Matlab小波變換對奇異點的檢測

1、Matlab小波變換對于奇異點的檢測1 .信號的突變性突變信號又稱奇異信號，突變信號的突變點經常攜帶比較重要的信息，是信號的重要特征之一。在數字信號處理和數字圖像處理中具有非常重要的作用和地位，信號的突變性檢測是先對原信號在不同尺度上進行“磨光”，再對磨光后信號的一階或二階倒數檢測其極值點或過零點。對信號進行磨光處理，主要是為了消除噪聲而不是邊緣。傳統(tǒng)的信號突變檢測方法是基于傅立葉變換的，由某一函數的傅立葉變換趨近于零的快慢來推斷該函數是否具有突變性，但它只能反映信號的整體突變性，而對信號的局部突變則無法描述。這樣我們就引入小波變換算法。2 .信號的突變點的檢測原理設h是函數f和g的卷積，即：

2、h(t)=f(t)=g(t)則根據傅立葉變換的性質有：AA.Fh'(t)=jFf(t):g(t)=jf()g()=j-f()g()=f()jg()=Ff'(t)二Fg(t)=Ff(t)二Fg'(t)所以得到：h'(t)=f'(t);g(t)=f(t)=g'(t)若將函數f看作是信號，g(t)看作是濾波器，那么信號的導數與濾波器的卷積結果可以看作是濾波器的導數與信號的卷積。例如，如果選g(t)為高斯函數，則利用其導數可以構造Morlet小波和Maar小波，因此，小波變換的突變點和極值點與信號f的突變點和極值點具有對應關系，利用小波可以檢測突變信號。

3、具體過程如下：設e(t)是一個起平滑作用的低通平穩(wěn)函數，且滿足條件qQ工出=1,i,m=。通常取H(t)為高斯函數，即1-t2/2i(t)=e.2二假設Wt)是二次可導的，并且定義=(1)(t)=d。=一1te12/2dt2二"0)=d3=1(1-t2)e±2/2dt2二則函數中(1)(t)、滿足小波的容許條件：*(t)dt=0，(2)(t)dt=0因此可用做小波母函數。若記a=1e-則19s(t)表示9(t)在尺度因子s下的伸縮。由于小波變換就是將原信's's號f(t)同伸縮小波卷積得到的，為此以中(t)W(t)為小波函數定義的卷積型小波變換為：wS1)&

4、quot;t)=f*wS1)(t)=f/s?jt)=s-d(f*6s)(t)<dt)dt2d2e、2d2ws)f(t)=fs)(t)=f*s景(t)=sf(f*Hs)(t)Idt)dt由此可見，小波變化wf'f(t),w!2)f(t)分別是函數f(t)在尺度s下由e(t)平滑后再取一階、二階導數。當s較小時，用久(t)對f(t)平滑的結果對f(t)的突變位置影響不大；當s較大時，則此平滑過程會將f(t)的一些細小的突變削去，而只剩下大尺寸的突變。由此我們可知，當小波函數可看作某一平滑函數的一階導數時，信號小波變換模的局部極值點對應信號的突變點(或邊緣)。當小波函數可看作某一平滑函

5、數的二階導數時，信號小波變換模的過零點，也對應信號的突變點(或邊緣)。這就是采用檢測小波變換系數模的過零點和局部極值點可檢測信號突變點(或邊緣)的原理。Matlab小波變換檢測奇異點原始信號是含有奇異點的信號，為確定該奇異點的時間，采用haar小波進行連續(xù)小波變換后，在對系數進行分析處理。仿真程序如下：figure(1)plot(cuspamax)xlabel('時間);ylabel('幅值');title('頻率突變信號)；figure(2)c,l=wavedec(cuspamax,5,'db6');cfd=zeros(5,1024);fork

6、=1:5d=detcoef(c,l,k);d=d(ones(1,2Ak),:);cfd(k,:)=wkeep(d(:)',1024)endcfd=cfd(:);I=find(abs(cfd)<sqrt(eps);cfd(I)=zeros(size(I);cfd=reshape(cfd,5,1024);colormap(pink(64);img=image(flipud(wcodemat(cfd,64,'row');set(get(img,'parent'),'YtickLabel',);title('離散小波變換后系數的絕對

7、值)ylabel('層數)；figure(3)ccfs=cwt(cuspamax,1:32,'haar','plot');title('連續(xù)小波變換系數的絕對值)colormap(pink(64);ylabel('尺度)xlabel('時間(或者空間)')程序的運行結果如下圖所示：圖1原始信號的示意圖Figure2k川里圖2db6連續(xù)小波變換后系數圖3haar連續(xù)小波變換后系數命令行輸出結果如下：NameSizeBytesClasscaption1x71142charcuspamax1x10248192doublearra

8、ay結論原始信號載入后有矩陣表示，其中矩陣大小為1*1024,矩陣名為cuspama*矩陣是以雙精度表示相應的圖像顯示如圖1所示。對原始先信號使用db6小波在尺度132上進行連續(xù)小波變換。相應系絕對值的圖像如圖2所示。從圖3的原始信號連續(xù)小波變換系數的示意圖可以清楚的看出,在t=710時，小波系數出現了一個倒錐形的區(qū)域，以此，可以推斷在該區(qū)域存在突變點。小波分析在檢測突變點應用中具有傅立葉變換無法比擬的優(yōu)越性。傅里葉變換，拉普拉斯變換和Z變換的意義【傅里葉變換】傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率論、統(tǒng)計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號

9、處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）。傅里葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。我們原來對一個信號其實是從時間的角度去理解的，不知不覺中,其實是按照時間把信號進行分割，每一部分只是一個時間點對應一個信號值，一個信號是一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換后，其實還是個疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個小信號是一個時間域上覆蓋整個區(qū)間的信號，但他確有固定的周期，或者說，給了一個周期，我們就能畫出一個整個區(qū)間上的分信號，那么給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫出其對應的曲線，就像給出時域上每一點的信號值一樣，不過如果信號是周期的話，頻域的更

10、簡單，只需要幾個甚至一個就可以了，時域則需要整個時間軸上每一點都映射出一個函數值。傅里葉變換就是將一個信號的時域表示形式映射到一個頻域表示形式；逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個信號的不同表示形式對一個信號做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個方面。幅度是表示這個頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義？頻域的相位與時域的相位有關系嗎？信號前一段的相位（頻域）與后一段的相位的變化是否與信號的頻率成正比關系？傅里葉變換就是把一個信號，分解成無數的正弦波（或者余弦波）信號。也就是說，用無數的正弦波，可以合成任何你所需要的信號。想一想這個問題：給你很多正弦信號，你怎樣才能合成你需要的

11、信號呢？答案是要兩個條件，一個是每個正弦波的幅度，另一個就是每個正弦波之間的相位差。所以現在應該明白了吧，頻域上的相位，就是每個正弦波之間的相位。傅里葉變換用于信號的頻率域分析，一般我們把電信號描述成時間域的數學模型，而數字信號處理對信號的頻率特性更感興趣，而通過傅立葉變換很容易得到信號的頻率域特性。傅里葉變換簡單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號中振幅較大（能量較高）信號對應的頻率，從而找出雜亂無章的信號中的主要振動頻率特點。如減速機故障時，通過傅里葉變換做頻譜分析，根據各級齒輪轉速、齒

12、數與雜音頻譜中振幅大的對比，可以快速判斷哪級齒輪損傷?！纠绽棺儞Q】工程數學中常用的一種積分變換。它是為簡化計算而建立的實變量函數和復變量函數間的一種函數變換對一個實變量函數作拉普拉斯變換，并在復數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個信號從時域上，轉換為復頻域（s域）上來表

13、示；在線性系統(tǒng)，控制自動化上都有廣泛的應用.【Z變換】在數字信號處理中，Z變換是一種非常重要的分析工具。但在通常的應用中，我們往往只需要分析信號或系統(tǒng)的頻率響應，也即是說通常只需要進行傅里葉變換即可。那么，為什么還要引進Z變換呢？【三者關系】傅里葉變換的物理意義非常清晰：將通常在時域表示的信號，分解為多個正弦信號的疊加。每個正弦信號用幅度、頻率、相位就可以完全表征。傅里葉變換之后的信號通常稱為頻譜，頻譜包括幅度譜和相位譜，分別表示幅度隨頻率的分布及相位隨頻率的分布。對一個信號來說，就包含的信息量來講，時域信號及其相應的傅里葉變換之后的信號是完全一樣的。那傅里葉變換有什么作用呢？因為有的信號主要

14、在時域表現其特性，如電容充放電的過程；而有的信號則主要在頻域表現其特性，如機械的振動，人類的語音等。若信號的特征主要在頻域表示的話，則相應的時域信號看起來可能雜亂無章，但在頻域則解讀非常方便。在實際中，當我們采集到一段信號之后，在沒有任何先驗信息的情況下，直覺是試圖在時域能發(fā)現一些特征，如果在時域無所發(fā)現的話，很自然地將信號轉換到頻域再看看能有什么特征。信號的時域描述與頻域描述，就像一枚硬幣的兩面，看起來雖然有所不同，但實際上都是同一個東西。正因為如此，在通常的信號與系統(tǒng)的分析過程中，我們非常關心傅里葉變換。拉普拉斯變換是以法國數學家拉普拉斯命名的一種變換方法，主要是針對連續(xù)信號的分析。拉普拉

15、斯和傅里葉都是同時代的人，他們所處的時代在法國是處于拿破侖時代，國力鼎盛。在科學上也取代英國成為當時世界的中心，在當時眾多的科學大師中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里葉就是他們中間最為璀璨的三顆星。傅里葉關于信號可以分解為正弦信號疊加的論文，其評審人即包括拉普拉斯和拉格朗日。傅里葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有一個最大的問題是其存在的條件比較苛刻，比如時域內絕對可積的信號才可能存在傅里葉變換。拉普拉斯變換可以說是推廣了這以概念。在自然界，指數信號ex是衰減最快的信號之一，對信號乘上指數信號之后，很容易滿足絕對可積的條件。因此將原始信號乘上指數信號之后一般都能滿足傅里葉變換的條件，這種變換就是拉普拉斯變換。這種變換能將微分方程轉化為代數方程，在18世紀計算機還遠未發(fā)明的時候，意義非常重大。從上面的分析可以看出，傅里葉變換可以看做是拉普拉斯的一種特殊形式，即所乘的指數信號為e0。也即是說拉普拉