第2章 誤差理論及測量不確定度評定

1、第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 第第2章章 誤差理論與測量不確定度評定誤差理論與測量不確定度評定 2.1 測量誤差的基本原理測量誤差的基本原理2.2 測量誤差的分類測量誤差的分類2.3 隨機誤差的統(tǒng)計特性及其估算方法隨機誤差的統(tǒng)計特性及其估算方法2.4 系統(tǒng)誤差的特征及其減小的方法系統(tǒng)誤差的特征及其減小的方法2.5 疏失誤差及其判斷準(zhǔn)則疏失誤差及其判斷準(zhǔn)則2.6 測量數(shù)據(jù)的處理測量數(shù)據(jù)的處理2.7 測量不確定度測量不確定度2.8 測量誤差的合成與分配測量誤差的合成與分配2.9 最佳測量條件的確定與測量方案的設(shè)計最佳測量條件的確定與測量方案的設(shè)計第第2 2章章 測量

2、誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2.1 測量誤差基本原理測量誤差基本原理 任何測量儀器的測得值都不可能完全準(zhǔn)確地等于被測量的真值。 只要有測量，必然有測量結(jié)果，有測量結(jié)果必然產(chǎn)生誤差。2.1.1 基本概念基本概念1. 真值真值A(chǔ)0 一個物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實數(shù)值稱作它一個物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客觀大小或真實數(shù)值稱作它的真值。物理量的真值，只是一個理論值，在實際中是無法測得的。的真值。物理量的真值，只是一個理論值，在實際中是無法測得的。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2. 指定值指定值A(chǔ)s 由于絕對真值是不可知的，所以一般由國家設(shè)立各

3、種由于絕對真值是不可知的，所以一般由國家設(shè)立各種盡可能維持不變的實物標(biāo)準(zhǔn)盡可能維持不變的實物標(biāo)準(zhǔn)(或基準(zhǔn)或基準(zhǔn))，以，以法令法令形式指定其形式指定其所體現(xiàn)的量值作為所體現(xiàn)的量值作為計量單位計量單位的指定值。的指定值。例如，指定國家計量局保存的鉑銥合金圓柱體質(zhì)量原例如，指定國家計量局保存的鉑銥合金圓柱體質(zhì)量原器的質(zhì)量為器的質(zhì)量為1kg，指定國家天文臺保存的銫鐘組所產(chǎn)生的，指定國家天文臺保存的銫鐘組所產(chǎn)生的特定條件下銫特定條件下銫l33原子基態(tài)的兩個超精細(xì)能級之間躍遷所原子基態(tài)的兩個超精細(xì)能級之間躍遷所對應(yīng)的輻射的對應(yīng)的輻射的9192 63l 770個周期的持續(xù)時間為個周期的持續(xù)時間為1s(秒秒)

4、等。等。國際間通過互相比對保持一定程度的一致。國際間通過互相比對保持一定程度的一致。指定值也叫指定值也叫約定真值約定真值，一般用來代替真值。，一般用來代替真值。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 3. 實際值實際值A(chǔ) 由于絕對真值不可獲得，因此在實際測量中，一由于絕對真值不可獲得，因此在實際測量中，一般以高一級或數(shù)級的標(biāo)準(zhǔn)儀器或計量器具所測得的數(shù)般以高一級或數(shù)級的標(biāo)準(zhǔn)儀器或計量器具所測得的數(shù)值代替真值，這個值就稱為值代替真值，這個值就稱為實際值實際值，也叫作，也叫作相對真值相對真值，用用A表示。表示。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 4.

5、標(biāo)稱值標(biāo)稱值 測量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值，例如標(biāo)準(zhǔn)砝碼測量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值，例如標(biāo)準(zhǔn)砝碼上標(biāo)出的上標(biāo)出的l kg，標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的，標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的1 ，標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出，標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出來的電動勢來的電動勢1.018 6V，標(biāo)準(zhǔn)信號發(fā)生器度盤上標(biāo)出的輸，標(biāo)準(zhǔn)信號發(fā)生器度盤上標(biāo)出的輸出正弦波的頻率出正弦波的頻率10kHz等。等。由于制造和測量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響，由于制造和測量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響，標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值。為此，在標(biāo)出。為此，在標(biāo)出測量器具的標(biāo)稱值時，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)測量器具的標(biāo)稱值時，通常還要

6、標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級。確度等級。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 5. 示值示值 由測量器具指示的被測量量值稱為測量器具的示由測量器具指示的被測量量值稱為測量器具的示值，也稱測量器具的值，也稱測量器具的測得值測得值或或測量值測量值，它，它包括數(shù)值和包括數(shù)值和單位。單位。示值與測量儀表的讀數(shù)有區(qū)別示值與測量儀表的讀數(shù)有區(qū)別，讀數(shù)是儀器刻度，讀數(shù)是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字。例如以盤上直接讀到的數(shù)字。例如以l00分度表示分度表示50mA的電的電流表，當(dāng)指針指在刻度盤上流表，當(dāng)指針指在刻度盤上50處時，讀數(shù)是處時，讀數(shù)是50，而值，而值是是25mA。為便于核查測量

7、結(jié)果，在記錄測量數(shù)據(jù)時，。為便于核查測量結(jié)果，在記錄測量數(shù)據(jù)時，一般應(yīng)記錄儀表量程、讀數(shù)和示值一般應(yīng)記錄儀表量程、讀數(shù)和示值(當(dāng)然還要記載測量當(dāng)然還要記載測量方法，連接圖，測量環(huán)境，測量用儀器及編號及測量方法，連接圖，測量環(huán)境，測量用儀器及編號及測量者姓名、測量日期等者姓名、測量日期等)。對于數(shù)字顯示儀表，通常示值對于數(shù)字顯示儀表，通常示值和讀數(shù)是統(tǒng)一的。和讀數(shù)是統(tǒng)一的。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 6. 測量誤差測量誤差 在實際測量中，由于測量器具不準(zhǔn)確，測量手段在實際測量中，由于測量器具不準(zhǔn)確，測量手段不完善，環(huán)境影響，測量操作不熟練及工作疏忽等因不完善，環(huán)

8、境影響，測量操作不熟練及工作疏忽等因素，都會導(dǎo)致測量結(jié)果與被測量真值存在差異，這個素，都會導(dǎo)致測量結(jié)果與被測量真值存在差異，這個差異稱為測量誤差。差異稱為測量誤差。測量誤差的存在具有必然性和普遍性，不能被完測量誤差的存在具有必然性和普遍性，不能被完全消除全消除。如果測量誤差超出一定限度，測量工作及由。如果測量誤差超出一定限度，測量工作及由測量結(jié)果所得出的結(jié)論就失去了意義。測量結(jié)果所得出的結(jié)論就失去了意義。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 7. 單次測量和多次測量單次測量和多次測量 單次單次(一次一次)測量測量是用測量儀器對待測量進(jìn)行一次測是用測量儀器對待測量進(jìn)行一次

9、測量的過程。單次測量不能反映測量結(jié)果的精密度，一量的過程。單次測量不能反映測量結(jié)果的精密度，一般只能給出一個量的大致概念和規(guī)律。在測量精度要般只能給出一個量的大致概念和規(guī)律。在測量精度要求不高的場合，可以只進(jìn)行單次測量。求不高的場合，可以只進(jìn)行單次測量。 多次測量多次測量是用測量儀器對同一被測量進(jìn)行多次重是用測量儀器對同一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量的過程。依靠多次測量可以觀察測量結(jié)果一致復(fù)測量的過程。依靠多次測量可以觀察測量結(jié)果一致性的好壞即性的好壞即精密度精密度。通常要求較高的精密測量都須進(jìn)。通常要求較高的精密測量都須進(jìn)行多次測量，如儀表的比對校準(zhǔn)等。行多次測量，如儀表的比對校準(zhǔn)等。第第2 2章

10、章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 8. 等精度測量和非等精度測量等精度測量和非等精度測量 在保持在保持測量條件不變的情況下測量條件不變的情況下對同一被測量進(jìn)行對同一被測量進(jìn)行的多次測量過程稱作等精度測量。這里所說的測量條的多次測量過程稱作等精度測量。這里所說的測量條件包括所有對測量結(jié)果產(chǎn)生影響的客觀和主觀因素如件包括所有對測量結(jié)果產(chǎn)生影響的客觀和主觀因素如測量中使用的儀器、方法、測量環(huán)境，操作者的操作測量中使用的儀器、方法、測量環(huán)境，操作者的操作步驟和細(xì)心程度等。步驟和細(xì)心程度等。等精度測量的測量結(jié)果具有同樣等精度測量的測量結(jié)果具有同樣的可靠性。的可靠性。第第2 2章章 測量誤

11、差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 如果在同一被測量的多次重復(fù)測量中，不是所有測如果在同一被測量的多次重復(fù)測量中，不是所有測量條件都維持不變，這樣的測量稱為量條件都維持不變，這樣的測量稱為非等精度測量或不非等精度測量或不等精度測量等精度測量。 例如，改變測量方法，或更換測量儀器，或改變聯(lián)例如，改變測量方法，或更換測量儀器，或改變聯(lián)接方式，或測量環(huán)境發(fā)生變化，或前后不是一個操作者，接方式，或測量環(huán)境發(fā)生變化，或前后不是一個操作者，或同一操作者按不同的過程進(jìn)行操作，或操作過程中由或同一操作者按不同的過程進(jìn)行操作，或操作過程中由于疲勞等原因而影響了細(xì)心專致程度等于疲勞等原因而影響了細(xì)心專致程度等

12、第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2.1.2 測量誤差的表示方法測量誤差的表示方法 1. 絕對誤差絕對誤差 絕對誤差定義為絕對誤差定義為 x = x A0 (2.1-1)式中式中x為絕對誤差，為絕對誤差，x為測得值，為測得值， A0為被測量真值為被測量真值。真值真值A(chǔ)0一般無法得到，所以用實際值一般無法得到，所以用實際值A(chǔ)代替代替A0 ，因而，因而絕對誤差更有實際意義的定義是絕對誤差更有實際意義的定義是x = x A (2.1-2)第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 對于絕對誤差，應(yīng)注意幾個特點：對于絕對誤差，應(yīng)注意幾個特點： 絕對誤差是絕

13、對誤差是有單位有單位的量，其單位與測得值和實的量，其單位與測得值和實際值相同；際值相同； 絕對誤差是絕對誤差是有符號有符號的量，其符號表示出測量值的量，其符號表示出測量值與實際值的大小關(guān)系，若測得值較實際值大，則絕對與實際值的大小關(guān)系，若測得值較實際值大，則絕對誤差為正值，反之為負(fù)值；誤差為正值，反之為負(fù)值； 測得值與被測量實際值間的測得值與被測量實際值間的偏離程度和方向偏離程度和方向通通過絕對誤差來體現(xiàn)。過絕對誤差來體現(xiàn)。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2. 修正值修正值(校正值校正值)與絕對誤差的絕對值相等但符號相反的值稱為與絕對誤差的絕對值相等但符號相反的值

14、稱為修正修正值值，一般用符號，一般用符號C表示表示C = x = A x(2.1-3)測量儀器的測量儀器的修正值修正值，可通過檢定，由上一級標(biāo)準(zhǔn)給，可通過檢定，由上一級標(biāo)準(zhǔn)給出，它可以是出，它可以是表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式。利用修等形式。利用修正值和儀器示值，可得到被測量的實際值：正值和儀器示值，可得到被測量的實際值：A = x + C (2.1-4)第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 例例2.1-1 某電流表測得的電流示值為某電流表測得的電流示值為0.8 mA，查該，查該電流表檢定證書，得知該電流表在電流表檢定證書，得知該電流表在0.8mA

15、及其附近的修及其附近的修正值為正值為 0.02mA，那么被測電流的實際值為，那么被測電流的實際值為A = 0.8 + (-0.02) = 0.78 mA 第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 例例2.1-2 測量兩個電壓，其實際值為測量兩個電壓，其實際值為U1=100V，U2=5V；而測得值分別為；而測得值分別為101V和和6V。則絕對誤差為。則絕對誤差為U1 = 101-100 = 1(V)U2 = 6-5 = 1(V)二者的絕對誤差相同，但其誤差的影響不同，前者二者的絕對誤差相同，但其誤差的影響不同，前者比后者測量準(zhǔn)確。因此應(yīng)當(dāng)采用相對誤差來表征這一特比后者測量準(zhǔn)確

16、。因此應(yīng)當(dāng)采用相對誤差來表征這一特點。點。 第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 %10000Ax%100 xxx%100AxA(2.1-6)(2.1-7)(2.1-5)相對誤差又可分為實際相對誤差和示值相對誤差。相對誤差又可分為實際相對誤差和示值相對誤差。 實際相對誤差實際相對誤差( A )定義為定義為 示值相對誤差示值相對誤差( x )也叫標(biāo)稱相對誤差，定義為也叫標(biāo)稱相對誤差，定義為 3. 相對誤差相對誤差相對誤差相對誤差( 0 )定義為定義為 如果測量誤差不大，可用示值相對誤差如果測量誤差不大，可用示值相對誤差x代替實際誤差代替實際誤差A(yù)，但若和但若和A相差較大，

17、兩者應(yīng)加以區(qū)別。相差較大，兩者應(yīng)加以區(qū)別。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 滿度相對誤差滿度相對誤差 滿度相對誤差定義為儀器量程內(nèi)滿度相對誤差定義為儀器量程內(nèi)最大絕對誤差最大絕對誤差xm與與測量儀器滿度值測量儀器滿度值(量程上限值量程上限值 ) xm的百分比值的百分比值 %100mmmxx(2.1-8) 滿度相對誤差也叫作滿度相對誤差也叫作滿度誤差滿度誤差和和引用誤差引用誤差。通過滿度誤差實際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對誤通過滿度誤差實際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對誤差的最大值差的最大值，即，即mmmxx(2.1-9)電工儀表用引用誤差電工儀表用引用誤差(m)來劃分準(zhǔn)確度等

18、級來劃分準(zhǔn)確度等級S：0.1, 0.2,0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0。例。例S=1， m1%。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 黑、棕、紅、橙、黃、綠、藍(lán)、紫、灰、白、金、銀黑、棕、紅、橙、黃、綠、藍(lán)、紫、灰、白、金、銀 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.1 0.01誤差誤差: 1% 2 0.5 0.2 0.1 5 10第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 的的電電阻阻表表示示%51 . 5 的的電電阻阻表表示示%20 .15 倍倍率率10n誤誤差差有效有效數(shù)字?jǐn)?shù)字有效有效數(shù)字?jǐn)?shù)字誤誤差差倍倍率率10n第第2 2章

19、章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 某某1.0級電流表，滿度值級電流表，滿度值xml00 A，求絕對，求絕對誤差，以及測量值分別為誤差，以及測量值分別為x1100A，x280A，x320A時的示值相對誤差。時的示值相對誤差。 解：由式解：由式(2.l-9)得到絕對誤差得到絕對誤差A(yù)Axxmmm11001001 例例2.1-3 第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 可認(rèn)為絕對誤差是不隨測量值改變的。而測得值分別可認(rèn)為絕對誤差是不隨測量值改變的。而測得值分別為為100A、80A、20A時的示值相對誤差分別為：時的示值相對誤差分別為：%5%100201%100%

20、100%25. 1%100801%100%100%1%1001001%100%100333222111xxxxxxxxxxxxmxmxmx在進(jìn)行量程選擇時應(yīng)盡可能使示值能接近滿度值，在進(jìn)行量程選擇時應(yīng)盡可能使示值能接近滿度值，一般以示值不小于滿度值的一般以示值不小于滿度值的23為宜。為宜。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 要測量要測量100的溫度，現(xiàn)有的溫度，現(xiàn)有0.5級、測量范圍為級、測量范圍為0300和和l.0級、測量范圍為級、測量范圍為0l00的兩種溫度計，試分的兩種溫度計，試分析各自產(chǎn)生的示值誤差。析各自產(chǎn)生的示值誤差。 解：對于解：對于0.5級溫度計，可能

21、產(chǎn)生的最大絕對誤差級溫度計，可能產(chǎn)生的最大絕對誤差Cxsxxmmmm5 . 13001005 . 010011111該量程內(nèi)絕對誤差該量程內(nèi)絕對誤差x1=xm1=1.5，示值相對誤差，示值相對誤差%5 . 11001005 . 1%100111xxx 例例2.1-4 第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 同樣可算出用同樣可算出用l.0級溫度計可能產(chǎn)生的絕對誤差和級溫度計可能產(chǎn)生的絕對誤差和示值相對誤差示值相對誤差%0 . 1%1001000 . 1%1000 . 11001000 . 12222222xxCxxxxmmm 可見用可見用1.0級低量程溫度計測量所產(chǎn)生的示值

22、相對級低量程溫度計測量所產(chǎn)生的示值相對誤差反而小一些，因此選誤差反而小一些，因此選l.0級溫度計較為合適。級溫度計較為合適。 在實際測量操作時，一般應(yīng)先在大量程下，測得被在實際測量操作時，一般應(yīng)先在大量程下，測得被測量的大致數(shù)值，而后選擇合適的量程再行測量，以盡測量的大致數(shù)值，而后選擇合適的量程再行測量，以盡可能減小相對誤差?？赡軠p小相對誤差。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 分貝誤差分貝誤差分貝誤差是用對數(shù)形式表示的一種誤差，常用于表示分貝誤差是用對數(shù)形式表示的一種誤差，常用于表示增益增益(衰減衰減)或聲強等傳輸函數(shù)的值，單位為分貝或聲強等傳輸函數(shù)的值，單位為分貝

23、(dB) 。 設(shè)雙口網(wǎng)絡(luò)設(shè)雙口網(wǎng)絡(luò)(比如放大器，或衰減器比如放大器，或衰減器)輸入、輸出電壓的輸入、輸出電壓的測得值分別為測得值分別為Ui和和Uo，則電壓增益，則電壓增益Au的測得值為的測得值為 iouUUA (2.1-10)用對數(shù)表示為用對數(shù)表示為)(lg20dBAGux(2.1-11)Gx稱為增益測得值的分貝值。稱為增益測得值的分貝值。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 設(shè)設(shè)A為電壓增益實際值，其分貝值為電壓增益實際值，其分貝值G=20lgA由式由式(2.1-2)及及(2.1-11)，有，有AAxAAu(2.1-12)(2.1-13)1lg(20)1lg(20lg

24、20)1 (lg20)lg(20AAGAAAAAAAAGx第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 由此得到增益誤差由此得到增益誤差)(1lg(20)(dBAAdBGGxdB (2.1-14)令令 ，則式，則式(2.1-14)可寫成可寫成xxAAAAA,)(69. 8 )1lg(20)1lg(20dBxxAdB (2.1-15) 上式即為分貝誤差的一般定義式。上式即為分貝誤差的一般定義式。 若測量的是功率增益，分貝誤差定義為若測量的是功率增益，分貝誤差定義為)(1lg(10dBxdB (2.1-16)第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 例例2.1-

25、5 某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓Ui1.2mV時，測得輸出電壓時，測得輸出電壓Uo6 000mV，設(shè)，設(shè)Ui誤差可忽略，誤差可忽略，Uo的測量誤差的測量誤差 2 = 3%，求：放大器電壓放大倍數(shù)的絕，求：放大器電壓放大倍數(shù)的絕對誤差對誤差A(yù)，相對誤差，相對誤差 x 及分貝誤差及分貝誤差 dB 。 解：電壓放大倍數(shù)解：電壓放大倍數(shù)50002 . 16000iouUUA電壓增益的分貝值電壓增益的分貝值dBAGux745000lg20lg20輸出電壓絕對誤差輸出電壓絕對誤差)(180%)3(6000mVUo第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 因忽略因

26、忽略Ui誤差，所以電壓增益絕對誤差誤差，所以電壓增益絕對誤差1502 . 1180ioUUA電壓增益相對誤差電壓增益相對誤差%3%1005000150uxAA電壓增益分貝誤差電壓增益分貝誤差)(26. 0)03. 01lg(20)1lg(20dBxdB實際電壓分貝增益實際電壓分貝增益)(26. 074dBG第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 )(5 . 05 .2020dBxdB如果在測量中，使用的儀器是用分貝作單位，則分如果在測量中，使用的儀器是用分貝作單位，則分貝誤差直接按貝誤差直接按 x = x A 來計算。例如某衰減器標(biāo)稱值來計算。例如某衰減器標(biāo)稱值為為20d

27、B，經(jīng)檢定為，經(jīng)檢定為20.5dB，則其分貝誤差，則其分貝誤差dB為為第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2.1.3 容許誤差容許誤差 測量儀器的誤差是產(chǎn)生測量誤差的主要因素。為了測量儀器的誤差是產(chǎn)生測量誤差的主要因素。為了保證儀器示值的準(zhǔn)確，必須在出廠時由檢驗部門對其誤保證儀器示值的準(zhǔn)確，必須在出廠時由檢驗部門對其誤差進(jìn)行檢驗。差進(jìn)行檢驗。容許誤差是指測量儀器在規(guī)定使用條件下容許誤差是指測量儀器在規(guī)定使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍。可能產(chǎn)生的最大誤差范圍。容許誤差有時就稱作儀器誤容許誤差有時就稱作儀器誤差，它是衡量電子測量儀器質(zhì)量的最重要的指標(biāo)。差，它是衡量電子測

28、量儀器質(zhì)量的最重要的指標(biāo)。 在在14節(jié)曾敘及的電子測量儀器的精度和穩(wěn)定性節(jié)曾敘及的電子測量儀器的精度和穩(wěn)定性等，都可用儀器的容許誤差來表征。我國部頒標(biāo)準(zhǔn)等，都可用儀器的容許誤差來表征。我國部頒標(biāo)準(zhǔn)電電子測量儀器誤差的一般規(guī)定子測量儀器誤差的一般規(guī)定中規(guī)定：用中規(guī)定：用工作誤差、固工作誤差、固有誤差、影響誤差和穩(wěn)定誤差有誤差、影響誤差和穩(wěn)定誤差等四項指標(biāo)來描述電子測等四項指標(biāo)來描述電子測量儀器的容許誤差。量儀器的容許誤差。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 l. 工作誤差工作誤差 工作誤差是工作誤差是在額定工作條件下儀器誤差的極限值在額定工作條件下儀器誤差的極限值，即來

29、自儀器外部的各種影響量和儀器內(nèi)部的影響特性為即來自儀器外部的各種影響量和儀器內(nèi)部的影響特性為任意可能的組合時，儀器誤差可能達(dá)到的最大極限值。任意可能的組合時，儀器誤差可能達(dá)到的最大極限值。這種表示方法的優(yōu)點是，這種表示方法的優(yōu)點是， 使用方便，可以利用工作使用方便，可以利用工作誤差直接估計測量結(jié)果誤差的最大范圍。誤差直接估計測量結(jié)果誤差的最大范圍。缺點是，工作誤差是在最不利的組合條件下給出的，缺點是，工作誤差是在最不利的組合條件下給出的，而實際使用中構(gòu)成而實際使用中構(gòu)成最不利組合的可能性很小最不利組合的可能性很小。因此，估。因此，估計測量結(jié)果的誤差會偏大。計測量結(jié)果的誤差會偏大。第第2 2章章

30、 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2. 固有誤差固有誤差 固有誤差是當(dāng)儀器的各種影響量和影響特性處于固有誤差是當(dāng)儀器的各種影響量和影響特性處于基準(zhǔn)條件基準(zhǔn)條件(參見表參見表2.1-1)時，儀器所具有的誤差。時，儀器所具有的誤差。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 3. 影響誤差影響誤差 影響誤差是當(dāng)影響誤差是當(dāng)一個影響量一個影響量在其額定使用范圍內(nèi)在其額定使用范圍內(nèi)(或一或一個影響特性在其有效范圍內(nèi)個影響特性在其有效范圍內(nèi))取任一值，而其它影響量和取任一值，而其它影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件時所測得的誤差。例如溫度誤影響特性均處于基準(zhǔn)條件時所測得的誤差

31、。例如溫度誤差、頻率誤差等。差、頻率誤差等。 只有當(dāng)某一影響量在工作誤差中起重要作用時才給只有當(dāng)某一影響量在工作誤差中起重要作用時才給出，它是一種誤差的極限。出，它是一種誤差的極限。 4. 穩(wěn)定誤差穩(wěn)定誤差 穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值在其他影響量和影響特性在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下，于規(guī)定時間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限保持恒定的情況下，于規(guī)定時間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限。習(xí)。習(xí)慣上以相對誤差形式給出或者注明最長連續(xù)工作時間。慣上以相對誤差形式給出或者注明最長連續(xù)工作時間。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 例如，例如，DS-33型交流數(shù)字電壓表標(biāo)注的容許誤

32、差：型交流數(shù)字電壓表標(biāo)注的容許誤差：(1) 工作誤差工作誤差：50Hz1MHz, 10mV1V量程為量程為(1.5%讀數(shù)讀數(shù)滿量程的滿量程的0.5%)；(2) 固有誤差固有誤差：1kHz, 1V時為時為0.4%；(3) 溫度影響誤差溫度影響誤差： 1kHz, 1V時溫度系數(shù)為時溫度系數(shù)為10-4/；頻率影響誤差頻率影響誤差：50Hz1MHz為為(0.5%讀數(shù)讀數(shù)滿滿量程的量程的0.1%)；(4) 穩(wěn)定誤差穩(wěn)定誤差：在溫度在溫度-10 +40 ，相對濕度，相對濕度80%以下，大氣壓以下，大氣壓為為86106kPa的環(huán)境內(nèi)，連續(xù)工作的環(huán)境內(nèi)，連續(xù)工作7小時。小時。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)

33、處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2.2 測量誤差的來源測量誤差的來源 1. 儀器誤差儀器誤差 儀器誤差又稱設(shè)備誤差，是由于設(shè)計、制造、裝配、儀器誤差又稱設(shè)備誤差，是由于設(shè)計、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化、機械部檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化、機械部件磨損、疲勞等因素而使測量儀器設(shè)備帶有的誤差。件磨損、疲勞等因素而使測量儀器設(shè)備帶有的誤差。儀器誤差細(xì)分為：儀器誤差細(xì)分為：讀數(shù)誤差讀數(shù)誤差，包括出廠校準(zhǔn)定度不，包括出廠校準(zhǔn)定度不準(zhǔn)確產(chǎn)生的校準(zhǔn)誤差、刻度誤差、讀數(shù)分辨力有限而造成準(zhǔn)確產(chǎn)生的校準(zhǔn)誤差、刻度誤差、讀數(shù)分辨力有限而造成的讀數(shù)誤差及數(shù)字式儀表的量化誤差的讀數(shù)

34、誤差及數(shù)字式儀表的量化誤差(l個字誤差個字誤差)； 儀儀器內(nèi)部噪聲引起的器內(nèi)部噪聲引起的噪聲誤差噪聲誤差； 元器件疲勞、老化及周圍元器件疲勞、老化及周圍環(huán)境變化造成的環(huán)境變化造成的穩(wěn)定誤差穩(wěn)定誤差； 儀器響應(yīng)的滯后現(xiàn)象造成的儀器響應(yīng)的滯后現(xiàn)象造成的動態(tài)誤差動態(tài)誤差；探頭等輔助設(shè)備帶來的探頭等輔助設(shè)備帶來的其他方面的誤差其他方面的誤差。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2. 影響誤差影響誤差 影響誤差是指影響誤差是指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。造成的誤差。對于電子測量而言，最主要的影響因素是對于電子測量而言，最主要的影響因素

35、是環(huán)境溫環(huán)境溫度、電源電壓和電磁干擾度、電源電壓和電磁干擾等。當(dāng)環(huán)境條件符合要求時，等。當(dāng)環(huán)境條件符合要求時，影響誤差通?？刹挥杩紤]。但在精密測量及計量中，影響誤差通?？刹挥杩紤]。但在精密測量及計量中，需根據(jù)測量現(xiàn)場的溫度、濕度、電源電壓等影響數(shù)值需根據(jù)測量現(xiàn)場的溫度、濕度、電源電壓等影響數(shù)值求出各項影響誤差，以便根據(jù)需要做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處求出各項影響誤差，以便根據(jù)需要做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理。理。 第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 3、方法誤差、方法誤差由于測量方法不合理所造成的誤差稱為由于測量方法不合理所造成的誤差稱為方法誤差方法誤差。例如，用普通萬用表測量高內(nèi)阻回路的

36、電壓，由于萬例如，用普通萬用表測量高內(nèi)阻回路的電壓，由于萬用表的輸入電阻較低而引起的誤差。用表的輸入電阻較低而引起的誤差。測量所依據(jù)的理論不嚴(yán)密，或?qū)y量計算公式不適當(dāng)測量所依據(jù)的理論不嚴(yán)密，或?qū)y量計算公式不適當(dāng)簡化等原因而造成的誤差稱為簡化等原因而造成的誤差稱為理論誤差理論誤差。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 4. 人員誤差人員誤差 人身誤差主要指由于測量者感官的分辨能力、視覺疲人身誤差主要指由于測量者感官的分辨能力、視覺疲勞、固有習(xí)慣等而對測量實驗中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)勞、固有習(xí)慣等而對測量實驗中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)確而造成的誤差。例如指針式儀表刻度的讀取，

37、諧振法確而造成的誤差。例如指針式儀表刻度的讀取，諧振法測量測量L、C、Q時諧振點的判斷等，都很容易產(chǎn)生誤差。時諧振點的判斷等，都很容易產(chǎn)生誤差。 減小人身誤差的主要途徑減小人身誤差的主要途徑有：提高測量者的操作技有：提高測量者的操作技能和工作責(zé)任心；采用更合適的測量方法；采用數(shù)字式能和工作責(zé)任心；采用更合適的測量方法；采用數(shù)字式顯示的客觀讀數(shù)以避免指針式儀表的讀數(shù)視差等。顯示的客觀讀數(shù)以避免指針式儀表的讀數(shù)視差等。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2.3 誤差的分類誤差的分類 根據(jù)誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為根據(jù)誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨系統(tǒng)誤差、隨機誤差

38、和疏失誤差機誤差和疏失誤差。 1. 系統(tǒng)誤差 在多次在多次等精度測量等精度測量同一量值時，誤差的絕對值和同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變；或當(dāng)條件改變時符號保持不變；或當(dāng)條件改變時按某種規(guī)律變化按某種規(guī)律變化的誤的誤差稱為系統(tǒng)誤差。差稱為系統(tǒng)誤差。(1) 如果系統(tǒng)誤差的大小、符號不變，則稱為如果系統(tǒng)誤差的大小、符號不變，則稱為恒定恒定系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差，否則稱為，否則稱為變值系統(tǒng)誤差變值系統(tǒng)誤差。變值系統(tǒng)誤差又。變值系統(tǒng)誤差又可分為可分為累進(jìn)性系統(tǒng)誤差累進(jìn)性系統(tǒng)誤差、周期性系統(tǒng)誤差周期性系統(tǒng)誤差和和按復(fù)雜規(guī)按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差律變化的系統(tǒng)誤差。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量

39、誤差分析與數(shù)據(jù)處理 圖圖2.3-1 系統(tǒng)誤差的特征系統(tǒng)誤差的特征a-恒定系統(tǒng)誤差；恒定系統(tǒng)誤差；b-累進(jìn)性系統(tǒng)誤差；累進(jìn)性系統(tǒng)誤差；c-周期性系統(tǒng)誤差；周期性系統(tǒng)誤差； d-屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。0第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 (2) 系統(tǒng)誤差的主要特點是，系統(tǒng)誤差的主要特點是，測量條件一經(jīng)確定，測量條件一經(jīng)確定，誤差即為確切的數(shù)值誤差即為確切的數(shù)值，用多次測量取平均值的辦法不，用多次測量取平均值的辦法不能改變或消除誤差，具有能改變或消除誤差，具有可重復(fù)性可重復(fù)性。系統(tǒng)誤差體現(xiàn)測量的準(zhǔn)確度，系統(tǒng)誤差小，表明測系統(tǒng)誤差體現(xiàn)測量

40、的準(zhǔn)確度，系統(tǒng)誤差小，表明測量的準(zhǔn)確度高。量的準(zhǔn)確度高。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 (3) 產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因主要原因有：有：測量儀器設(shè)計原理及制作上的缺陷。例如刻度偏差，測量儀器設(shè)計原理及制作上的缺陷。例如刻度偏差，刻度盤或指針安裝偏心，使用過程中零點漂移，安放位刻度盤或指針安裝偏心，使用過程中零點漂移，安放位置不當(dāng)?shù)取Ｖ貌划?dāng)?shù)?。測量時的環(huán)境條件如溫度、濕度及電源電壓等與儀測量時的環(huán)境條件如溫度、濕度及電源電壓等與儀器使用要求不一致等。器使用要求不一致等。采用近似的測量方法或近似的計算公式等。采用近似的測量方法或近似的計算公式等。測量人員估

41、計讀數(shù)時習(xí)慣偏于某方向等原因所引起測量人員估計讀數(shù)時習(xí)慣偏于某方向等原因所引起的誤差。的誤差。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2. 隨機誤差 (1) 隨機誤差又稱偶然誤差，是指相同條件下對同隨機誤差又稱偶然誤差，是指相同條件下對同一量值進(jìn)行多次等精度測量時，其絕對值和符號均以一量值進(jìn)行多次等精度測量時，其絕對值和符號均以不可預(yù)定的方式不可預(yù)定的方式無規(guī)則變化無規(guī)則變化的誤差。的誤差。 (2) 就單次測量而言，隨機誤差沒有規(guī)律，其大小就單次測量而言，隨機誤差沒有規(guī)律，其大小和方向完全不可預(yù)定，但當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，其總和方向完全不可預(yù)定，但當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，其總體

42、服從統(tǒng)計學(xué)規(guī)律，多數(shù)情況下接近體服從統(tǒng)計學(xué)規(guī)律，多數(shù)情況下接近正態(tài)分布正態(tài)分布。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 圖圖2.3-2 隨機誤差隨機誤差i的正態(tài)分布曲線的正態(tài)分布曲線 O()隨機誤差的特點：隨機誤差的特點：有界性有界性對稱性對稱性(1) 抵償性抵償性隨機誤差體現(xiàn)了多次測量的精密度，隨機誤差小，隨機誤差體現(xiàn)了多次測量的精密度，隨機誤差小，則精密度高。則精密度高。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 (3) 產(chǎn)生隨機誤差的產(chǎn)生隨機誤差的主要原因主要原因包括：包括： 測量儀器元器件產(chǎn)生噪聲，零部件配合的不穩(wěn)測量儀器元器件產(chǎn)生噪聲，零部件配

43、合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。定、摩擦、接觸不良等。 溫度及電源電壓的無規(guī)則波動，電磁干擾，地溫度及電源電壓的無規(guī)則波動，電磁干擾，地基振動等?；駝拥取?測量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)測量人員感覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。不穩(wěn)定等。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 3. 疏失誤差（粗大誤差）疏失誤差（粗大誤差） (1) 在一定的測量條件下，測得值明顯地偏離實際在一定的測量條件下，測得值明顯地偏離實際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差。值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差。(2) 含有粗大誤差的測得值稱為含有粗大誤差的測得值稱為壞

44、值壞值，應(yīng)當(dāng)剔除不，應(yīng)當(dāng)剔除不用，它不能反映被測量的真實數(shù)值。用，它不能反映被測量的真實數(shù)值。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 (3) 產(chǎn)生粗大誤差的產(chǎn)生粗大誤差的主要原因主要原因有：有： 測量方法不當(dāng)或錯誤。例如用普通萬用表電壓檔測量方法不當(dāng)或錯誤。例如用普通萬用表電壓檔直接測量高內(nèi)阻電源的開路電壓，用普通萬用表交流電直接測量高內(nèi)阻電源的開路電壓，用普通萬用表交流電壓檔測量高頻交流信號的幅值等壓檔測量高頻交流信號的幅值等.測量操作疏忽和失誤。例如未按規(guī)程操作，讀錯測量操作疏忽和失誤。例如未按規(guī)程操作，讀錯讀數(shù)或單位，或記錄及計算錯誤等讀數(shù)或單位，或記錄及計算錯誤等

45、. 測量條件的突然變化。例如電源電壓突然增高或測量條件的突然變化。例如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾，機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈降低，雷電干擾，機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。這類變化雖然也帶有隨機性，但由于它造成的變化等。這類變化雖然也帶有隨機性，但由于它造成的示值明顯偏離實際值，因此將其列入粗大誤差范疇。示值明顯偏離實際值，因此將其列入粗大誤差范疇。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 圖圖2.3-3 三種誤差同時存在的示意圖三種誤差同時存在的示意圖以上三種誤差同時存在的情況，可以用圖以上三種誤差同時存在的情況，可以用圖2.3-3表示，表示，其中其中

46、A 0表示真值；小黑點表示各次表示真值；小黑點表示各次測量值測量值xi。i表示隨機誤差；表示隨機誤差；表示系統(tǒng)誤差；表示系統(tǒng)誤差；xk表示壞值表示壞值第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 誤差處理方法誤差處理方法： 剔除剔除：剔除含有疏失誤差的測量值；：剔除含有疏失誤差的測量值； 求平均值求平均值：對于隨機誤差采用統(tǒng)計學(xué)求平均值：對于隨機誤差采用統(tǒng)計學(xué)求平均值的方法來消弱它的影響；的方法來消弱它的影響； 標(biāo)定標(biāo)定+修正修正：對于系統(tǒng)誤差，需在測量工作前：對于系統(tǒng)誤差，需在測量工作前或在測量工作過程中采取一定的技術(shù)措施（例如，標(biāo)或在測量工作過程中采取一定的技術(shù)措施（例如，

47、標(biāo)定定+修正）來減小它的影響。修正）來減小它的影響。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2.3 隨機誤差的統(tǒng)計特性及其估算方法隨機誤差的統(tǒng)計特性及其估算方法 如前所述，多次如前所述，多次等精度測量等精度測量時產(chǎn)生的隨機誤差服時產(chǎn)生的隨機誤差服從從統(tǒng)計學(xué)規(guī)律統(tǒng)計學(xué)規(guī)律。本節(jié)從工程應(yīng)用角度，利用概率統(tǒng)計。本節(jié)從工程應(yīng)用角度，利用概率統(tǒng)計的一些基本結(jié)論，研究隨機誤差的表征及對含有隨機的一些基本結(jié)論，研究隨機誤差的表征及對含有隨機誤差的測量數(shù)據(jù)的處理方法。誤差的測量數(shù)據(jù)的處理方法。 見：見：P23第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2.4.1 測量值

48、的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差測量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差 1. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 設(shè)對被測量設(shè)對被測量x進(jìn)行進(jìn)行n次等精度測量，得到次等精度測量，得到n個測得值個測得值nxxxx,321由于隨機誤差的存在，這些測得值也是隨機變量。由于隨機誤差的存在，這些測得值也是隨機變量。定義定義n個測得值個測得值(隨機變量隨機變量)的的算術(shù)平均值算術(shù)平均值為為niixnx11 (2.4-1) 式中式中 x 也稱作也稱作樣本平均值樣本平均值。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 (2.4-2)式中式中 Ex 也稱作總體平均值。也稱作總體平均值。)1(lim1niinxxnEn當(dāng)測量次數(shù)當(dāng)測量次數(shù) 時

49、，樣本平均值時，樣本平均值 x 的極限的極限定義為測得值的定義為測得值的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 假設(shè)上面測得值中不含粗大誤差，則假設(shè)上面測得值中不含粗大誤差，則xiiEx 0AEx，即，即ixiExxEA0，即，即隨機誤差隨機誤差系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差絕對誤差絕對誤差iiiAxx0即即絕對誤差等于隨機誤差和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和絕對誤差等于隨機誤差和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和。(2.4-3)第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 圖圖2.4-1 用射擊比喻測量用射擊比喻測量例：例：用射擊比喻測量，圖用射擊比喻測量，圖2.4-1中射擊中射擊(a)(d) ，哪些可能，哪些可能不含系統(tǒng)誤差？不含系統(tǒng)誤差？

50、第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2. 隨機誤差的算術(shù)平均值隨機誤差的算術(shù)平均值(2.4-5)0)1(lim1niinn由隨機誤差的抵償性知，當(dāng)測量次數(shù)由隨機誤差的抵償性知，當(dāng)測量次數(shù)n為無窮大為無窮大時，時，Ex=A0，隨機誤差的算術(shù)平均值，隨機誤差的算術(shù)平均值 將趨于將趨于0，即，即即隨機誤差的數(shù)學(xué)期望等于即隨機誤差的數(shù)學(xué)期望等于0。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 實際上不可能做到無限多次的測量，對于有限次測實際上不可能做到無限多次的測量，對于有限次測量，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時近似認(rèn)為量，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時近似認(rèn)為011niin(2.4

51、-6)(2.4-7)0Ax 即即由此可見，由此可見，在僅有隨機誤差的情況下在僅有隨機誤差的情況下，當(dāng)，當(dāng)測量次數(shù)測量次數(shù)n足夠多時足夠多時，測量值的平均值接近于真值，因此，通常將經(jīng)，測量值的平均值接近于真值，因此，通常將經(jīng)多次等精密度測量的算術(shù)平均值作為多次等精密度測量的算術(shù)平均值作為真值的最佳估計真值的最佳估計，即，即(2.4-8)xExA0第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 3. 殘差殘差各次測得值與算術(shù)平均值之差，定義為各次測得值與算術(shù)平均值之差，定義為剩余誤差剩余誤差或殘差或殘差：xxuii對上式兩邊分別求和，有對上式兩邊分別求和，有011111niiniin

52、iiniixnnxxnxu(2.4-10)第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 4. 方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差與標(biāo)準(zhǔn)差 隨機誤差反映了實際測量的精密度即測量值的分隨機誤差反映了實際測量的精密度即測量值的分散程度散程度。由于隨機誤差的抵償性，不能用算術(shù)平均值。由于隨機誤差的抵償性，不能用算術(shù)平均值來估計測量的精密度，而應(yīng)使用方差進(jìn)行描述。來估計測量的精密度，而應(yīng)使用方差進(jìn)行描述。方差方差定義為定義為 時測量值與期望值之差的平時測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值，即方的統(tǒng)計平均值，即n212)(1limxniinExn (2.4-11)因為隨機誤差因為隨機誤差 ，故，故 niin

53、n1221lim(2.4-12)xiiEx 第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 由于實際測量中由于實際測量中i都帶有單位都帶有單位(mV，A等等)，因而，因而方方差差 2是相應(yīng)單位的平方，使用不方便。是相應(yīng)單位的平方，使用不方便。將式將式(2.4-12)兩邊開方取正平方根，得兩邊開方取正平方根，得niinn121lim (2.4-13) 式中式中 定義為測量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差或均方根誤差，也稱標(biāo)定義為測量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差或均方根誤差，也稱標(biāo)準(zhǔn)偏差，簡稱準(zhǔn)偏差，簡稱標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差。 反映了測量的精密度反映了測量的精密度， 小表示精小表示精密度高，測量值集中，密度高，測量值集中， 大

54、表示精密度低，測量值分散。大表示精密度低，測量值分散。 niinn11lim (2.4-14)有時還會用到平均誤差，定義為有時還會用到平均誤差，定義為第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2.4.2 隨機誤差的正態(tài)分布隨機誤差的正態(tài)分布1. 正態(tài)分布正態(tài)分布理論和測量實踐都證明，測得值理論和測量實踐都證明，測得值xi與隨機誤差與隨機誤差i都都按一定的概率出現(xiàn)。在大多數(shù)情況下，測得值在其期按一定的概率出現(xiàn)。在大多數(shù)情況下，測得值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對期望值偏離的增大，望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。表現(xiàn)在隨機誤差上，等于零的出

55、現(xiàn)的概率急劇減小。表現(xiàn)在隨機誤差上，等于零的隨機誤差出現(xiàn)的概率最大，隨著隨機誤差絕對值的加隨機誤差出現(xiàn)的概率最大，隨著隨機誤差絕對值的加大，出現(xiàn)的概率急劇減小。測得值和隨機誤差的這種大，出現(xiàn)的概率急劇減小。測得值和隨機誤差的這種統(tǒng)計分布規(guī)律，稱為正態(tài)分布，如圖統(tǒng)計分布規(guī)律，稱為正態(tài)分布，如圖2.4-1和圖和圖2.4-2所所示。示。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 圖圖2.4-2 xi的正態(tài)分布曲線的正態(tài)分布曲線 圖圖2.4-3 i的正態(tài)分布曲線的正態(tài)分布曲線222)(21)(xExex22221)(e(2.4-15)(2.4-16)第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)

56、處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 )( 由圖由圖2.4-3可以看到如下特征：可以看到如下特征： 愈小，愈小， 愈大，說明絕對值小的隨機誤差出愈大，說明絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率小，現(xiàn)的概率大；相反，絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率小，隨著隨著的加大，的加大， 很快趨于零，很快趨于零，即超過一定界限的隨機即超過一定界限的隨機誤差實際上幾乎不出現(xiàn)誤差實際上幾乎不出現(xiàn)(隨機誤差的有界性隨機誤差的有界性)； 大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等(隨機隨機誤差的誤差的對稱性和抵償性對稱性和抵償性)。 愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明測量值愈

57、集愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明測量值愈集中，精密度高中，精密度高，反之，反之愈大，曲線愈平坦，表明測量值分愈大，曲線愈平坦，表明測量值分散，精密度低。散，精密度低。)(第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 正態(tài)分布又稱高斯分布，在誤差理論中占有重要的正態(tài)分布又稱高斯分布，在誤差理論中占有重要的地位。由地位。由眾多相互獨立的因素眾多相互獨立的因素的隨機微小變化所造成的的隨機微小變化所造成的隨機誤差，大多遵從正態(tài)分布，例如信號源的輸出幅度、隨機誤差，大多遵從正態(tài)分布，例如信號源的輸出幅度、輸出頻率等，都具有這一特性。輸出頻率等，都具有這一特性。第第2 2章章 測量誤差分析

58、與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 2. 極限誤差極限誤差 對于正態(tài)分布的隨機誤差，根據(jù)式對于正態(tài)分布的隨機誤差，根據(jù)式(2.4-16)，可以，可以算出隨機誤差落在算出隨機誤差落在 -, + 區(qū)間的概率為區(qū)間的概率為683. 021222dePi(2.4-17)該結(jié)果的含義：在進(jìn)行大量等精度測量時，隨機誤差該結(jié)果的含義：在進(jìn)行大量等精度測量時，隨機誤差i落在落在-, +區(qū)間的測得值的數(shù)目占測量總數(shù)目的區(qū)間的測得值的數(shù)目占測量總數(shù)目的68.3，或，或者說，測得值落在者說，測得值落在 -, + 范圍范圍(該范圍稱為該范圍稱為置信區(qū)間置信區(qū)間)內(nèi)的內(nèi)的概率概率(在概率論中稱為在概率論中稱為置信概率置信

59、概率)為為0.683。第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 997. 0213954. 02122222233222dePdePii(2.4-18)(2.4-19)同樣可以求得隨機誤差落在同樣可以求得隨機誤差落在 22和和33范圍內(nèi)的概率為范圍內(nèi)的概率為 即當(dāng)測得值即當(dāng)測得值xi的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為Ex-2, Ex+ 2和和 Ex-3, Ex+ 3 時的置信概率分別為時的置信概率分別為0.954和和0.997。由式。由式(2.4-19)可見，隨可見，隨機誤差絕對值大于機誤差絕對值大于3的概率的概率(可能性可能性)僅為僅為0.003或或0.3，實際，實際上出現(xiàn)的可能極

60、小，因此定義上出現(xiàn)的可能極小，因此定義極限誤差極限誤差為為3 (2.4-20)第第2 2章章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 11121212nxnxunniinii (2.4-21) 3. 貝塞爾（貝塞爾（Bessel）公式）公式前面分析的標(biāo)準(zhǔn)差前面分析的標(biāo)準(zhǔn)差是在是在n條件下導(dǎo)出的。條件下導(dǎo)出的。實際測量時實際測量時n為有限次，我們改用為有限次，我們改用殘差殘差來近似或代替真正的隨機誤差來近似或代替真正的隨機誤差i，用，用 表示有限次測量表示有限次測量時時標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計值標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計值。xxuii這就是貝塞爾公式。式中，這就是貝塞爾公式。式中，(n-1) 稱為自由度