廣東2020年全國(guó)卷適應(yīng)性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題含答案

1、適應(yīng)性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)、選擇題：本大題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合x(chóng)x24x30,Bx2x1,則AIA.3,1B.(,3U1,0)C.(,3)U(1,0D.(,0),3U1,),B,0)，AIB(,3U1,0).2.若z(a柩a(bǔ)i為純虛數(shù)，其中R,則7i1aiC.i【解析】z為純虛數(shù)，ai7.2i(.2i)(12i)1ai1.2i(1、2i)(1、2i)3j33.設(shè)&為數(shù)列an的前n項(xiàng)的和，且Sn|(an*1)(nN),則anA.3(3n2n)3nD.2n1a1Sia1a2|(a12(a21)1)經(jīng)代入選項(xiàng)檢驗(yàn)，只有C符

2、合.4.執(zhí)行如圖的程序框圖,如果輸入的a1N100,則輸出的xA.0.95C.0.99【答案】CB.D.0.981.00【解析】x(i212,113411)34199100(-)991001x=x+n(n+1)n=n+1991005.三角函數(shù)f（x）sin（2x）cos2x的振幅和最小正周期分別是（6B.居C.2,一2【解析】f(x)sincos2xcossin2xcos2x3cos22x66-sin2x3(cos2x1sin2x)222Qcos（2x）,故選B.6.一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（A.12C.4【答案】DB.6D.2正四棱錐二一231(2+1)22.27.設(shè)

3、p、q是兩個(gè)命題,若（pq）是真命題,那么（）A.B.C.D.p是真命題且q是假命題p是真命題且q是真命題p是假命題且q是真命題p是假命題且q是假命題【答案】D8.從一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的中心、各邊中點(diǎn)及三個(gè)頂點(diǎn)這7個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn),離小于1的概率是（）1A.7【答案】A【解析】?jī)牲c(diǎn)間的距離小于D.則這兩點(diǎn)間的距671共有3種情況,分別為中心到三個(gè)中點(diǎn)的情況,故兩點(diǎn)間的距離小于1的概率P3C29.已知平面向量a、|b|(a2b),則|ab|A.0B.<2C.2D.【答案】D【解析】一a12-a2(a12b),a(a2b)0,|ab|(ab)2、a22abb2122；12、3.,210

4、.(x2x)6的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是(5A.一4【答案】5B.4C.151615D.16【解析】1C6(x2)6r1r1rr12()(-)C6x2x23r,令123r4.常數(shù)項(xiàng)為144(2)C6151611.(廣東適應(yīng))已知雙曲線的頂點(diǎn)為橢圓1長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，且雙曲線的離心率與橢圓的離心率的乘積等于1,則雙曲線的方程是(22.A. xy122.B. yx1C.22D.yx【解析】橢圓的端點(diǎn)為(0,J2),離心率為-2，雙曲線的離心率為272,夜，故選D.依題意雙曲線的實(shí)半軸a72,.c2,b12.如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)于任意x1x2,者B有x1f(x1)x2f(x2)xf誨)X2f(X

5、1),則稱(chēng)f(x)為“H函數(shù)下列函數(shù)：yy3x2(sinxcosx)；ln|x|x0，其中H函數(shù)”的個(gè)數(shù)是(0【解析】一,(XiB.C.2D.1Xif(x1)x2f(x2)Xif(x2)x2f(Xi),x2)f(x1)f(x2)0,f(x)在R上單調(diào)遞增.0,不符合條件;2)y32(cosx+sinx)=3272sin(x)0,符合條件;4ex0,符合條件;fx在(，0)單調(diào)遞減，不符合條件;綜上所述，其中H函數(shù)”是.、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.13.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件的取值范圍是.2xy2xy1,若目標(biāo)函數(shù)z2xay僅在點(diǎn)（3,4）取得最小值，則axy1【解析】

6、不等式組表示的平面區(qū)域的角點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,0),B(0,1),C(3,4),【答案】（,2）Za2,Zba,zc64a.2.64a64a14.已知雙曲線x216y2萬(wàn)了1的左焦點(diǎn)在拋物線y22Px的準(zhǔn)線上，則p【答案】42【解析】3p-（R）2,p4.162215.已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，且對(duì)任意nn，均有aS-an成等差數(shù)列,【答案】n【解析】:an,Sn,a2成等差數(shù)列，2Snana；當(dāng)n1時(shí)，2al2一一2sla1a1又a10a11當(dāng)n2時(shí)，2an2(SnSn1)an2anan21an1，(a2an1)(anan1)0,.(anan1)(anan1)(anan1

7、)0,1,又anan10,anan1an是等差數(shù)列，其公差為1,*、-a11,ann(nN).16.已知函數(shù)f(x)的定義域R,直線x1和x2是曲線yf(x)的對(duì)稱(chēng)軸，且f(0)f(4)f(10).【答案】2【解析】直線x1和x2是曲線yf(x)的對(duì)稱(chēng)軸,f(2x)f(x),f(4x)f(x),f(2x)f(4x),yf(x)的周期T2.f(4)f(10)f(0)f(0)2.三、解答題：解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.17.(本小題滿分12分)已知頂點(diǎn)在單位圓上的ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且2acosAccosBbcosC.(1) cosA的值；(2)若b22-bc

8、bca431,c24,求ABC的面積.【解析】(1)2acosAccosBbcosC,2sinAcosAsinCcosBsinBcosC, 1-2sinAcosAsin(BC),ABC,sin(BC)sinA, .2sinAcosAsinA. 0A，一sinA0,1-2cosA1,.cosA-.2(2)由cosA由a2,得a2sinA也.sinA2.22.一SABC-bcsinA213122,34abc2bccosA,18.(本小題滿分12分)某單位共有10名員工，他們某年的收入如下表:員工編號(hào)12345678910年薪(萬(wàn)兀)33.5455.56.577.5850(1)求該單位員工當(dāng)年年薪的

9、平均值和中位數(shù)；(2)從該單位中任取2人，此2人中年薪收入高于5萬(wàn)的人數(shù)記為，求的分布列和期望;3萬(wàn)元、(3)已知員工年薪收入與工作年限成正相關(guān)關(guān)系，某員工工作第一年至第四年的年薪分別為4.5萬(wàn)元、5.6萬(wàn)元、7.2萬(wàn)元，預(yù)測(cè)該員工第五年的年薪為多少？附：線性回歸方程?故臺(tái)中系數(shù)計(jì)算公式分別為：n(xx)(yiy)_$,?yx,其中x、y為樣本均值.(Xix)2i1【解析】(1)平均值為10萬(wàn)元，中位數(shù)為6萬(wàn)元.(2)年薪高于5萬(wàn)的有6人，低于或等于5萬(wàn)的有4人;取值為0,1,2.P(0)15P(1)Cw15P(2)C2C120的分布列為012281P151532d8。16E()012-.15

10、1535(3)設(shè)x”(i1,2,3,4)分別表示工作年限及相應(yīng)年薪，則x2.5,y5,n_,-、2_(xix)2.250.250.252.255,i14_(xix)(yiy)1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.61.52.27,i1n_(xix)(yiy)7_$-1.4,9yb?x51.42.51.5,n/_、25(xix)i1由線性回歸方程為y1.4x1.5.可預(yù)測(cè)該員工年后的年薪收入為8.5萬(wàn)元.19.(本小題滿分12分)如圖，在直二面角EABC中，四邊形ABEF是矩形,AB2,AF2J3,ABC是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)(1)證明：FB面PACP是線段BF上的一點(diǎn)，PF3

11、.(2)求異面直線PC與AB所成角的余弦值.【解析】(1)證明：以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,則A(0,0,0),B(2,0,0)，C(0,2,0),F(0,0,2肉,BFAB2AF24,PF3,uuuFB(2,0,2、3),uuurAC(0,2,0)uuuAP33(-,0,22)uuuFBuuurACuuuFBuuuAC.uuuFBuuurAPuuuFBuurAP.FBFBAC,平面FBAPC.AP,ACIAPuuu(2).AB(2,0,0)umrPC(2,2,uuuuuiu記AB與PC夾角為cos|=uuruur_ABPC33.7uuriiiuri.PC2.714AB【方法2】（1

12、）FB4，cosPFAcosBFA,32(2)過(guò)PM/AB,PN/AF,分別交PA.'PF2FA22PFFAcosPFAJ912232氐73/2卮_22_-_2 PAPF3912AF, .PABF.平面ABEF平面ABC,平面ABEFI平面ABCAB,ABAC,AC平面ABC, AC平面ABEF. BF平面ABEF,ACBF. PAIACA,BF平面PAC.MPC的補(bǔ)角為PC與AB所成的角.連接33PNMB,AN22NC.AN2AC25,BC2.2,2PC.PN2NC2,7,MCMBBC2T'cosMPC1357443273714.異面直線PC與AB所成的角的余弦值為3.714

13、20.(本小題滿分12分)2已知拋物線C：y4x,過(guò)其焦點(diǎn)F作兩條相互垂直且不平行于X軸的直線，分別交拋物線C于點(diǎn)Pl、P2和點(diǎn)P3、P4,線段P1P2、P3P4的中點(diǎn)分別為Mi、M2.(1)求FM1M2面積的最小值;(2)求線段M1M2的中點(diǎn)P滿足的方程.(1)由題設(shè)條件得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),設(shè)直線PB的方程為yk(x1),k0.yk(x1)2y4x2(2k2*)2得k2x24k2k22(216(1k2)xk2k2)0._22(2k)k2設(shè)P(x1，y)，F(xiàn)2(x2,y)，則X%2x1x22kxM1-72設(shè)M1(xm1,yM1),則2k.yM1k(xm11)-k122cxk_2ky2(y

14、M1yM2)2(k2k)k-xM212k類(lèi)似地，設(shè)M2(xM2,yM2),則k2yM212kkIFM1I.(1T)2(-)2-2;1k2.kkkIFM21,(2k2)2(2k)22|k|、1k2,11因此SFM1M22IFM1I|FM2|2(渴|k|).1_c，,Ik|2,Sfm1M2線段M1M2的中點(diǎn)P滿足的方程為y2x3.,|k|1時(shí)，Sfm1M2取到最小值4.，1r,當(dāng)且僅當(dāng)|k|,即k|k|(2)設(shè)線段M1M2的中點(diǎn)P(x,y),由(1)得1k21 12oox(xmixm2)一(22k)1k,、1,2.12 22k221.(本小題滿分12分)12.設(shè)函數(shù)f(x)-xlnxmx(m0).

15、2(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)證明:曲線yf(x)沒(méi)有經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線.【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,)，f(x)2xmx1令f(x)當(dāng)當(dāng)0,2m2mxi得x2mx140,即040,即mm24"2'x20.m2時(shí),2時(shí)，由f(x)2xmx0,12，且0f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增.0解得在區(qū)間(0,x1)及(x2,f(x)在區(qū)間(0,X)及(x2,)內(nèi)，f(x)0,在(xi,x2)內(nèi)，f(x)0,)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2)由(1)可知，當(dāng)0m2時(shí)，f(x)在(0,1.一又f(x)x(x2m)lnx,，當(dāng)0x2(為？2)內(nèi)單調(diào)遞減.)內(nèi)單調(diào)遞

16、增，f(x)最多只有一個(gè)零點(diǎn).2m且x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)x2m且x1時(shí)，f(x)0,故f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)m2時(shí)，f(x)在(0,x1)及(x2,)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x，x2)內(nèi)單調(diào)遞減,1m.m42且f(x1)t(；)22m2mm242,m.m24In2m.m24In,2m(m2m而m22m.m44)22cmm2-°，2),f(x1)0,由此知f(x2)f(x1)0,)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).又.當(dāng)x2m且x1時(shí)，f(x)0,故f(x)在(0,綜上所述，當(dāng)m0時(shí)，f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).(3)假設(shè)曲線yf(x)在點(diǎn)(x,f(x)(x0)處的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),12-xInxmxf(

17、x),即2xx化簡(jiǎn)得:記g(x)x212-xInx10(x0).(*)Inx令g(x)20,解得x1時(shí),g(x)1(x0),則g(x)x21x1時(shí)，g(x)0,g(1)3是g(x)的最小值，即當(dāng)1x0時(shí)，一x2由此說(shuō)明方程(*)無(wú)解，曲線yf(x)沒(méi)有經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線.BC,垂足為D,AbAf,BF與AD、AO分別交于點(diǎn)E、請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清楚題號(hào).22.(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講如圖所示，BC是半圓O的直徑，ADG.(1)證明：DAOFBC;(2)證明：AEBE.【解析】（1）連接FC,OF,AbAf,obo

18、f,點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)，OGBF.BC是eO的直徑，CFBF.OG/CF.AOBFCB,DAO90AOB,FBC90FCB,DAOFBC.（2）在RtOAD與RtOBG中，由（1）知DAOGBO,又OAOB,OADOBG,于是ODOG.AGOAOGOBODBD.在RtAGE與RtBDE中，由于DAOFBC,AGBD,AGEBDE,AEBE.23.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線l的傾斜角為45°.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極坐標(biāo)建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為sin22cos，直線l和曲線C的交點(diǎn)為A,B.(1)求直線l的參數(shù)方程；(2)求|PA|PB|.【解析】(1).直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2),且傾斜角為直線l的參數(shù)方程為tcos4502tsin45°(t為參數(shù))，即直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).2sin2cossin)2cosx,si