多元函數(shù)的極限與連續(xù)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限(jxin)與連續(xù)與連續(xù)第一頁，共30頁。n維空間中兩點(diǎn)（向量(xingling)又稱為點(diǎn)）間的距離(jl)定義為向量x的長度(chngd)定義為：與 ),(21nxxxx ),(21nyyyy 第1頁/共29頁第二頁，共30頁。2. Rn中點(diǎn)列的極限(jxin)。定義(dngy)1.1 (點(diǎn)列的極限） 設(shè)xk是Rn中的一個點(diǎn)列，a是Rn中的一點(diǎn)，若當(dāng)k時，(xk,a) 0,即：則稱點(diǎn)列 xk 的極限(jxin)存在，且稱a為它的極限(jxin)，記作這時也稱點(diǎn)列xk 收斂于a .設(shè) xk(xk,1, xk,2, xk,n), a=(a1, a2,an)第2

2、頁/共29頁第三頁，共30頁。定理(dngl)1.1 設(shè)點(diǎn)列xk Rn,點(diǎn)a Rn,則此為向量收斂(shulin)與數(shù)列收斂(shulin)之間的橋梁。由此可得：定理1.2 設(shè)xk 是Rn中收斂點(diǎn)列，則：xk的極限是唯一的； xk是有界的,即M(R)0,使得(sh de)k N,恒有|xk|M;(3)若xk a, yk b,則xk yk a b , xk a ,其中R。(4)若xk收斂于a,則它的任一子列也收斂于a.第3頁/共29頁第四頁，共30頁。由于向量(xingling)不能比較大小，也不能相除，所以數(shù)列極限中的單調(diào)性，保序性，確界，商不能推廣。但閉區(qū)間套定理，Bolzano-Weier

3、strass定理，Cauchy收斂原理在Rn中仍然成立。第4頁/共29頁第五頁，共30頁。3. Rn中的開集與閉集定義1.2 設(shè)A是Rn中的一個點(diǎn)集，a Rn .若存在A中的點(diǎn)列xk ， xk a(k=1,2,),使得xk a(k),則稱a為A 的一個聚點(diǎn)。A 的所有的聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為A的導(dǎo)集，記作A 集合 AA A稱為A的閉包。第5頁/共29頁第六頁，共30頁。定義(dngy)1.3 設(shè)a Rn, 0,稱點(diǎn)集為以a為中心， 為半徑的開球(ki qi)或點(diǎn)a的鄰域。稱：為點(diǎn)a去心鄰域(ln y)。可分別簡記為U(a), (a)第6頁/共29頁第七頁，共30頁。定理(dngl)1.6 設(shè)A是R

4、n中的一個點(diǎn)集，a Rn，則a A 的充要條件為：第7頁/共29頁第八頁，共30頁。定義(dngy)1.4 設(shè)A Rn,a Rn.第8頁/共29頁第九頁，共30頁。易知：定理(dngl)1.7 設(shè) A Rn 是開集充分必要條件為Ac是閉集。定義(dngy)1.5 設(shè)A Rn,若Ao=A,即A中的點(diǎn)全是A的 內(nèi)點(diǎn)，則稱A 為開集.第9頁/共29頁第十頁，共30頁。定理1.8 Rn中開集有如下性質(zhì)：和Rn都是開集,(2)任意多個開集的并集仍為開集，(3)有限(yuxin)多個開集的交集仍為開集。4. Rn中的緊集與區(qū)域(qy)幾個概念：(1) 設(shè)A是Rn中的點(diǎn)集, 若M 0, 使得(sh de)x

5、A ,都有|x|M,則稱集合A為的有界集.否則, 稱之為無界集. (2) 若A中任何點(diǎn)列都有收斂的子列，則稱A 是列緊的（或相對緊的），若A是列緊閉集，則稱A是緊集。第10頁/共29頁第十一頁，共30頁。(3)設(shè)A是Rn中的點(diǎn)集, 若A中任兩點(diǎn)均可用一條完全含在A中的折線相連接, 則稱為連通集.(4) Rn中連通的開集稱為Rn中的區(qū)域。區(qū)域連同其邊界之并稱為閉區(qū)域。(5)若連接A中任意(rny)兩點(diǎn)的線段都屬于A,則 稱為凸集。第11頁/共29頁第十二頁，共30頁。第二節(jié) 多元(du yun)函數(shù)的極限與連續(xù)性 1.多元(du yun)函數(shù)的概念定義2.1 設(shè)A Rn是一個點(diǎn)集，稱映射f: A

6、R是定義在A上的n元數(shù)量(shling)值函數(shù)。簡稱為n元函數(shù)。記為y = f(x) = f(x1, , xn),其中x = (x1, , xn) A稱為自變量, y稱為因變量。D(f)=A稱為f的定義域，R(f )=y|y=f(x),x D(f )稱為f的值域。第12頁/共29頁第十三頁，共30頁。除非特別說明, 或有實際意義, 凡用算式表達(dá)的多元(du yun)函數(shù), 其定義域都是指自然定義域, 即全體使得算式有意義的自變量所成的點(diǎn)集.(x, y) R2 | |x| 1, |y| 1; 1122 xyz例如: 的定義域為而z = ln(x+y)的定義域為(x, y)R2 |x+y0.第13

7、頁/共29頁第十四頁，共30頁。定義2.2 設(shè)A Rn是一個點(diǎn)集，稱映射 f: ARm (m 2)是定義在A上的n元向量值函數(shù)(hnsh)。也可記為y = f(x) = f(x1, , xn),其中x = (x1, , xn) A稱為自變量, y = (y1, , ym) Rm 稱為因變量。 f = (f1, , fn) 其中(qzhng)x=(x1, , xn)A為自變量, y=(y1, , xm)B為因變量.一個n元m維向量值函數(shù)y = f(x) 對應(yīng)(duyng)于m個n元數(shù)量值函數(shù)第14頁/共29頁第十五頁，共30頁。若用列向量(xingling)表示, 即例1 空間R3中曲線(qxi

8、n)的參數(shù)方程為：x=x(t),y=y(t),z=z(t) t ,R,為一元向量值函數(shù)，可寫成：r=r(t)第15頁/共29頁第十六頁，共30頁。2. 多元函數(shù)(hnsh)的極限與連續(xù)性 定義 2.3 (二重極限） 設(shè)有點(diǎn)集A R2,f :AR是一個二元數(shù)量值函數(shù)。點(diǎn) (x0, y0)是A的聚點(diǎn), aR是一個常數(shù)(chngsh).若 0, 0, 使得恒有|f(x,y)a|0, 取 =, 則當(dāng)時, 恒有| f(x, y)0|0, 0, 使得(sh de)恒有|f(x,y)f (x0, y0) |2)元數(shù)量值函數(shù)與向量值函數(shù)。第26頁/共29頁第二十七頁，共30頁。3. 多元(du yun)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 若函數(shù)f(x)在有界連通閉集A上連續(xù),m與M分別是 f 在A上的最小值與最大值， 則對 ,m 0, = ( )0, 使得 x1 , x2 A，當(dāng)| x1 - x2| 時， 恒有| f(x1 )-f(x2 )| 。第27頁/共29頁第二十八頁，共30頁。 作 業(yè)習(xí)題(xt)5.2(P4244)3( 1, 3, 5, 7), 4 ( 2 ), 7( 2), 8 , 11第28頁/共29頁第二十九頁，共30頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會計學(xué)。a是Rn中的一點(diǎn)(y din)，若當(dāng)k時，(xk,a) 0,即：。設(shè) xk(xk,1, xk,2,。(4)若xk收斂