2022年高考數(shù)學(xué)沖刺講義雙曲線的綜合問題（新高考）（教師版）

1、專題3.8雙曲線的綜合問題與雙曲線有關(guān)的解答題的求解策略：(1)熟知雙曲線的漸近線、雙曲線的方程及雙曲線的性質(zhì)是求解此類問題的關(guān)鍵：(2)對(duì)于雙曲線中的定值、定點(diǎn)問題，屬于難題，一般解法是設(shè)直線、聯(lián)立方程組、根與 系數(shù)關(guān)系、結(jié)合已知條件化簡(jiǎn)即可得出答案.別為M, M點(diǎn)F是E在第一象限上的任意一點(diǎn)，且滿足公“吸川=8.(1)求雙曲線E的方程；(2)若直線PN與雙曲線E的漸近線在第四象限的交點(diǎn)為A,且陽(yáng)尸的面積不小于30 , 求直線PN的斜率k的取值范圍.y2L L【答案】(1)/一匕=1. (2) 0<it<V26 + V2 .【解析】(1)設(shè) P (初 Vo)1 則"w=

2、 . kpN = ,X。+ Q X。- 4所以 kpMkpN =龔 = 8,即 y； = 8x()2 - 8標(biāo)，xQ -a又P(xo, yo)是雙曲線上的點(diǎn)，所以與一駕=1,即丫()2 =4對(duì)2-, a2 b2a2所以b2=8,又雙曲線的右焦點(diǎn)為(3, 0),所以。2+加=9.所以4=1, 6? = 8,所以雙曲線的方程為所-2-= 1.8(2)由(1)可知N(l, 0),雙曲線的過第四象限的漸近線方程為y=-2設(shè)直線PN的方程為x=my+l,則直線PN的斜率為k=,顯然m>0. m聯(lián)立方程組=沖+1 一行 2V2I > 可得=尸>y = -2y/2x2V2/n + l聯(lián)立方

3、程組x = my9 -Tz« 16/n2 y2可得卅=；q 3X - = 11-8/728所以 Sa例f=x2x (yp-%)=2>/2_ + J6w 22V2W+1 1-8Wl-8w2令曾導(dǎo)3后解得臉也祭L所以ov,w瘍+&, 即 0<Aw J26 + yf2 - m【名師點(diǎn)睛】本題考杳了雙曲線的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題.【預(yù)測(cè)題2】鄭州中原福塔的外立面呈雙曲拋物面狀，造型優(yōu)美，空中俯瞰猶如盛開的梅花 綻放在中原大地，是現(xiàn)代建筑與藝術(shù)的完美結(jié)合.雙曲拋物面又稱馬鞍面，其在笛卡兒坐標(biāo) 系中的方程與在平面直角坐標(biāo)系中的雙曲線方程類似.雙曲線在物理學(xué)

4、中具有很多應(yīng)用，比 如波的干涉圖樣為雙曲線、反射式天文望遠(yuǎn)鏡利用了其光學(xué)性質(zhì)等等.(1)已知A, 8是在直線/兩側(cè)且到直線/距離不相等的兩點(diǎn)，P為直線/上一點(diǎn).試探究當(dāng)點(diǎn)P的位置滿足什么條件時(shí)，IPA-P8I取最大值:(2)若光線在平滑曲線上發(fā)生反射時(shí)，入射光線與反射光線關(guān)于曲線在入射點(diǎn)處的切線在 該點(diǎn)處的垂線對(duì)稱.證明：由雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，在雙曲線上發(fā)生反射后，反射光 線的反向延長(zhǎng)線交于雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).【答案】（1）當(dāng)P的位置使得/為N4P8的平分線時(shí)，IPA-PBI取最大值，（2）證明見解析.【解析】（1）不妨設(shè)A點(diǎn)到直線/的距離比8點(diǎn)到直線/的距離大，作點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)

5、A .當(dāng)A'，B, P三點(diǎn)共線，即/為NAPB的平分線時(shí)，有 PA- PB = PK-PB = A'B，當(dāng)A', B. P三點(diǎn)不共線，即/不是乙4P8的平分線時(shí)，取這樣的點(diǎn)P'，則A', B, P'能構(gòu)成一個(gè)三角形，故98=尸4-尸5 cA'B（兩邊之差小于第三邊），因此，當(dāng)且僅當(dāng)P的位置使得/為NAPB的平分線時(shí)，IP4-P8I取最大值.（2）不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)半軸長(zhǎng)為a ,虛半軸長(zhǎng)為h,左右焦點(diǎn)分別為巴，工，入射光線4從工出射，入射點(diǎn)。，反射光線4，雙曲線在。點(diǎn)處的切線4 , 4在。點(diǎn)處的垂線L，由光的反射定律，4，4關(guān)于

6、74對(duì)稱，故光，2關(guān)于4對(duì)稱， 要證：反射光線4過點(diǎn) 只要證：4是NGQ6的角平分線，定義雙曲線焦點(diǎn)所在區(qū)域?yàn)殡p曲線的內(nèi)部，漸近線所在區(qū)域?yàn)殡p曲線的外部,r2 v2由雙曲線的定義，l6Q £）Q|=2a,雙曲線上任意一點(diǎn)滿足方程為餐一4=1 , a b22若IEQ'AQ'l>2a, 0滿足不等式:一與1,即。'與焦點(diǎn)同在雙曲線內(nèi)部; a b.若|耳。"一工0|<2a, Q"滿足不等式即。'在雙曲線外部.故：對(duì)于雙曲線內(nèi)部的任意一點(diǎn)Q',有留'-雙Q'l>2a,對(duì)于雙曲線外部的任意一點(diǎn)。”,有

7、I式。一為01 <2a,又4是雙曲線在。點(diǎn)處的切線，故在4上有且僅仃一點(diǎn)。使得I KQ鳥Ql= 2a ,4上其他點(diǎn)QT均有I FiQm-F2Qm <2a,故。是4上唯一使得IGQ - EQ I取最大值的點(diǎn)，乂 F鳥到直線4距離不相等，根據(jù)（1）中結(jié)論，可知4是/耳。鳥的角平分線，故反射光線，2過點(diǎn)石，命題得證.22若。（X。）為雙曲線上任意一點(diǎn)，則IKQ - KQI=2a,且二一與=1： a b-若Q(x,y)為雙曲線內(nèi)部任意一點(diǎn)，則I6Q 工。|>2。，且=一馬> a b,若。(x,y)為雙曲線外部任意一點(diǎn)，則I耳Q gQ|<2a,且,一與<1.【預(yù)測(cè)題3

8、】已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，4、工為左、右焦點(diǎn)，焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的、歷倍, 雙曲線過點(diǎn)(4, 一可).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上，求證：點(diǎn)M在以耳人為直徑的圓上；(3)在(2)的條件下，若直線M鳥交雙曲線于另一點(diǎn)N,求6MN的面積.22【答案】(1)- = 1： (2)證明見解析：(3) 12 + 46【解析】(1)設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為0當(dāng)=1(。0,60) a b雙曲線焦距為2c,實(shí)軸氏為2a,則2c = 20a，即c = "z：.b2 =c2-a2 =a2，雙曲線方程為x2 一 y2 ="2= 16-10 = 6雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-上66(2)

9、由(1)知耳(一26,0),鳥(2后0)在雙曲線上 ,-.9-w2 =6.即62 =3.,.礪=卜26-3，甸，麗=僅6-3,-切).詬麗=(一26一3卜(26-3)+ 加2=9-12 + 3 = 0.”在以片K為直徑的圓上(3)由(2)知“(3,6)或(3, 6)當(dāng)時(shí)，直線M入方程為 y_G = J_(x_3) = _(2 + G)(x_3)25/3 - 3即儀-2-G)x+(6 + 4G)代入雙曲線方程整理可得(6 - 46) V _4百Q(mào) - G) y + 6 = 0M的縱坐標(biāo)為百N的縱坐標(biāo)為佃_4右標(biāo) =Xi = 一(6 + 2)MMN 的面枳為 S =；忻用+6+ 2)= 2百 x(

10、2 + 2 = 12 + 4石由雙曲線對(duì)稱性可知，當(dāng)M(3,-何時(shí)，與MN面積時(shí)一-致耳MN 的面積 S = 12 + 4j8【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、直線與雙曲線知識(shí)的綜合應(yīng)用問題，涉及到雙曲線 方程的求解、與雙曲線焦點(diǎn)弦有關(guān)的三角形面積的求解問題，屬于?？碱}型.22【預(yù)測(cè)題4】已知坐標(biāo)原點(diǎn)為。，雙曲線C：2-2 = l(a>0/0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為近，離心率為百.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過雙曲線上動(dòng)點(diǎn)尸(毛,%)的直線-寫 =1分別交雙曲線的兩條漸近線于A，8 兩點(diǎn)，求aAQB的外心M的軌跡方程.即"=,b' = 2 所以雙曲線的方程為斯-2

11、-= 1 ；2v2（2）設(shè)A（x，yJ, B（w，%），且由已知得x；二 = 1，漸近線方程為y = ±Jix，-%Z = 1X- 1L2 ，解得,所以y =伍；17 =41x% - 一丁I> 解得 2>/2y0，所以y2=f/M為+ 2法-:設(shè) aAOB 的外心 M（x,y）,則由 =得（x -芭）+（y - 5/2x1 j = xr+ y；=（x-x2）2 +（y +亞尤 2）33即 Ax= xj2 => x+>/2y = -x,0,3_3同理必-V2yx = - x； => x-J2v = x,22、9兩式相乘得廠-2y =-xxx2y）99所以A

12、OB的外心M的軌跡方程為x2-2y2=- 4法二:設(shè)aAOB的外心M（x,y）,線段OA的中垂線方程為y一六=一線段OB的中垂線方程為y -會(huì)=X-2y2,解得因?yàn)?quot;二6 yo>0.2代入片一方=1得=1 ,所以AOB的外心M的軌跡方程為丁 -2y2 名師點(diǎn)睛】解答本題第:問的關(guān)鍵是通過三角形的外心對(duì)應(yīng)的幾何特點(diǎn)即外心到三角形的 三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，由此通過坐標(biāo)的化簡(jiǎn)運(yùn)算得到對(duì)應(yīng)的軌跡方程.此外，三角形任意兩 邊中垂線的交點(diǎn)也是三角形的外心，也可借由此結(jié)論完成解答.22【預(yù)測(cè)題5】過雙曲線： *一斗=1（。 0/0）左焦點(diǎn)6的動(dòng)直線I與的左支交于A ,b兩點(diǎn),設(shè)r的右焦點(diǎn)為5.

13、（1）若三角形48名可以是邊長(zhǎng)為4的正三角形，求此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）若存在直線/，使得A85，求離心率的取值范圍.【答案】 Y-匕=1； (2) x/5 <e<l + V2 . 2【解析】（1）依題意得用=2, 用=4,忻用= 2.所以勿= |A|-|A耳| = 2, 67 = 12c = FF2 = 2y/3 , c = /J，b2 =c2-a2 =22此時(shí)r的方程為d-匕=1：222（2）設(shè)/的方程為* =沖一 C與與一斗=1聯(lián)立，得（戶加2一。2卜2 一處2aHy+ /=0設(shè)4（不凹）,網(wǎng)心），則（ + % =產(chǎn)2''"，1-7，由b-m -crb

14、'm -a亭.可:5 (王一。(工2_° + % =0，(，孫 一 2c)(my2 - 2c) + 必必=° n (/n? + 1)占"-4/7/2c22 + 4c2 b2m2 -/ ) = 0 =>(?2 +1)/?4 = 4a2c2 => (nr +1) =色；N 1 => 4a2c2 > (c2 一/)所以 c4 + a 6a2c2 K 0 = e46e2+1 < 0，因?yàn)閑>l，所以l<e*3 + 2&所以 l<eWl + &又A、8在左支且/過耳，所以 yy, <0, ；-&l

15、t;0=>m< - =>m'+l = ；< + 1b m- -ab-b b所以 4a2 <b2 =c2 a2 =>e2 >5綜上所述-x/5 <e< 1 + V2 .【名師點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線相交問題.解題方法是設(shè) A(.x), 8(/,%),設(shè)/的方程為x = m)，c,匕線方程代入雙曲線方程應(yīng)用根叮系數(shù) 關(guān)系得x + y2, X %,條件AK，轉(zhuǎn)化為串 E豆=o,化簡(jiǎn)后代入根與系數(shù)關(guān)系的 結(jié)論可得。，C，6關(guān)系式，然后結(jié)合不等式的性質(zhì)得出離心率的不等式，求得其范圍.223預(yù)測(cè)題6】已知雙曲線C:三一

16、2=l(a > 0,6 > 0)的離心率為一，過雙曲線。的右焦點(diǎn)F作 a2及2漸近線的垂線，垂足為N,且/ON(。為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為6.(1)求雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若p,。是雙曲線。上的兩點(diǎn)，且P,。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，M是雙曲線上異于P, Q 的點(diǎn).若直線和直線"Q的斜率均存在，則氏是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定 值；若不是，請(qǐng)說明理由.r2 v25【答案】(1)- = 1； (2)是定值，定值為二.4 54b【解析】（1）雙曲線C的漸近線方程為y = ±-x,即陵土町=0,a所以點(diǎn)/（。,0）到漸近線的距離為bcJb2 +a2c所以 aFON 的面積為L(zhǎng)|

17、N/71 | ON |= bylc2-b2 =-ba = y5222即 ab = 245 .代人ab = 2>f5，解得a = 2,所以 /? = 5，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三-匕=1 .45（2）女如/“9是定值，理由如下:設(shè)尸（石,乂）,則Q（f，-x）,片 w片,片一14522 兩式相減并整理得當(dāng)二”=:Xq 一石 4= Az2l.A±2l =xo-x X（）+X所以的/尸.原照是定值，且該定值為【名師點(diǎn)睛】求定值問題常見的方法有兩種：從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變 量無(wú)關(guān).直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.【預(yù)測(cè)題7】已知雙曲線C過點(diǎn)（

18、4,6）,且漸近線方程為y = ±g元，直線/與曲線C交于 點(diǎn)M、N兩點(diǎn).（1）求雙曲線。的方程；（2）若直線/過原點(diǎn)，點(diǎn)P是曲線。上任一點(diǎn)，直線產(chǎn)加，PN的斜率都存在，記為kpM、kp試探究怎小的值是否與點(diǎn)P及直線/有關(guān)，并證明你的結(jié)論：（3）若直線/過點(diǎn)（1,0）,問在x軸上是否存在定點(diǎn)Q,使得西.所為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)。坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由.【答案】（1） -/=1； （2） kPM-kPN=, %的值與點(diǎn)P及宜線/無(wú)關(guān)，證明見4'4"（23 、 31解析；（3）存在，。三,0 , QM QN = 一一，理由見解析 k o 764【解析】（1

19、）因?yàn)闈u近線方程為y = ±gx.所以可設(shè)雙曲線為-y2=A.將點(diǎn)（4,百卜弋入千一（百丫 =%，解得丸=1 所以雙曲線C的方程為三一 y2 = i4 -（2）直線/過原點(diǎn)，山雙曲線的對(duì)稱性知道，點(diǎn)M、NX；丁原點(diǎn)對(duì)稱.設(shè)點(diǎn) M （皿）,P（x,y），則點(diǎn) N（-m,-n）j.2代入一丁之，有蘇=4 + 42, x2 =4 + 4/所以軟，勺w=2±y.x-mx+加,y - n y + n y 一？lr Ir ，J4y2 -4n2 4將M=4 + 42, x2 =4 + 4y2RAWkPM - kPN所以kpM.kpN=；，kpM - kpN的值與點(diǎn)尸及直線/無(wú)關(guān).（3）由

20、題意知直線/斜率存在，故設(shè)直線為y = k（x-1）,點(diǎn)'（%,%）、Q（r，O）,卜=&（1）由!，得（-4k2）x2 +8k2x-4k2-4 = 0 , 1-4%2。且/0 ,8k24k2+4M +廿g，中2 =/7又W = （3_r，M）,函=（與一，,%），所以。M QN = （5 -，）（電 一，）+乂%=（% -，）（工2 T）+ k（% -1）%（工2 一1）=（1 + k） X1%2 （' + k- ）（玉 + x,） + （廣 + k）/ 7 8f + 4廠 4一廣/"汨 23. 7i»7 方X731令=斛得t =,此時(shí)QM - Q

21、N =.4-1864【預(yù)測(cè)題8】已知A、8是雙曲線G：(。0,人0 )的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于A、3的一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線。尸交橢圓。2： +=1于點(diǎn)Q，a b,設(shè)直線24、PB、"、Q8的斜率分別為勺、&、&、k4.(1)若雙曲線G的漸近線方程是y = ±4x,且過點(diǎn)(后一)，求G的方程：22(2)在(1)的條件下，如果匕+£="，求aABQ的面積；8(3)試問：K+%+&+%是否為定值？如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.丫26【答案】(1)-/=1； (2) ； (3)定值為0.4 *17設(shè)雙曲線方程為的方

22、程為設(shè) P(Xo，%),化簡(jiǎn)得到代入方程設(shè)？(%,%),4+l2 + 收& +匕+ & +卜問題的能力【名師點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線和橢圓的知識(shí)，計(jì)算量大，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和解決將點(diǎn)（石,3代入方程，解得4 = 133 X2【答案】（1）->2=1； （2）3所以(x 2)2 + y2=g,得Y-4x+4 + y2=32-4x + 3,22【預(yù)測(cè)題9已知雙曲線C:二- = l（a>O,gO）上一動(dòng)點(diǎn)P,左、右焦點(diǎn)分別為片，工, a b且人（2,0）,定直線=點(diǎn)M在直線/上，且滿足此=走.2IPF212（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線的斜率左=1，且4過雙

23、曲線右焦點(diǎn)與雙曲線右支交于A 5兩點(diǎn)，求aAB與的外接圓方程.【解析】（1）由題意，知1引_ = 2包，設(shè)點(diǎn)P（x,y）,則PM 3整理得l + y2=工，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為工-丁 = 1. 33（2）由題意,知直線4：y = x-2,設(shè)4（大,乂）,3（X2，必），y = x 2聯(lián)立方程，得產(chǎn),整理得2x212x + 15 = 0，I 315故司+毛=6, xtx2 =,而 y+必=X+/ -4，所以A3中點(diǎn)為"（3,1）,而“5月外接圓圓心在AB的垂直平分線4上，則4：y = -x + 4, 又由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，可知11 AB |= & | % |= & 7（Xj

24、 +%2）2-4%,%2 = 26.設(shè)圓心（3）滿足叱3）"（“廣阪+ 2）"'解叱_31 r°-8,所以W R =1+ 2）+停：=J萼，故外接圓方程為（x 一 ； j + （）' ? J =署.【名師點(diǎn)睛】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線段的比例關(guān)系，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式列方程，整理即可 得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由直線與雙曲線的位置關(guān)系，應(yīng)用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)：由三角形外 接圓圓心的性質(zhì)，結(jié)合弦長(zhǎng)、弦心距、半徑間的幾何關(guān)系，求圓心坐標(biāo)及半徑，進(jìn)而寫出圓 的方程.,2 ,2r-【預(yù)測(cè)題10】已知等軸雙曲線C：二一與= 130,80）經(jīng)過點(diǎn)（交，-）.a' b'22（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn) 3（0, 1）.過原點(diǎn)且斜率為人的直線與雙曲線C交于E,尸兩點(diǎn)，求NEBF最小時(shí)女的值；點(diǎn)A是C上一定點(diǎn)，過點(diǎn)8的動(dòng)直線與雙曲線C交于P, Q兩點(diǎn)，火”+32為定值/1， 求點(diǎn)4的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)2的值.【答案】（1x2-y2=； （2）人=0；4（血）,4 = 0或者4（一血,1）,4 = 一也.5 1【解析】（1）由題意a = A,且苴_& = 解得a = b = l，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為V