(完整版)同濟大學---高數(shù)上冊知識點

1、高等數(shù)學上冊復習要點一、函數(shù)與極限（一）函數(shù)1、函數(shù)定義及性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）；2、反函數(shù)、復合函數(shù)、函數(shù)的運算；3、初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)4、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點；函數(shù)f（x）在x0連續(xù)Vlim/（x）=f（x0）xTx0第一類：左右極限均存在.間斷點可去間斷點、跳躍間斷點.第二類：左右極限、至少有一個不存在.無窮間斷點、振蕩間斷點5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點定理、介值定理及其推論.二）極限1、定義1）數(shù)列極限limx=aoVw>0,BNgN,Vn>N,x-a<£nnnTs2）函數(shù)

2、極限limf(x)=AoVs>0,35>0,Vx,當0<|x-x|<8時,f(x)-A|<£xTx0左極限：f(x0-)=limf(x)xTx0-右極限：f(x0)=limf(x)xTxJ1第1頁共9頁（完整版）同濟大學高數(shù)上冊知識點limf(x)=A存在of(x-)=f(x+)00xTXc2、極限存在準則1)夾逼準則：1) y<x<z(n>n)limx=annTgc、limy=limz=ai2) nnmgmgJ2）單調(diào)有界準則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.3、無窮?。ù螅┝?）定義：若lima=0則稱為無窮小量；若lim。=g則稱為無窮大量

3、.2）無窮小的階：高階無窮小、同階無窮小、等價無窮小、k階無窮小Th1Th2apoP=a+o(a)；aa；PP',lim匕存在，則lim_E_aa=lim學（無窮小代換）4、求極限的方法1)單調(diào)有界準則；2)夾逼準則；3)極限運算準則及函數(shù)連續(xù)性；4)兩個重要極限：sinxa)limp=1xT0x無窮小代換：(xT0)b)lim(1+x)x=lim(1+1)x=exxT0xT+g5)2第3頁共9頁a) xsinxtanxarcsinxarctanxb) 1-cosx1x2b)(完整版)同濟大學高數(shù)上冊知識點c)ex一1x(ax1xlna)d) ln(1+x)x('a"

4、)lna)e) (1+x)a1ax二、導數(shù)與微分一)導數(shù)1、"f(x)-f(x)定義：f(xo)=limJxTx0x一x0嚴()f(x)一f(x)左導數(shù)：/(xo)=limx0xTx-0r,()yf(x)一f(x)右導數(shù)：f+(x0)=limJxTxo2、3、x一xo函數(shù)/(x)在x0點可導o廣(xo)=廣(xo)幾何意義：八x0)為曲線y=/(x)在點£可導與連續(xù)的關系：0)處的切線的斜率.4、求導的方法1) 導數(shù)定義；2) 基本公式；3) 四則運算；4) 復合函數(shù)求導(鏈式法則)5) 隱函數(shù)求導數(shù)；6) 參數(shù)方程求導；7) 對數(shù)求導法.5、高階導數(shù)3第4頁共9頁（完整版

5、）同濟大學_高數(shù)上冊知識點d2yd（dy'1）定乂：dx2dx（dx丿2）Leibniz公式：Cv）n）=Cku（k）v（n_k）k=0二）微分1）定義：Ay=f（x0+Ax）-f（x0）=AAx+o（Ax），其中A與心無關.2）可微與可導的關系：可微o可導，且dy=廣（x°）Ax=八x°）dx三、微分中值定理與導數(shù)的應用一）中值定理1、Rolle羅爾定理：若函數(shù)/(x)滿足：1)f(x)eCa,b；2)f(x)eD(a,b)；3)f(a)=f(b)；則珀(a,b),使f程)=0.2、Lagrange拉格朗日中值定理*:若函數(shù)f(x)滿足：1)f(x)eCa,b；2

6、)f(x)eD(a,b)；則北e(a,b),使f(b)-f(a)=f代)(b-a).3、Cauchy柯西中值定理：若函數(shù)f(x),F(x)滿足：1)f(x),F(x)eCa,b；2)f(x),F(x)eD(a,b).3)F(x)豐0,xe(a,b)則北e(a,b),使f(b)-f(a)F(b)-F(a)f'G)二）洛必達法則（三）Taylor公式(完整版)同濟大學_高數(shù)上冊知識點四)單調(diào)性及極值1、單調(diào)性判別法：f(x)eCa,b,f(x)eD(ab)，則若f(x)>0，則f(x)單調(diào)增加；則若八x)<0，則f(x)單調(diào)減少.2、極值及其判定定理：a) 必要條件：f(x)在

7、x0可導，若x0為f(x)的極值點，則廣(x°)=0.b) 第一充分條件：f(x)在x0的鄰域內(nèi)可導，且f'(x0)二0，則若當x<x0時，八x)>0，當x>x0時，八x)<0，則x0為極大值點；若當x<x0時，f'(x)<0，當x>x0時，f'(x)>0，則x0為極小值點；若在x0的兩側(cè)廣(x)不變號，則x0不是極值點.c) 第二充分條件：f(x)在x0處二階可導，且廣代)=0，f(x0)"，則若f(x0)<0，則x0為極大值點；若f(x0)>0，則x0為極小值點.3、凹凸性及其判斷，拐點

8、4第7頁共9頁x+xf(x)+f(x)1)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，若Vxi?x2e/,f(弓丄)<厶厶則稱f(x)在x+xf(x)+f(x)區(qū)間I上的圖形是凹的;若些,x2e/,f(七丄)>厶厶則稱f(x)在區(qū)間I上的圖形是凸的.2)判定定理：f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上有一階、二階導數(shù)，則a) 若%e(a,b)，廣'(x)>0，則f(x)在a,b上的圖形是凹的；b) 若*e(a,b)，廣'(x)V0，則f(x)在a,b上的圖形是凸的.3)拐點：設y二f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，x0是f(x)的內(nèi)點，如果曲線y二f(x)經(jīng)過點(x0,f(x0)時，曲線的

9、凹凸性改變了則稱點(x0,f(x0)為曲線的拐點.五)不等式證明（完整版）同濟大學高數(shù)上冊知識點1、利用微分中值定理；2、利用函數(shù)單調(diào)性；3、利用極值（最值）.（六）方程根的討論1、連續(xù)函數(shù)的介值定理；2、Rolle定理；3、函數(shù)的單調(diào)性；4、極值、最值；5、凹凸性.（七）漸近線1、鉛直漸近線：hmf（x）=g，則x=a為一條鉛直漸近線；xTa2、水平漸近線：f（x）=b，則y二b為一條水平漸近線；xTg四、不定積分（一）概念和性質(zhì)1、原函數(shù)：在區(qū)間I上，若函數(shù)F（x）可導，且F（x）二f（x），則F（x）稱為f（x）的一個原函數(shù).2、不定積分：在區(qū)間I上，函數(shù)f（x）的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱

10、為f（x）在區(qū)間I上的不定積分.3、基本積分表（P188,13個公式）；4、性質(zhì)（線性性）.（完整版）同濟大學高數(shù)上冊知識點二）換元積分法1、第一類換元法（湊微分）：Jf2（x）0（x）dxf（u（x）2、第二類換元法（變量代換：三角代換、倒代換、根式代換等）jf（%）dxf叩（t）e（t）&_1三）分部積分法：Judv=uv_（反對冪指三，前u后V）t=（?（x）7第10頁共9頁四）有理函數(shù)積分1、“拆”；2、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）五、定積分一）概念與性質(zhì)：1、定義Jbf(x)dx=lim工f(g)Ax定義：a九TO.1iii=12、性質(zhì)：（7條）性質(zhì)7（積分中值定

11、理）函數(shù)/（x）在區(qū)間a,b上連續(xù)，則主ea,b，使Jbf(x)dxJbf(x)dx=f(g)(b一a)a(平均值：f(g)=ab_a)（二）微積分基本公式（NL公式）1、變上限積分：設（x）=Jxf（t）dt，則'（x）=f（x）ad推廣：J卩(x)f(t)dt=f卩(x)卩'(x)-fa(x)”(x)dxa(x)2、NL公式：若F（x）為f（x）的一個原函數(shù)，則Jbf（x）dx=F（b）-F（a）三）1、換元法和分部積分換元法：Ja2、分部積分法：f(x)dx=Af叩(t)0(t)dtaJbudv=uv1-Jbvduaaa反常積分無窮積分：1、J+"f(x)dx=limJtf(x)dxat+oaJbf(x)dx=limJbf(x)dx-