東北三省三校2019屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題試卷(理)(解析版)

1、東北三省三校（哈爾濱師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）2019 屆高三第一次模擬數(shù)學(xué)試題（理）第卷一、選擇題。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 .1. 復(fù)數(shù)的虛部是（ ）A. 4B. -4C. 2 D. -2【答案】 D【解析】復(fù)數(shù) =所以虛部為 -2故選 D2. 集合， ，則 （ ）A.B.C.D.【答案】 B【解析】因?yàn)?可得 ，集合 ，所以故選 B3. 已知向量 的夾角為 ， ， ，則 （ ）A. B. C. D.【答案】 C【解析】所以故選 C4. 設(shè)， ， ，則 的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D.【答案】 A【解析】因?yàn)?是單調(diào)遞減的，且 ，所以 ；在

2、是單調(diào)遞增的，又因?yàn)樗跃C上，故選 A5. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，且 ， ，則 （ ）A. 30B. 35C. 42D. 56答案】 B【解析】因?yàn)?是等差數(shù)列，所以 ，所以公差 ，根據(jù)求和公式 故選 B6. 中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、 馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲 同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意， 則選法有（ ）A. 30 種 B. 50 種 C. 60 種 D. 90 種 【答案】 B【解析】若同學(xué)甲選牛

3、，那么同學(xué)乙只能選狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的 10 中任意選，所以共 有若同學(xué)甲選馬，那么同學(xué)乙能選牛、狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的 10 中任意選，所以共有 所以共有 種故選 B7. 執(zhí)行兩次下圖所示的程序框圖， 若第一次輸入的的值為 4，第二次輸入的的值為 5，記第一次輸出的的值 為 ，第二次輸出的的值為 ，則 （ ）A. 2B. 1C. 0D. -1答案】 D【解析】當(dāng)輸入 x 的值為 4 時(shí)，第一次不滿足 ，但是滿足 x 能被 b 整除，輸出 ；當(dāng)輸入 x 的值為 5 時(shí)，第一次不滿足 ，也不滿足 x 能被 b 整除，故 b=3第二次滿足 ，故輸出則 -1故選 D8. 如

4、圖，在直角坐標(biāo)系中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線 的切線，切點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)分別作 軸的垂線，垂足分別為 ，向矩形 中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（ ）C.D.【答案】 A【解析】設(shè)切點(diǎn) ，所以切線方程 ，又因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)所以解得所以點(diǎn) P因?yàn)?與軸在 圍成的面積是則陰影部分的面積為而矩形 的面積為故向矩形 中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為故選 A9. 已知 是不重合的平面， 是不重合的直線，則 的一個(gè)充分條件是（ ）A. ， B. ，C. ， ， D. ， ，【答案】 C【解析】對(duì)于答案 A ：， ，得出與是相交的或是垂直的，故 A 錯(cuò)；答案 B ：， ，得出與是相交的、平行的都可以，故 B

5、 錯(cuò)；答案 C ：， ，得出 ，再 得出 ，故 C 正確；答案 D: ， ， ，得出與是相交的或是垂直的，故 D 錯(cuò)故選 C10. 雙曲線的左焦點(diǎn)為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，且周長(zhǎng)的最小值為 8，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. 2 D.【答案】 D【解析】由題易知雙曲線的右焦點(diǎn) ，即 ，點(diǎn) P 為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可知所以 周長(zhǎng)為：當(dāng)點(diǎn) 共線時(shí)，周長(zhǎng)最小 即 解得 故離心率故選 D11.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若 ，則的最小值為（ ）A. 4B. 6C. 8D. 12答案】 C解析】因?yàn)?，且等比數(shù)列 各項(xiàng)均為正數(shù)，所以公比首項(xiàng)所以，通項(xiàng)所以當(dāng)

6、且僅當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)，的最小值為 8故選 CB.D.12. 中， ， ， ， 中， ，則 的取值范圍是（ A.C.答案】 C解析】由題，以點(diǎn) B 為坐標(biāo)原點(diǎn)， AB 所在直線為x 軸， BC 所在直線為 y 軸建立直角坐標(biāo)系；設(shè)點(diǎn) ，因?yàn)?，所以由題易知點(diǎn) D 可能在直線 AB 的上方，也可能在 AB 的下方； 當(dāng)點(diǎn) D 可能在直線 AB 的上方；直線 BD 的斜率 ；直線 AD 的斜率由兩直線的夾角公式可得：化簡(jiǎn)整理的可得點(diǎn) D 的軌跡是以點(diǎn) 為圓心，半徑 的圓，且點(diǎn) D 在 AB 的上方，所以是圓在 弧部分；此時(shí) CD 的最短距離為：當(dāng)當(dāng)點(diǎn) D 可能在直線 AB 的下方；同理可得點(diǎn) D 的軌跡

7、方程：此時(shí)點(diǎn) D的軌跡是以點(diǎn) 為圓心，半徑 的圓，且點(diǎn) D在 AB的下方，所以是圓在 部分；AB 上方的劣AB 下方的劣弧此時(shí) CD 的最大距離為：所以 CD 的取值范圍為第卷二、填空題13. 已知 滿足約束條件： ，則 的最大值是【答案】 3解析】 滿足約束條件： ，可行域如圖：解得由題，當(dāng)目標(biāo)函數(shù) 過(guò)點(diǎn) A 時(shí)取最大值，即故答案為 314. 甲、乙、丙三人中，只有一個(gè)會(huì)彈鋼琴，甲說(shuō)： 句話，只有一句是真的，那么會(huì)彈鋼琴的是 _ K12高考數(shù)學(xué)模擬我會(huì)”，乙說(shuō)： “我不會(huì)”，丙說(shuō)： “甲不會(huì)”，如果這三【答案】乙【解析】假設(shè)甲會(huì)，那么甲、乙說(shuō)的都是真話，與題意矛盾，所以甲不會(huì)； 假設(shè)乙會(huì)，那

8、么甲、乙說(shuō)的都是假話，丙說(shuō)的是真話，符合題意， 假設(shè)丙會(huì)，那么乙、丙說(shuō)的都是真話，與題意矛盾；故答案是乙15. 已知函數(shù)是定義域?yàn)?的偶函數(shù)，且 為奇函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，則【解析】因?yàn)?為奇函數(shù)，所以又因?yàn)?是定義域?yàn)?的偶函數(shù)，所以 即所以 的周期因?yàn)樗?6. 四面體中， 底面 ， ， ，則四面體 的外接球的表面積為 【答案】【解析】由題意 ， 可得 BC CD ，又因?yàn)?底面 ，所以 AB CD，即 CD 平面 ABC，所以 CD AC 取 AD 的中點(diǎn) O，則 OC=OA=OB=OD故點(diǎn) O 為四面體外接球的球心，因?yàn)樗郧虬霃焦释饨忧虻谋砻娣e故答案為三、解答題（解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明

9、過(guò)程或演算步驟.）17. 設(shè)函數(shù).1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù) 的值域；2）中，角 的對(duì)邊分別為 ，且 ， ， ，求的面積 .解：（1）函數(shù) 的值域?yàn)?2)即由正弦定理， ， ，18. 世界衛(wèi)生組織的最新研究報(bào)告顯示， 目前中國(guó)近視患者人數(shù)多達(dá) 6 億，高中生和大學(xué)生的近視率均已超 過(guò)七成，為了研究每周累計(jì)戶外暴露時(shí)間（單位：小時(shí)）與近視發(fā)病率的關(guān)系，對(duì)某中學(xué)一年級(jí) 200 名學(xué) 生進(jìn)行不記名問(wèn)卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周累積戶外暴露時(shí)間（單位：小時(shí)）不少于 28 小時(shí)近視人數(shù)21393721不近視人數(shù)3375253（1）在每周累計(jì)戶外暴露時(shí)間不少于28小時(shí)的 4 名學(xué)生中，隨機(jī)抽取 2 名，求其中恰有一名

10、學(xué)生不近視的概率；（2）若每周累計(jì)戶外暴露時(shí)間少于14 個(gè)小時(shí)被認(rèn)證為 “不足夠的戶外暴露時(shí)間 ”，根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，并根據(jù)（ 2）中的列聯(lián)表判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01 的前提下認(rèn)為不足夠的戶外暴露時(shí)間與近視有關(guān)系？近視不近視足夠的戶外暴露時(shí)間不足夠的戶外暴露時(shí)間”為事件，則P0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（ 1）設(shè)“隨機(jī)抽取 2 名，其中恰有一名學(xué)生不近視故隨機(jī)抽取 2 名，其中恰有一名學(xué)生不近視的概率為2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表：近視不近視足夠的戶外暴露時(shí)間4060不足夠的戶外暴露時(shí)間6040所以 的觀測(cè)值故能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 0

11、.01 的前提下認(rèn)為不足夠的戶外暴露時(shí)間與近視有關(guān)系19. 如圖，在三棱錐中， 與 都為等邊三角形，且側(cè)面 與底面 互相垂直，為 的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段 上，且 ，為棱 上一點(diǎn) .（ 1）試確定點(diǎn)的位置，使得平面 ；（ 2）在（ 1）的條件下，求二面角的余弦值 .解：（ 1）在中，延長(zhǎng) 交 于點(diǎn)，, 是等邊三角形為 的重心平面 , 平面 ，,即點(diǎn)為線段 上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)（ 2）等邊中， ， ， ，交線為 ，如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系點(diǎn)在平面 上，所以二面角 與二面角 為相同二面角 設(shè), 則，設(shè)平面 的法向量 ，則即 ，取 ，則 又 平面 ， ,則, 又二面角 為鈍二面角，所以余弦值為 .20.

12、 已知橢圓 ： 的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為 ，點(diǎn)為橢圓 上異于 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線 的斜率分別為 ，若動(dòng)點(diǎn)與 的連線斜率分別為 ，且 ，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線 .1）當(dāng)時(shí)，求曲線 的方程；2）已知點(diǎn)，直線 與 分別與曲線 交于 兩點(diǎn)，設(shè) 的面積為 ， 的面積為 ，若 ，求 的取值范圍 .解：（ 1）設(shè)，則因?yàn)?，則所以.整理得所以，當(dāng) 時(shí)，曲線 的方程為2）設(shè). 由題意知， 直線 的方程為： ，直線 的方程為： .由（）知，曲線 的方程為 ，聯(lián)立 ，消去，得 ，得聯(lián)立 ，消去，得 ，得設(shè) 則 在 上遞增 又，的取值范圍為21. 已知（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） ， .1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù) 的極小值；（ 2）當(dāng)時(shí)，

13、關(guān)于的方程 有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（ 1）當(dāng)時(shí) ， 令 解得遞減極小值遞增（ 2）設(shè)，令 ， ，設(shè)，由 得， 在 單調(diào)遞增，即 在 單調(diào)遞增， ，當(dāng)，即時(shí)，時(shí)， ， 在 單調(diào)遞增 ,又，此時(shí) 在當(dāng) 時(shí)，關(guān)于的方程 有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解 .當(dāng)，即時(shí)，又故 ，當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減，又 ，故當(dāng) 時(shí)， ，在 內(nèi)，關(guān)于的方程 有一個(gè)實(shí)數(shù)解 .又 時(shí)， ， 單調(diào)遞增，且 ，令 ，, 故在 單調(diào)遞增，又故 在 單調(diào)遞增，故 ，故 ，又 ，由零點(diǎn)存在定理可知，.故當(dāng) 時(shí)，的方程 有兩個(gè)解為 和綜上所述：當(dāng) 時(shí) 的方程 有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解22. 在直角坐標(biāo)系中， 曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為 ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 .（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（ 2）曲線與直線交于兩點(diǎn)，若 ，求的值 .K12高考數(shù)學(xué)模擬解：（ 1）由題，曲線的參數(shù)