拋物線中兩線段的和最小問(wèn)題及差最大問(wèn)題

1、精品文檔拋物線中兩線段和最小問(wèn)題(及差最大問(wèn)題)(已整理A4)1.(2012湖北恩施8分)如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與一直線相交于A(-1,0),C(2,3)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N,其頂點(diǎn)為D.(1)拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)M(3,m),求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；(3)若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線AC相交于點(diǎn)B,E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF/BD交拋物線于點(diǎn)F,以B,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求APC的面積的最大值.1一,一2.(2012湖北黃岡14分)如圖

2、，已知拋物線的萬(wàn)程CI：y一x2(xm)m0與x軸m相交于點(diǎn)B、C,與y軸相交于點(diǎn)E,且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè).(1)若拋物線CI過(guò)點(diǎn)M(2,2),求實(shí)數(shù)m的值.(2)在(1)的條件下，求BCE的面積.(3)在(1)的條件下，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)H,使BH+EH最小，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo).(4)在第四象限內(nèi)，拋物線CI上是否存在點(diǎn)F,使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.精品文檔3(2012湖南郴州10分)如圖，已知拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)A(4,0),B(2,3),C(0,3)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式及對(duì)稱(chēng)軸.(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)M,使

3、得MA+MB的值最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo).(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.4.(2012四川自貢14分)如圖， 拋物線l交x軸于點(diǎn)A(-3,0)、B(1,0),交y軸于點(diǎn)C(0,-3).將拋物線l沿y軸翻折得拋物線11.(1)求11的解析式；(2)在11的對(duì)稱(chēng)軸上找出點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1及C兩點(diǎn)的距離差最大，并說(shuō)出理由；(3)平行于x軸的一條直線交拋物線11于E、F兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓恰與x軸相切，求此圓的半徑.精品文檔1,（2012湖北恩施8分）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次

4、函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式。（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N,當(dāng)M（3,m）在直線DN上時(shí)，MN+MD的值最小。（3）分BD為平行四邊形對(duì)角線和BD為平行四邊形邊兩種情況討論。（4）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ，x軸交AC于點(diǎn)Q;過(guò)點(diǎn)C作CG，x軸于點(diǎn)G,設(shè)Q（x,x+1）,則P（x,x2+2x+3）,求得線段PQ=x2+x+2o由圖示以及三角形的面積公式知SAPCSAPQ+SCPQ,由二次函數(shù)的最值的求法可知APC的面積的最大值解：（1）由拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(1,0)及C(2,3)得,1b+c=04+2b+c=3解彳導(dǎo)b=2。：拋物線的函數(shù)關(guān)系式為c=3

5、x22x3。設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+n,由直線AC過(guò)點(diǎn)A(-1,0)及C(2,3)得k+n=02k+n=3k=1n=1直線AC(2)作N的函數(shù)關(guān)系式為點(diǎn)關(guān)于直線x=3y=x+1。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，N(0,3)。N(6,3)由y2x3=4）。設(shè)直線DN的函數(shù)關(guān)系式為y=sx+t,則6s+t=3s+t=4,解得s=t=1。：故直線DN的函數(shù)關(guān)系式為v5y215215根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，知當(dāng)M（3,m）在直線DN上時(shí)，MN+MD的值最小,的值最小時(shí)m的值為18_。(3)由(1)、(2)得D(1,4),B2),當(dāng)BD為平行四邊形對(duì)角線時(shí),由B、C、D、N的坐標(biāo)知，四邊形BCDN是平行

6、四邊形，止匕時(shí),占八、 、E與點(diǎn)C重合，即E(2, 3)。當(dāng)BD為平行四邊形邊時(shí),.點(diǎn)E在直線AC上，：設(shè)E(x,x+1),則F(x,2x3)。又BD=2若四邊形BDEF或BDFE是平行四邊形時(shí),BD=EF。2x=2，即2=2。若x解得,x=0或x=1（舍去），:E(0,1)。若2=2,解得,x=1+173+17或E1173，;T7。綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E為（2,3)、(0,1)、1+17117（4）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ，x軸交AC于點(diǎn)Q;過(guò)點(diǎn)C作CG，x軸于點(diǎn)G,設(shè)Q(x,x+1),則P(x,x2+2x+3)。PQ(2x3)(x1)APCAPQ+SCPQ1PQ2AGx2)3/1、2(x不)222

7、0),又點(diǎn)F在拋物線上，.-(x+2)精品文檔2,(2012湖北黃岡14分)【分析】(1)將點(diǎn)(2,2)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求得m的值。(2)求出B、C、E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得4BCE的面積。(3)根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)以及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，可知點(diǎn)B、C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1對(duì)稱(chēng)，連接EC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求的H點(diǎn)。(4)分兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)BECsBCF時(shí)，如圖所示，此時(shí)可求得2,2+2。當(dāng)BECsFCB時(shí)，如圖所示，此時(shí)得到矛盾的等式，故此種情形不存在解：(1);拋物線C1過(guò)點(diǎn)M(2,2),2工22(2m)，解得m=4。m(2)由(1)得y1x2(x4)。令x=0,得y2。：E(0,2),O

8、E=2o令4y=0,得0 01x2(x4)x2(x4)，解彳X1=-2,x=4oB(2,0),C(4,0),BC=6。1.BCE的面積=1626。(3)由(2)可得y-x2(x4)的對(duì)稱(chēng)軸為24x=1o連接CE,交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)H,由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，知此時(shí)BH+EH最小。設(shè)直線CE的解析式為ykx+b,則4k+b=0，解得k=1。：直線CE的解析式為y2x+2b=222b=2當(dāng)x=1時(shí)，yH(1,3)。(4)存在。分兩種情形討論：當(dāng)BECsBCF時(shí)，如圖所示。2則BEBC,：BC2=BE?BF。由(2)知8(2,0),E(0,2),即OB=OE,/EBC=45,BCBF：/C

9、BF=45。作FT，x軸于點(diǎn)F,貝UBT=TF。:令F(x,x2)(x0),又點(diǎn)F在拋物線上，x2=x2(xm),x+20(x0),x=2m,F(2m,m-2m-2)o此時(shí)BFy/(2m2P_(2m2)2&(m1),BE22,BCm2,又BC2=BE?BF,(m+2)2=242?272(m1),解得m=22Y2。丁m0,：m=2J2+2。當(dāng)BECsFCB時(shí)，如圖所示。則里BFEC,-BC2=EC?BF。同，./EBC=/CFB,BC3323:x+3=xx3,化簡(jiǎn)得：x26x=0,斛付X1=0（舍去），X2=6。284二點(diǎn)P2橫坐標(biāo)為6,代入直線CN解析式求得縱坐標(biāo)為6。.-.P2（6,6）。A

10、BCN,AB=CN,而CP21CN：CP2WAB:四邊形ABCP2為梯形。綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一2,0）或（6,6）4,（2012四川自貢14分）精品文檔3,（2012湖南郴州10分）,【分析】（1）已知拋物線上三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再由對(duì)稱(chēng)軸公式乂b求出對(duì)稱(chēng)軸。（2）如圖1所示，連接AC,則AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求之M點(diǎn)；已知點(diǎn)xA、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。（3）根據(jù)梯形定義確定點(diǎn)P,如圖2所示：若BC/AP1,確定梯形ABCP1.此

11、時(shí)P1為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，解一元二次方程即可求得點(diǎn)P1的坐標(biāo)；若AB/CP2,確定梯形ABCP2.此時(shí)P2位于第四象限，先確定CP2與x軸交點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后求出直線CN的解析式，再聯(lián)立拋物線與直線解析式求出點(diǎn)P2的坐標(biāo)。解：（1）;拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)A(4,0),B(2,3),C(0,3)三點(diǎn),16a4bc0,解得4a2bc3c3:拋物線的解析式為:3,其對(duì)稱(chēng)軸為：*1o2a（2）由B（2,3）,C（0,3）,且對(duì)稱(chēng)軸為x=1,可知點(diǎn)B、C是關(guān)于又為軸x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)如圖1所示，連接AC,交對(duì)稱(chēng)軸x=1于點(diǎn)M,連接MB,則MA+MB=MA+MC=AC,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)M

12、A+MB的值最小。設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,-.A(4,0),C(0,3),4kb，解得k3。：直線AC的解析式為：y=Sx+3。443,日9得y=-4（3）結(jié)論： 存在。形為ABCP1。由9、。M點(diǎn)坐標(biāo)為（1,一）。4如圖2所示，在拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)P滿(mǎn)足題意：若BC/AP1,此時(shí)梯即為所求。在y323中令y=0解彳fx1=-2,x2=4oP1(-2,0)oP1A=6,一 xx384BC=2,：P1AwBCo;四邊形ABCP1為梯形。若AB/CP2,此時(shí)梯形為ABCP2o設(shè)CP2與x軸交于點(diǎn)NJ/BC/x軸，AB/CP2,：四邊形ABCN為平行四邊形。：AN=BC=2。N（2,0）o設(shè)

13、直線CN的解析式為y=k1x+b1,貝U有:2k1b1b13直線CN的解析式為：y=3x+3。2點(diǎn)P2既在直線CNy=x+3上，又在拋物線：y2Wx2ax3上,84精品文檔【分析】(1)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，求得Ai和Bi的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求得拋物線11的解析式，(2)根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)即可知，BiC的延長(zhǎng)線與對(duì)稱(chēng)軸x=1的交點(diǎn)P,即為所求。求出BiC的解析式即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)。(3)設(shè)圓心為D,半徑為r,根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)知D(1,r),F(1+r,r)。由于點(diǎn)F在拋物線li上，代入即可求得r。分圓位于x軸上方和下方兩種情況討論即可。解：(1)如圖1,設(shè)經(jīng)翻折后，點(diǎn)A

14、.B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為Ai、Bi,依題意，由翻折變換的性質(zhì)可知k+b=01，解得k=b=-3。：直線BiC的解析式為：y=3x3ob=3令x=1,得y=6。P(1,6)。(3)依題意畫(huà)出圖形，如圖3,有兩種情況：當(dāng)圓位于x軸上方時(shí)， 設(shè)圓心為D,半徑為r,由拋物線及圓的對(duì)稱(chēng)性可知， 點(diǎn)D位于對(duì)稱(chēng)軸x=1上，則D(1,r),F(1+r,r)。;點(diǎn)F(1+r,r)在拋物線y=x22x-3上，.r=(1+r)22(1+r)3,化簡(jiǎn)得：r2r4=0解彳導(dǎo)ri=叱立，2=3(舍去)。：止匕圓的半徑為皿；222Ai(3,0),Bi(1,設(shè)拋物線li的解析式為0),C點(diǎn)坐標(biāo)不變,y=ax2+bx+c,則拋物線11經(jīng)過(guò)Ai(3,0),Bi(1,0),C(0,3)三點(diǎn),9a+3b+c=0c=b+c=03a=1b=c=li的解析式為：y=x22x3o(2)拋物線li的對(duì)稱(chēng)軸為: