1(AF+BF)42421ab+3=1x4+3=2424ii當(dāng)且僅當(dāng)弦AB過焦點F時，d取最小值4評注：

2、靈活運用拋物線的定義和性質(zhì)，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識，使解題簡潔明快，得心應(yīng)手。.求角的最值.x2例2.M,N分別是橢圓一42i的左、右焦點，I是橢圓的一條準(zhǔn)線，點P在I上，則/2MPN的最大值是解析：不妨設(shè)I為橢圓的右準(zhǔn)線，其方程是x2<2，點P(2%'；2,y0)(y00),直線PM和PN傾斜角分別為和.M(2,0),N(2,0)kpMtany00222y°,kPN32tanV。0222V。2y0y0于是tanMPNtan()tantan_£23、21tantany0y01、23、222y0222236y26263y0V。MPNQ)2MPN即/MPN的最大值

3、為一.66評注：審題時要注意把握/MPN與PM和PN的傾斜角之間的內(nèi)在聯(lián)系.三、求幾何特征量代數(shù)和的最值2例3.點M和F分別是橢圓252y-1上的動點和右焦點，定點B(2,2).求|MF|+|MB|的最小值.95求一|MF|+|MB|的最小值.4解析：易知橢圓右焦點為F(4,0),左焦點F'(-4,0),離心率|MF|+|MB|=10一|MF'|+|MB|=10(|MF'|一|MB|)>故當(dāng)M,B,F'三點共線時，|MF|+|MB|取最小值10-2710.過動點M作右準(zhǔn)線*=空的垂線，垂足為H,4則明|MH|Hn174|MH|MF|.5曰5是一|MF|+|

4、MB|=|MH|+|MB|>|HB|=4可見，當(dāng)且僅當(dāng)點B、M、H共線時，5|MF|+|MB|取最小值17.44評注：從橢圓的定義出發(fā)，將問題轉(zhuǎn)化為平幾中的問題，利用三角形三邊所滿足的基本關(guān)系,是解決此類問題的常見思路。2例4.點P為雙曲線y21的右支上一點，M,N分別為(x晌之y21和4(xJ5)2y21上的點，則PMPN的最大值為.解析：顯然兩已知圓的圓心分別為雙曲線的左焦點F1(J5,0)和右焦點F2(5,0).對于雙曲線右支上每一個確定的點P,連結(jié)PFi,并延長pfi交OFiPNo為適合條件的最小的PN.于是于點Mo.則PM0為適合條件的最大的PM,連結(jié)PF2,交。F2于點No.

5、PMPNPM0PN0(PR1)(PF21)(PRPF>)2426故PMPN的最大值為6.評注：仔細(xì)審題，合理應(yīng)用平面幾何知識,溝通條件與所求結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，是解決本題的關(guān)鍵.例5.已知01,e2分別是共軻雙曲線2x-2a2yr1的離心率，則01+02的最小值b2解析:2012,2ab2ab22，a202b22(e02)2401022a)b"2a2)4228b2考慮到61020,故得0102即01+02的最小值為2冊.評注：解題關(guān)鍵在于對圓錐曲線性質(zhì)的準(zhǔn)確理解,并注意基本不等式等代數(shù)知識的合理應(yīng)用四、求面積的最值FG/3,0)的距離之比為例6.已知平面內(nèi)的一個動點P到直線l：x4

6、3的距離與到定點32、311、，點A(1,),設(shè)動點P的軌跡為曲線C.32求曲線C的方程;過原點O的直線l與曲線C交于M,N兩點.求MAN面積的最大值.解析：設(shè)動點P至山的距離為d,由題意PF弓根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義，點P的軌跡C為橢圓.3,e-32可得a2,b2a2c2故橢圓C的方程為:若直線l存在斜率,設(shè)其方程為kx,l與橢圓C的交點M(x1,y1),N(x2,y2)2x2將y=kx代入橢圓C的萬程y1并整理得(14k2)x240Xix20,XiX24714k2是|MN|,(1k2)(XiX2)2.(1k2)(XiX2)24x1X2(1k2)1164k24上1k214k2又點A到直線l的距離

7、1|k2|.1k21故MAN的面積S-|MN|2從而s2_2(2k1)14k14k214k2當(dāng)k=0時，S2=1得S=1當(dāng)k>0時，S2<1得S<1244_當(dāng)k<0時，S1-112得S72(1)(4k)24k若直線1不存在斜率,1八,則MN即為橢圓C的短軸，所以MN=2.于是MAN的面積S-2121.綜上，MAN的最大值為J2.評注：本題將MAN的面積表不'為1的斜率k的函數(shù)，其過程涉及弦長公式和點到直線距離等解析幾何的基礎(chǔ)知識，在處理所得的面積函數(shù)時，運用了分類討論的思想方法。當(dāng)然，也可以將該面積函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元二次方程，由0求得面積S的最大值。五.求最

8、值條件下的曲線方程例7.已知橢圓的焦點F1(一3,0)、F2(3,0)且與直線xy+9=0有公共點，求其中長軸最短的橢圓方程.22解法1:設(shè)橢圓為W=1與直線方程x-y+9=0聯(lián)立并消去y得：aa9(2a29)x2+18a2x+90a2a4=0,由題設(shè)=(18a2)24(2a29)(90a2-a4)>0a454a2+405>0a2>45或a2W9.a29>0,-1a2>45,故amin=375,得(2a)min=6V5,22此時橢圓方程為匕1453622解法2：設(shè)橢圓、2=1與直線xy+9=0的公共點為M(acosa,Va29sin),aa9則acosa<'a29sin+9=0有解.2a29cos()=9cos(+)=-9,/.|一9一i2a292a29V2a29>9a2>45,amin=35,得(2a)min=655,22此時橢圓的方程上匕1.4536解法3:先求得Fi(-3,0)關(guān)于直線x-y+9=0的對稱點F(-9,6),設(shè)直線xy+9=0與橢圓的一個交點為M,貝U2a=|MF1|+|MF2|=|MF|+|MF2|>|FF2|=65,于是(2a)min=65,此時易得：a2=45,b2=36,22于是橢圓的方程為821.4536評注：本題分別從代數(shù)、三角、幾何三種途徑尋求解決。由不同角度進(jìn)行分析和處理