一元二次不等式解法

1、3.2 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)對稱性對稱性 ab傳遞性傳遞性 ab，bc可加性可加性 ab推推 論論移項法則移項法則 a+cb同向可加同向可加 ab，cd可乘性可乘性 ab,推推 論論同向同向正正可乘可乘ab0，cd0可乘方可乘方 ab0可開方可開方 ab0(n R+)(n N)bb+cab-ca+cb+dacacbcc0c0acbnnnba acbd解法一解法一：代數(shù)法：利用不等式的基本性質(zhì)求解不等式：代數(shù)法：利用不等式的基本性質(zhì)求解不等式的方法。的方法。引例引例1：解一元一次不等式：解一元一次不等式 2x70 xyo3.5方法二方法二：圖像法：利用

2、函數(shù)圖象求解不等式的方法。：圖像法：利用函數(shù)圖象求解不等式的方法。一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入 某同學(xué)要把自己的計算機接入因特網(wǎng)某同學(xué)要把自己的計算機接入因特網(wǎng). .現(xiàn)有兩家現(xiàn)有兩家ISPISP公司可供公司可供選擇選擇. .公司公司A A每小時收費每小時收費1.51.5元元; ;公司公司B B的收費原則如下的收費原則如下: :在用戶上網(wǎng)在用戶上網(wǎng)的第的第1 1小時內(nèi)收費小時內(nèi)收費1.71.7元元, ,第第2 2小時內(nèi)收費小時內(nèi)收費1.61.6元元, ,以后每小時減少以后每小時減少0.10.1元元( (若用戶一次上網(wǎng)時間超過若用戶一次上網(wǎng)時間超過1717小時小時, ,按按1717小時計算小時計算).

3、). 一般來說一般來說, ,一次上網(wǎng)時間不會超過一次上網(wǎng)時間不會超過1717小時小時, ,所以所以, ,不妨假設(shè)一不妨假設(shè)一次上網(wǎng)時間總小于次上網(wǎng)時間總小于1717小時小時. .那么那么, ,一次上網(wǎng)在多長時間以內(nèi)能夠保一次上網(wǎng)在多長時間以內(nèi)能夠保證選擇公司證選擇公司A A比選擇公司比選擇公司B B所需費用少所需費用少? ? 解解: :假設(shè)一次上網(wǎng)假設(shè)一次上網(wǎng)x x小時小時, ,則公司則公司A A收取的費用為收取的費用為1.51.5x( (元元),),公司公司B B收取的費用為收取的費用為1.71.7x+ +x( (x-1)-1)(-0.1)/2=(-0.1)/2=x(35-(35-x)/20

4、()/20(元元).). 如果能夠保證選擇公司如果能夠保證選擇公司A A比選擇公司比選擇公司B B所需費用少所需費用少, ,則則 x(35-(35-x)/20 )/20 1.51.5x (0(0 x 17).17).整理得整理得 x2 - 5x 0解得解得 0 x 0(a0) ax2+bx+c0)的圖象的圖象ax2+bx+c=0(a0)的根的根ax2+bx+c0(a0)的解集的解集ax2+bx+c0)的解集的解集0有兩相異實根有兩相異實根x1, x2 (x1x2)x|xx2x|x1 x x2 =00 解：整理，得解：整理，得 x2 - 2x + 3 0因為因為= 4 - 12 = - 8 0+

5、10解解: :由于由于4 4x2 2-4-4x+1=(2+1=(2x-1)-1)2 200題題3 3：解不等式：解不等式 -3x-3x2 2+6x2+6x2 題題4：解不等式：解不等式 22520 xx三、小試牛刀三、小試牛刀2. 解不等式解不等式 (1) 4x2+4x+10 (2) x2 +x +103. 若若0a1,則不等式則不等式(xa)(x )0的解集是的解集是 .(2) x29的解集是的解集是 .(3) x2-3x-40的解集是的解集是 .(4) (x-1)(2-x) 0的解集是的解集是 .x x3x 1 x 2 x x-1或或x4x -3x0); 計算計算 判別式判別式;并求其根并

6、求其根 由圖象寫出解集由圖象寫出解集. 畫出畫出 的圖象的圖象四、精煉方法四、精煉方法2 2a ax x + +b bx x + +c c = = 0 02 2y y = = a ax x + +b bx x + +c c = = 0 0五、思維提升五、思維提升例例2.已知一元二次不等式已知一元二次不等式ax2+bx+60的的解集為解集為x -2x3 ，求，求a，b的值。的值。方法精煉方法精煉：一元二次不等：一元二次不等式的解集由相應(yīng)一元二次式的解集由相應(yīng)一元二次方程的根來方程的根來界定界定，反之反之，已知一元二次不等式的解已知一元二次不等式的解集，可獲得相應(yīng)一元二次集，可獲得相應(yīng)一元二次方程

7、的根。方程的根。解解:由題意得由題意得,a0,且方程且方程ax2+bx+6=0的兩根分別為的兩根分別為-2和和3,a a 0 0b b - -= = 1 1a a6 6= = - -6 6a aa a = = - -1 1解解得得b b = = 1 13.已知一元二次不等式已知一元二次不等式 ax2bx10 的解集為的解集為x|2x1，求，求 a，b 的值的值.解：解：ax2bx10 的解集為的解集為x|2x1，a0，且，且2 和和 1 是方程是方程 ax2bx10 的兩根的兩根.（2 2）已知不等式）已知不等式 ，其解集，其解集是是 ，則不等式則不等式 的解集是的解集是? ? 2 2x x

8、- - a ax x - -b b 0 0 x x 2 2 x x 0 01 11 1x x - - x x - -2 23 3要求得不等式要求得不等式cxcx2 2-bx+a0-bx+a0的解集，需要做三件事，的解集，需要做三件事，(1)(1)確定確定c c的正負情況；的正負情況；(2)(2)求得與不等式相對應(yīng)的方程求得與不等式相對應(yīng)的方程cxcx2 2- -bx+abx+a0 0的根；的根；(3)(3)比較方程比較方程cxcx2 2-bx+a-bx+a0 0兩根的大兩根的大小而以上三件事的解決，可通過開發(fā)題設(shè)的內(nèi)涵來小而以上三件事的解決，可通過開發(fā)題設(shè)的內(nèi)涵來完成完成【例例2】 若不等式若

9、不等式 ax2bxc0 的解集為的解集為x|3x4，求不等式求不等式 bx22axc3b0 的解集的解集.思維突破：思維突破：可先判斷二次項系數(shù)的符號，然后根據(jù)三個可先判斷二次項系數(shù)的符號，然后根據(jù)三個“二二次次”之間的關(guān)系求字母的取值，再進一步求解之間的關(guān)系求字母的取值，再進一步求解.解：解：ax2bxc0 的解集為的解集為x|3x4，a0，且，且3 和和 4 是方程是方程 ax2bxc0 的兩根的兩根.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，不等式不等式 bx22axc3b0 即為即為ax22ax15a0，a0，即即 x22x150，解得，解得3x5.所求不等式的解集為

10、所求不等式的解集為x|3x5.五、思維提升五、思維提升解解: : 原不等式可化為：原不等式可化為： ( -2 )( -3 )0 xa xa 例例3 3、解不等式解不等式22-560(0)xaxaa023aaa由知變式：變式：解關(guān)于解關(guān)于x x的不等式的不等式2-(1)1 0axax 23 ,0aaa當(dāng)即時， 原不等式的解集為：原不等式的解集為： 2 ,3x xaxa或23 ,0aaa當(dāng)即時， 原不等式的解集為：原不等式的解集為： 3 ,2x xaxa或相應(yīng)方程相應(yīng)方程 的兩根為的兩根為122 ,3xa xa相應(yīng)方程相應(yīng)方程 的兩根為的兩根為( -2 )( -3 )0 xa xa 122 ,3x

11、a xa( -2 )( -3 )0 xa xa 解關(guān)于解關(guān)于x的不等式的不等式ax2(a1)x10，滿足題意，滿足題意（2）若）若k0，則應(yīng)滿足，則應(yīng)滿足k0=(-6k)2-4k(k+8)0解得解得k0-1k100的解集是全體實數(shù)的的解集是全體實數(shù)的條件是條件是_. a0時，時，b-4ac0.-71100.顯然顯然0, 方程方程x2 2+9x-7110=07110=0有兩個實數(shù)根有兩個實數(shù)根,即即x1-88.94-88.94, x279.9479.94 畫出函數(shù)畫出函數(shù)y= =x2 2+9+9x-7110-7110的圖的圖象象, ,由圖象得不等式的解集為由圖象得不等式的解集為 x| |x -8

12、8.94, 79.94 79.94 在這個實際問題中在這個實際問題中, ,x0,0,所以這輛所以這輛汽車剎車前的車速至少為汽車剎車前的車速至少為79.94km/h.79.94km/h. 例例1 1 汽車在行駛中由于慣性的作用，剎車汽車在行駛中由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，這后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，這段距離稱為段距離稱為“剎車距離剎車距離”，它是分析交通事，它是分析交通事故的一個重要因素故的一個重要因素. .在一個限速在一個限速40km/h40km/h的彎道的彎道上，甲、乙兩汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對上，甲、乙兩汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對同時剎車，但還是相碰

13、了同時剎車，但還是相碰了. .事發(fā)后現(xiàn)場測得甲事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過車的剎車距離略超過12m12m，乙車的剎車距離略，乙車的剎車距離略超過超過10m10m，已知甲、乙兩種車型的剎車距離，已知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)s(m)與車速與車速x(km/h)x(km/h)之間分別有如下關(guān)系：之間分別有如下關(guān)系： 0.1x0.1x0.01x0.01x2 2， 0.05x0.05x0.005x0.005x2 2. . 問超速行駛誰應(yīng)負主要責(zé)任？問超速行駛誰應(yīng)負主要責(zé)任？S甲S乙乙超速行駛應(yīng)負主要責(zé)任乙超速行駛應(yīng)負主要責(zé)任. . 例例4 4 一個車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線一個

14、車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線, ,這條這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量x(x(輛輛) )與創(chuàng)造的價值與創(chuàng)造的價值 y(y(元元) )之間有如下的之間有如下的關(guān)系關(guān)系: : y = -= -2 x2 + 220 x. . 若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收若這家工廠希望在一個星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收60006000元以上元以上, ,那么它在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車那么它在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車? ? 解解: :設(shè)在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)設(shè)在一個星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x x輛摩托車輛摩托車. .根據(jù)題意根據(jù)題意, ,得到得到 -2-2x2 +

15、 220+ 220 x 60006000 移項整理移項整理, ,得得 x2 - 110- 110 x + 3000 + 3000 0,0,所以方程所以方程 x2-110-110 x+3000=0+3000=0有兩個實數(shù)根有兩個實數(shù)根 x1 1=50, =50, x2 2=60.=60. 由函數(shù)由函數(shù)y= =x2-110-110 x+3000+3000的圖象的圖象, ,得不等式的解為得不等式的解為5050 x60.60. 因為因為x只能取整數(shù)只能取整數(shù), ,所以當(dāng)這條摩托所以當(dāng)這條摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車整車裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在車數(shù)量在5151輛到輛到5959輛之

16、間時輛之間時, ,這家工廠這家工廠能夠獲得能夠獲得60006000元以上的收益元以上的收益. .分析：開口向下，且與分析：開口向下，且與x軸無交點軸無交點 。 解：由題目條件知：解：由題目條件知： (1) a 0，且，且 0. 因此因此a -1/3。（2）a = 0時，不等式為時，不等式為-x-1 0 不符合題意。不符合題意。綜上所述：綜上所述：a的取值范圍是的取值范圍是31| aa1.2.3.設(shè)設(shè)ab,解關(guān)于解關(guān)于x的不等式的不等式ax+b(1-x) ax-b(1-x).不等式可化為（不等式可化為（(a+b)2x2-(a+b)2x0.解下列不等式解下列不等式2x-a2；b2； b=2三種情況

17、三種情況變式探究變式探究3不等式 0的解集 是_解析：用數(shù)軸標根法答案：x(1,12,3【例4】已知函數(shù)f(x)mx2mx1，若對于m2,2，f(x)m5恒成立，則x的取值范圍是_思路點撥：思路點撥：將f(x)m5變?yōu)閙x2mxm60，這是關(guān)于x的不等式，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式m(x2x1)60，可以用一次函數(shù)的單調(diào)性求解解析：將f(x)m5變?yōu)閙(x2x1)60，則命題等價于m2,2時，g(m)m(x2x1)60恒成立x2x10，g(m)在2,2上單調(diào)遞增，只要g(2)2(x2x1)60，即x2x20，解得1x2.答案：(1,2)解解闖關(guān)四：及時演練，強化提升解題技能闖關(guān)四：及時演練，強化

18、提升解題技能2.已知函數(shù) f(x)x2axb(a，bR)的值域為0，)，若關(guān)于 x 的不等式 f(x)c 的解集為(m，m6)，則實數(shù)c 的值為_解析：f(x)x2axb 的值域為0，)，0，ba240，f(x)x2axa24xa22.又f(x)0) 的實根分布問題的實根分布問題f(x)=0的根的根記記 f(x)=ax2+bx+c(a0)兩個正根兩個正根兩個負根兩個負根一正一負兩根一正一負兩根充要充要條件條件1=b2- -4ac0. x1+x2=- - 0 abacx1x2= 0 =b2- -4ac0 f(0)0. - - 0 2ab充要充要條件條件2=b2- -4ac0. x1+x2=- -

19、 0 =b2- -4ac0 f(0)0. - - 0 2abc0) 的實根分布問題的實根分布問題f(x)=0的根的根記記 f(x)=ax2+bx+c(a0)兩根小于兩根小于k一根大于一根大于k一根小于一根小于k兩根大于兩根大于k充要充要條件條件1kk1x2xk =b2- -4ac0 f(k)0. - - k 2abf(k)0. - - k 2abf(x)的圖象的圖象一元二次方程一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的實根分布問題的實根分布問題f(x)=0的根的根記記 f(x)=ax2+bx+c(a0)兩根在兩根在(m,n)內(nèi)內(nèi)恰好只有一根在恰好只有一根在(m,n)內(nèi)內(nèi)充要充要條件條件xy01x2x mnxy01x2x mnxy01x2x mnf(m)0 =b2- -4ac0 m - - 0. f(m)f(n)0, 或或f(m)=0 m - - , 2abm+n 2 - - n. 2abm+n 2f(n)=0 或或 思考思考 方程的兩根有且只有一個在區(qū)間方程的兩根有且只有一個在區(qū)間m, n上時