2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.3平面向量的數(shù)量積2.3.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律優(yōu)化訓(xùn)練新人教B版必修

1、2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.3平面向量的數(shù)量積232向量數(shù)量積的運(yùn)算律優(yōu)化訓(xùn)練新人教B版必修5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)1. 有下面四個(gè)關(guān)系式：00=0；(ab)c=a(bc):ab=ba；0a=0.其中正確的個(gè)數(shù)是()A4B3C2D1解析：只有是正確的錯(cuò)，因?yàn)閿?shù)量積的結(jié)果是數(shù)量而不是向量；錯(cuò)，因?yàn)閿?shù)量積不滿足結(jié)合律；錯(cuò)，因?yàn)閷?shí)數(shù)與向量的積結(jié)果應(yīng)是向量答案：D2已知ei和e2是兩個(gè)單位向量，夾角為，則下面的向量中與2eA.e+eB.e-e1212解析：依題意，|e|2=|e2l2=1,0=，.°.ee=|e|e|cos0=.對(duì)于A，(e+e)121212對(duì)于B，(e-e)

2、(2e-e)=-2e2-e2+3e1222ee-e2=0；對(duì)于D，121.°.e丄(2e-e).121答案：C3.已知|a|=|b|=5，向量aCe1-e垂直的是()21D.e221一一e=；對(duì)于C，2112(2e-e)=2e2-ee=.21212(2e-e)=2e2-e2+ee=；2112e(2e-e)=121與b的夾角為，貝9|a+b|、|a-b|的值分別為解析：依題意得a2=|a|2=25，b2=|b|2=25.ab=|a|b|cos0=5X5Xcos=.,*,|a+bl=；(a+b)2=、：a2+b2+2ab=p25+25+25=5"3.同理，|ab1=(ab)2=

3、、：a2+b22ab=、.：25+2525=5.答案：54. 已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60°，則(a+2b)(a-3b)=.解：(a+2b)(a-3b)=aa-ab-6bb=|a|2-ab-6|bh=|a|2-|a|b|cos0-6|b|2=62-6X4Xcos60°-6X42=-72.答案：-7210分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1關(guān)于向量a、b,下列命題中正確的是()A.a-b=a+(-b)B.a-a=0C.|a-b|>|a|-|b|D.ab存在唯一的入WR,使b=Aa解析：向量的和與差仍是向量，因此B是錯(cuò)誤的，應(yīng)改為a-a=0.根據(jù)向量減法

4、的三角形法則，當(dāng)非零向量a與b不共線時(shí)，|a-b|>|a|-|b|；當(dāng)a與b同向或a,b中有一個(gè)為0時(shí)，|a-b|=|a|-|b|,因此C不正確；D是在判斷兩向量平行時(shí)最常見的錯(cuò)誤，它成立的前提是aMO.答案：A2. 向量m和n滿足血|=1,|n|=2，且m丄(m-n)，則m與n夾角的大小為()A.30°B.45°C.75°D.135°解析：設(shè)m與n夾角為0，則由m丄(m-n),知m(m-n)=0,m2-mn=0,.*.mn=m2=|m|2=l.*.cos0=.A0=45°.答案：B3. 已知非零向量a、b、c兩兩夾角相等，且|a|=|b

5、|=|c|=l,則|a+b+c|等于()A.OB.1C.3D.O或3解析：a、b、c兩兩夾角相等有兩種情形：夾角為0°(即三個(gè)向量同向)和夾角為120°.答案：D4. 若向量a、b、c滿足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=l,|c|=4,則ab+bc+ca=.解析：解法一：根據(jù)已知條件，知|c|=|a|+|b|,c=-a-b，從而可知a與b同向，c與a、b反向.所以ab+bc+ca=(a+b+c)2一(a2+b2+c2)2所以有ab+bc+ca=3X1Xcos0°+1X4Xcosn+4X3Xcosn=3-4T2=-13.解法二：因?yàn)?a+b+c)2=a2+b2

6、+c2+2(ab+bc+ca),(a+b+c)2一(IaI2+|bI2+|cI2)2=-13.答案：-135. 已知|a|=4,|b|=5，且a,b夾角為60°.求值：(1)a2-b2；(2)(2a+3b)(3a-2b).解：(1)a2-b2=|a丨2-|b丨2=42-52=-9;(2)(2a+3b)(3a-2b)=6a2+5ab-6b2=6X16+5X4X5cos60°-6X25=-4.6在ABC中，若=，那么點(diǎn)0是厶ABC的什么特殊點(diǎn)？解:如圖，由=,得=0,=0.丄即0B丄CA.同理，0C丄AB.丄BC.0ABC的垂心.30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1. 以下

7、等式中恒成立的有()laJUallbl(a，b)2=a2b2|a|二a2-2b2=(a-b)(a+b)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析：對(duì)于，|ab|=|a|b|cose|W|a|b|,僅當(dāng)0=0°或180°時(shí)或b=0或a=0時(shí)等號(hào)成立；對(duì)于，實(shí)質(zhì)上是依據(jù)乘法結(jié)合律進(jìn)行的變形，對(duì)于向量的內(nèi)積運(yùn)算不適用；和均符合運(yùn)算法則，故只有正確.答案：B2. 若a+b=c,a-b=d，且c丄d,則一定有()A.a=bB.|a|=|b|C.a丄bD.|a|=|b|且alb解析：Vc±d,A(a+b)(a-b)=0.Aa2-b2=0,即|a|=|b|,故應(yīng)選B.答案：B3. (

8、xx高考浙江卷，文2)設(shè)向量a,b,c滿足a+b+c=0,alb,|a|=1,|b|=2，則|ch等于()A.1B.2C.4D.5解析：|c|2=|a+b12=a2+b2+2ab=|a|2+|b12=5.答案：D4.已知a,b是非零向量，滿足(a-2b)丄a,(b-2a)丄4則a與b的夾角是()A.B.C.D.解析：由(a-2b)丄玄，(b-2a)丄b,.°.a(a-2b)=0,b(b-2a)=0.a2=2ab,b?=2ab./.2|a|b|cos0=|a|2=|b|2.cos0=,A0=.答案：B列關(guān)系式不正確的是（）5. 在菱形ABCD(如圖2-3-1)中,A.D.=C.(-)(

9、-)=o解析：A顯然正確B：+=,+=,T菱形對(duì)角線垂直，.丄.B正確；C：-=,-=,同B一樣,正確.D：=|cosZBAD,=|cos(n-ZBAD)=-|cosZBAD=-|.D錯(cuò)誤.答案：D6. A、B、C、D為平面上四個(gè)互異點(diǎn)，且滿足(+-2)(-)=0,貝yABC的形狀是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形解析：由(+-2)(-)=0,知(-)+(-)(-)=o,(+)(-)=0，即2=2.|=|.答案：B7. 已知：ab=,|a|=4,則b在a方向上的射影數(shù)量為.解析：|a|b|cosa,b=，又|a|=4,.|b|cosa,b=.答案：&設(shè)0

10、、A、B、C為平面上的四個(gè)點(diǎn)，=a,=b,=c，且a+b+c=0,ab=bc=ca=-1,則|a|+|b|+|c|=.解析：Va(a+b+c)=a0=0,aa+ab+ac=0,aa-1T=0,.°.|a|二.同理|b|=|c|=，即|a|+|b|+|c|=.答案：9. 已知|a|=4,|b|=3,a與b的夾角為120°，且c=a+2b,d=2a+kb，問當(dāng)k取何實(shí)數(shù)時(shí)，(1) c±d；(2) cd?解：設(shè)c與d的夾角為0，則由已知得cd=(a+2b)(2a+kb)=2a2+(4+k)ab+2kb2=2X42+(4+k)X4X3Xcos120°+2k32=

11、8+12k,Ic|=|a+2b|=a2+4ab+4b2=、42+4x4x3xcos120°+4x32=、：28,|d|=|2a+kb|=4a2+4kab+k2b2=、4x42+4kx4x3xcos120°+k2x32cd6k+4.*.cos0二=.1c11d1J7(9k2-24k+64)(1) 要使c丄d,只要cos0=0,即6k+4=0.k=.(2) 要使cd，只要cos0=±1,即=±(6*+4)，解得k=4.綜上，當(dāng)k二時(shí)，c丄d；當(dāng)k=4時(shí)，cd.10. 已知a，b為非零向量，當(dāng)a+tb(tR)的模取到最小值時(shí)，求t的值；已知a與b共線同向，求證

12、：b丄(a+tb).解：令m=|a+tb|，0為a，b的夾角，則m2=|a12+2tab+t2|b|2=t2|bI2+2t|a|b|cos0+|a|2=|b2(t+cos0)2+|a|2sin20，.:當(dāng)t=cos0時(shí)，|a+tb|有最小值|a|sin0.(2)證明：Ta與b共線且同向，故cos0=1，.t=.b(a+tb)=ab+t|b|2=|a|b|-|a|b|=0.b丄(a+tb).11. 設(shè)a丄b,且|a|=2,|b|=1,又k，t是兩個(gè)不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)，(1) 若x=a+(t-3)b與y=-ka+tb垂直，求k關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式k=f(t)；(2) 求出函數(shù)k=f(t)的最小值.解：

13、(1)Ta丄b,.°.ab=0.又x丄y,.xy=0,即a+(t-3)b(-ka+tb)=0.-ka2-k(t-3)ab+tab+t(t3)b2=0,：Ta|=2,|b|=1,.°.4k+1231=0,即k=(t231).由(1)知k=(t2-31)=(t-)2-,即函數(shù)最小值為-.2019-2020年高中數(shù)學(xué)2.3平面向量的數(shù)量積232向量數(shù)量積的運(yùn)算律同步訓(xùn)練新人教B版必修知識(shí)點(diǎn)一：向量的數(shù)量積1. 已知向量a與b滿足|a|=3,|b|=6,a,b=，則ab等于A.9B.9C.9：3D.32. 已知非零向量m,n滿足mnM0,則m與n夾角0的取值范圍是A.0,2)B.0

14、,2C.號(hào),n)D.2,n3. 物體在力F的作用下沿水平方向由A運(yùn)動(dòng)至B,已知AB=1.'3米，F(xiàn)與水平方向成30。角，|F|=5牛頓，則物體從A運(yùn)動(dòng)到B力F所做的功W=4給出下列命題中， 若a=0,則對(duì)任一向量b,有ab=O； 若aMO,則對(duì)任意一個(gè)非零向量b,有abMO； 若aMO,ab=0,貝yb=0； 若ab=0,則a、b至少有一個(gè)為0； 若aMO,ab=ac，貝yb=c； 若ab=ac,且bMc,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)成立.其中真命題為5.(xx江西高考，文13)已知向量a,b滿足|b|=2,a與b的夾角為60°,則b在a上的投影是.知識(shí)點(diǎn)二：向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律6.

15、 向量a,b、c滿足a+b+c=0且alb,|a|=1,|b|=2,貝y|c|2等于A.1B.2C.4D.57.已知|a|=1,|b|=6,a（ba）=2,則向量a與b的夾角是nA.68. 設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D,已知(DB+DC2DA)(ABAC)=0,則AABC是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形9. (xx湖南高考，文6)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)b=0,則a與b的夾角為A.3O°B.6O°C.12O°D.15O°10. 設(shè)a,b,c為任意向量，mWR，下列各式中 (ab)+c=a(bc

16、) m(a+b)=ma+mb (ab)c=acbc (ab)c=a(bc) |ab|=|a|b|不成立的有.11. 已知|a|=1,|b|=；2，設(shè)a與b的夾角為0.(1) 若0=尋，求|a+b|；(2) 若a與ab垂直，求0.能力點(diǎn)一：有關(guān)數(shù)量積的計(jì)算問題|a|12. 已知非零向量a,b,若(a+2b)丄(a2b),則等于1a4B.41C-2D.213.已知|a|=3,|b|=5,且ab=12,則向量a在向量b上的正射影的數(shù)量為12A.B.3C.4D.514.對(duì)于任意向量x和y,|x|y|與xy的大小關(guān)系是A.|x|y|WxyB.|x|y|>xyC.|x|y|MxyD.|x|y|<

17、;xy15. 已知|a|=2,|b|=6,a(ba)=2,貝y|a入b|的最小值為A.4B.2蟲C.2D.i/316. 若|a|=3,|b|=5,且a+入b與a入b垂直，則入=.17. 已知|a|=2|b|M0,且關(guān)于x的方程x2+|a|x+ab=0有實(shí)根，求a與b夾角的取值范圍.18. 設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b互相垂直且|a|=2,|b|=l,又k與t是兩個(gè)不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)(1) 若x=a+(t4)b與y=ka+tb互相垂直，求k關(guān)于t的函數(shù)解析式k=f(t)；(2) 求函數(shù)k=f(t)取最小值時(shí)的向量x、y.能力點(diǎn)二：數(shù)量積的應(yīng)用19. 一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力吐，F(xiàn)2,柑(單位：牛頓)的作

18、用而處于平衡狀態(tài).已知片,F2成60°角，且*F2的大小分別為2和4,則耳的大小為A.6B.2C.2冷5D.2勺;720. (xx四川高考，理5)設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC夕卜，直2=16,|AB+AC|=|ABAC|,則|AM|等于A.8B.4C.2D.1b¥21. (xx天津高考，文9)如圖，在厶ABC中，AD丄AB,Bc=；3BD,|AD|=1,則a!T等于Dp22. 在邊長為的等邊三角形ABC中，設(shè)AB=c,BC=a,CA=b,則&b+bc+ca23. 在ABC中，設(shè)AB=c,Bc=a,CA=b,且8b=bc=ca,試判斷ABC的形狀24.在等腰

19、直角三角形ABC中,點(diǎn)，且AE=2EB.求證：ADICE.D是CB的中點(diǎn)，E是AB上的一答案與解析基礎(chǔ)鞏固1.A2.B3. 75W=|F|A5|cos30°=5X10冷?x¥=75.4. 5. 1b在a上的投影是|b|cos60°=2x1=l.6. D|c12=c2=(a+b)2=(a+b)2=|ah+|bh+2ab,Ta丄b,.°.ab=0.°.|ch=122=5.7. C8. B(DB+DC2DA)(ABAC)=(DBDA)+(DcDa)(ABAC)=(Ab+Ac)(屈-aC）=|Ab|2-|AC|2=0,a|aB|=|AC|.9. C0=

20、（2a+b）b=2ab+b2=2|a|b|cosa,b+|b|2,T|a|=|b|M0,2cosab+l=0,cosa,b=a,b=120°.10.11.解：（l）：Ta+b|2=（a+b）2=a2+b2+2ab=1+（"/2）2+2X1X2Xcos號(hào)-=3+/2,.|a+b|=、J3+/2.a2由條件得a（ab）=0,.a2=ab=|a|b|cose.a-1邁"。曲=|a|b|=ix邁2.e=牛能力提升12.D因?yàn)椋╝+2b）丄（a2b）,所以（a+2b）（a2b）=0所以a2=4b2所以|a|=2b故備=213Aab124.|a|由于cosa,b|a|b|3x

21、55'/八412cosa,b3X=.5514C15D當(dāng)入=6時(shí)，|a入b|2取最小值3.|a入b|的最小值為冷3.316.土匚由于（a+入b）（a入b）=0,5.°.|a|2入2|b|2=0.|a|2=_92=莎=2?=土3.5解：設(shè)a與b的夾角為0，根據(jù)題意得三0,即|a|24ab±0,.入.入17Ta（ba）=ab|a|2=ab4,.*.aeb=6.|a入b|2=|a|2+入2|b|22入ab=4+36入212入=36（入6）十,即|a"4|a|b|cos0三0, |a|24|a|x2|a|cos020. cos0j.Q,n.18.解：(1)Va丄b,.ab=O.又x丄y,xy=O,即a+(t3)b(一ka+tb)=0.ka2k(t3)ab+tab+t(t3)b2=0.*/|a|=2,|b|=1,