2021年高考真題——理科數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅲ卷

1、www.ks5uc0m2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)）理科數(shù)學(xué)（試題及答案解析）一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分）1,已知集合A（x,y）x2y21,B（x,y）|yx,則A。B中元素的個(gè)數(shù)為（）A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】A表示圓x2y21上所有點(diǎn)的集合，B表示直線yx上所有點(diǎn)的集合，故A。B表示兩直線與圓的交點(diǎn)，由圖可知交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,即AB元素的個(gè)數(shù)為2,故選B.2.設(shè)復(fù)數(shù)Z蔭足（1i）z2i，則憶（）A.1B.C.72D.222【答案】C"2i2i1i2i2.吃一t.【解析】由題，z11i1i-2-i1,則|zV1212正，故選C

2、.3 .某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.刀才女寸力#在41Lr八I1S2012i4SG7fl>1011121上34567st9101112124S678910111上2014年2015年2016年根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)【答案】A【解析】由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量在減少，則A選

3、項(xiàng)錯(cuò)誤，故選A.533一4 .（xy）（2xy）的展開(kāi)式中xy的系數(shù)為（）A.B.【答案】C【解析】由二項(xiàng)式定理可得，原式展開(kāi)中含22333xC52xyyC52xC.40D.80x3y3的項(xiàng)為23333-y40xy,則xy的系數(shù)為40,故選C.225.已知雙曲線C:341a2b2a0,b0）的一條漸近線方程為22L1有公共焦點(diǎn).則C的方程為（）2xD.41232222xy/xy,A.1B.181045B雙曲線的一條漸近線方程為y也x,則b近2a222又.橢圓L工1與雙曲線有公共焦點(diǎn)，易知c3,則a2b2c212322由解得a2,b而，則雙曲線C的方程為£1,故選B.,45716.設(shè)函

4、數(shù)f(x)cos(x-),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()3f(x)的一個(gè)周期為2兀.，一87rB.yf(x)的圖像關(guān)于直線x一對(duì)稱(chēng)3C.f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為D.f(x)在(-,)單調(diào)遞減2【解析】函數(shù)fx兀cosx一3的圖象可由cosx向左平移個(gè)單位得到,3的最小值為oD.A.B.C.D.【答案】【解析】5432D程序運(yùn)行過(guò)程如下表所示:初始狀態(tài)第1次循環(huán)結(jié)束第2次循環(huán)結(jié)束10090此時(shí)S9091首次滿足條件，N2為滿足條件的最小值，故選M10010FT.WTg.5-0VWr=r+1程序需在3時(shí)跳出循環(huán),D.2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積8.已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為為()Tt

5、B37t由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑r2，12123則圓枉體體積V<h一,故選B.4'9.等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列，則an前6項(xiàng)的和為()A.【答案】【解析】24AB.C.3-an2則a為等差數(shù)列，且a2a6,即aia2,a3,a6成等比數(shù)列，設(shè)公差為22daida15d又-a又d1，代入上式可得6ald22d224,故選A.2x10.已知橢圓C：-2a的圓與直線bx2yb2ay0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,Aa,且以線段AiA為直徑2ab0相切，則C的離心率為()A.【答案】【解析】C.以AA為直徑為圓與直線bxay2ab0

6、相切,，圓心到直線距離等于半徑,|2ab22aab又a0,b0,則上式可化簡(jiǎn)為ab2a2c2,可得a2323b2即ca-6,故選A311.已知函數(shù)f(x)A.【答案】【解析】x12xa(eB.13)有唯一零點(diǎn)，則C.a()12由條件，f(2x)f(x)(2x)x12xa(e2(2x)a(e2x2x4x2x1x442xa(ex1x1a(ee),得:(2x)ex1e)1)f(2x)f(x),即x1為f(x)的對(duì)稱(chēng)軸,由題意，f(x)有唯一零點(diǎn)，f(x)的零點(diǎn)只能為2即f(1)12一1解得a萬(wàn).1a(e1,11e)0,12.0形誓CD&APABAD,AD2,動(dòng)點(diǎn)的最大值為()P在以點(diǎn)C為圓心

7、且與BD相切的圓上.若A.【答案】B.272C.由題意，畫(huà)出右圖.設(shè)BD與0C切于點(diǎn)E,連接CE.以A為原點(diǎn)，AD為軸正半軸，AB為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).|CD|1,|BC|2.BDa22V5BD切0c'J'jECE±BD.CE是RtABCD2s八2|EC|Z-|BD|中斜邊BD上的高.1_3|BC|CD|BD|2-的半徑為5.P在5上.(x2)2P點(diǎn)的軌跡方程為設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(X0,y0),可以設(shè)出(yP點(diǎn)坐標(biāo)滿足的參數(shù)方程如下:X02275cosV1而aPAP(3。),AB羨AD(0,1),(0,1)aD(2,0)1x1X0I2兩式相加得：5

8、一cos5V。(2,0).(2,)5,5sin52赤sin5(25.(5sin(5一cos5252)2()2sin(5尸352.5、(其中sin-,cos).兀.當(dāng)且僅當(dāng)52k兀，kZ時(shí)，取得最大值3.、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若x,y滿足約束條件xy>0,y2<0,則z3x4y的最小值為y>0,【答案】1【解析】由題，畫(huà)出可行域如圖:目標(biāo)函數(shù)為z3x4y,則直線y（縱截距越大，值越小.11【答案】8【解析】aan為等比數(shù)列，設(shè)公比為.aia21a1a1q1Q，即2Q分），aia33a1alq32,代入式可得a18.1,顯然q1,a10,了得1q3

9、,即q33a4a1q121、，一-）1的x的取值范圍是11,即fx31fxfx的圖象如下：x1,x<0,15,設(shè)函數(shù)f(x)*則滿足f(x)f(x2,x0,1【答案】-，4x1,x<01【解析】，fxoxc，fxfx72,x02r1由圖象變換可畫(huà)出yfx2與y1由圖可知，滿足f16.,為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與,都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線AB與成60角時(shí)，AB與成30角；當(dāng)直線AB與成60角時(shí)，AB與成60角；直線AB與所成角的最小值為45;直線AB與所成角的最大值為60.其中正確的是(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編

10、號(hào))【答案】【解析】由題意知，a、hAC三條直線兩兩相互垂直，畫(huà)出圖形如圖不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1,故|AC|1|AB|、/2,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則A點(diǎn)保持不變，b點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以u(píng)圓心，1為半彳竺.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為軸正方向，CB為軸正方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系則D(1,0,0),A(0,0,1),直線的方向單位向量(0,1,0),|a|1.B點(diǎn)起始坐標(biāo)為(0,1,0),直線的方向單位向量b(1,0,0),|b|1.設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)B(cos,sin,0),其中為BC與CD的夾角，塔兀)那么AB'在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量AB(cos,sin,1),設(shè)端

11、與所成夾角為0,；,(cos,sin，1)(0,1,0)22則c0sJ|ab21smI0,-2-_兀兀一.一故丁金,所以正確，錯(cuò)誤.設(shè)短與所成夾角為0,;1，cos(cos,sin,1)(1,0,0).2|cos2當(dāng)aB與夾角為60時(shí)，即sin2cos兀3'2122cos|coscos2sin且221|cos20，-.2=9,此時(shí)AB與夾角為603，正確，錯(cuò)誤.22,23題為選考三、解答題：（共70分.第17-20題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題：共60分.17. (12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinAj3cosA0

12、,(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC,求AABD的面積.一支【解析】(1)由sinAV3cosA0得2sinA-0,3r一1.宜,一一”八即A-knkZ,又A0,兀，3n2支A一n，得A.331»一-代入并整理得由余弦定理a2b2c22bccosA.又a2J7,b2,cosAc125,故(2)AC2,BC4.2"AB4,2b2由余弦定理cosC2abACAD,即AACD為直角三角形,則ACCDcosC，得CDV7.由勾股定理ADJ|cd|2|ac|2V3.ADc2d2n汽汽DAB,326ABsin-召.6最高氣溫10,1515,2020,2525,3030,3

13、535,40天數(shù)21636257418.（12分）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：C）有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為20枷,為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表:以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的

14、利潤(rùn)為Y（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量（單位：瓶）為多少時(shí)，丫的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【解析】易知需求量可取200,300,500PX200PX300PX500216130353623035257423035則分布列為:X200300500P2525當(dāng)nw200時(shí)：丫n642n,此時(shí)Ymax400,當(dāng)n200時(shí)取到.4 1當(dāng)200門(mén)300時(shí)-Y2n-2002n20025 588002n6n800n555此時(shí)Ymax520,當(dāng)n300時(shí)取到.當(dāng)300nW500時(shí)，1Y2002n200532002n22-3002n300255此時(shí)Y520.當(dāng)n>500時(shí)，易知一定小于的情況.綜上所

15、述：當(dāng)n300時(shí)，取到最大值為520.19. （12分）如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，4ACD是直角三角D二JCBD,ABBD.:平舟ACD平面(2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,形.(1)若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分.求面角DAEC的余弦值.【解析】取AC中點(diǎn)為O,連接BO,DO；AABC為等邊三角形BOAC.ABBCABBDBCBDABDCBD.ABDDBCADC.ADCD,即ACD為等腰直角三角形,為直角又O為底邊AC中點(diǎn).DO令A(yù)B易得:ACa,則|AB|IACOD*，OBBCBD3-a2.OD2OB2BD2由勾股定理的逆定理可得DOB一2即ODOBODAC

16、ODOBAC。OBOODAC平面ABCOB平面ABC平面ABC又.OD平面ADC由面面垂直的判定定理可得平面ADC由題意可知VDACEVBACE即B,D到平面ACE的距離相等即E為BD中點(diǎn)平面ABC以O(shè)為原點(diǎn)，OA為軸正方向,OD為軸正方向，設(shè)AC為軸正方向,a,建立空間直角坐標(biāo)系,則O0,0,0,aAa,0,02aD0A2B0,a,023a0,a,-44易得：AEa3a,a,-244jOAacc一,0,02設(shè)平面AED的法向量為n；平面AEC的法向量為n2、.31,30,1,3AEni0TT,解得n0,解得0n2ADni0若二面角DAEC為，易知為銳角,220. (12分)已知拋物線C:y.

17、2x,過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線交C于A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4,|2),求直線與圓M的方程.【解析】顯然，當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線與拋物線交于一點(diǎn)，不符合題意.設(shè)l:xmy2,A(x,y),B(x2,y2),y22x/口2聯(lián)立：xmy2得y2my40,16恒大于，Vix/2y/y22m,y1y2(my12)(my22),2(m1)y1y22m(y1y2)4，2八一，一、4(m1)2m(2m)4OaOb,即O在圓M上.若圓M過(guò)點(diǎn)P,則MXP0(x4)(x24)(y2)(y22)0(my2)(my22)(y2)(y22)0,2(m1)yiy2(

18、2m2)(yy?)802-1,、化間得2mm10斛得m一或21.當(dāng)m2時(shí)，l:2xy40圓心為Q.y。)，y0X”21,x0y023,y1y2y0丁半徑r|OQ|11一，劭y222291.429、2,1、2則圓M:(x4)(y3)8516當(dāng)m1時(shí)，l:xy20圓心為Q(m,y0),半徑r|OQ|3212一.一一22一則圓M:(x3)(y1)1021.(12分)已知函數(shù)f(x)x1alnx.(1)若f(x)>0,求的值；(2)設(shè)m為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù)，(1),M(1一最)<m,求m的最小值.【解析】f(x)xalnx則f(x)當(dāng)a<0時(shí),xx0,f，且f(1)0x在0,上單

19、調(diào)增，所以不滿足題意;當(dāng)a當(dāng)0當(dāng)x若0時(shí)，xa時(shí),f(x)0,若若a時(shí),a1,題意綜上所述a則f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減;f(x)在(a,)上單調(diào)遞增.f(x)在(a,1)上單調(diào)遞增，當(dāng)f(x)在(1,a)上單調(diào)遞減當(dāng)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,(a,1)時(shí)f(x)(1,a)時(shí)f(x)上單調(diào)遞增f(1)f(1)0矛盾0矛盾f(x)>f(1)0滿足當(dāng)a1時(shí)f(x)x1皿*>0即皿*1則有l(wèi)n(x11)<x當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立ln(17)12k1方面：ln(1)即(1另一方面:當(dāng)n>3時(shí),21R."11(1-)(1211ln(12)21.ln(1*mN,了)e-1、一2'2).(111).(11尹.(11牙)1R1(1(2,e)1-m的最小值為.22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方