五年級牛吃草問題

1、牛吃草問題牛吃草問題是經(jīng)典的奧數(shù)題型之一，首先，先介紹一下這類問題的背景一、定義偉大的科學家牛頓著的普通算術一書中有這樣一道題：“ 12 頭牛 4 周吃牧草格爾，同樣的牧草，21 頭牛 9 周吃 10 格爾。問24 格爾牧草多少牛吃18 周吃完。 ”（格爾牧場面積單位），以后人們稱這類問題為“牛頓問題”的牛吃草問題。二、特點在“牛吃草”問題中，因為草每天都在生長，草的數(shù)量在不斷變化，也就是說這類問題的工作總量是不固定的，一直在均勻變化。來看看這例題例 .有這樣的問題：牧場上有一片勻速生長的草地，可供27 頭牛吃 6 周，或供23 頭牛吃9 周 .那么它可供21 頭牛吃幾周？解答這類問題，困難在

2、于草的總量在變，它每天、每周都在均勻地生長，時間愈長，草的總量越多.草的總量是由兩部分組成的：某個時間期限前草場上原有的草量；這個時間期限后草場每天（周）生長而新增的草量.因此，必須設法找出這兩個量來。下面就用開頭的題目為例進行分析.（見下圖）從上面的線段圖可以看出23 頭牛 9 周的總草量比27 頭牛 6 周的總草量多，多出部分相當于 3 周新生長的草量.為了求出一周新生長的草量，就要進行轉化.27 頭牛 6 周吃草量相當于 27× 6 162頭牛一周吃草量（或一頭牛吃162 周） .23頭牛 9 周吃草量相當于23× 9=207頭牛一周吃草量（或一頭牛吃207 周）.這

3、樣一來可以認為每周新生長的草量相當于（ 207-162）÷（9-6） =15 頭牛一周的吃草量。需要解決的第二個問題是牧場上原有草量是多少？用27頭牛6周的總吃草量減去6周新生長的草量（即15× 6=90 頭牛吃一周的草量）即為牧場原有草量。所以牧場上原有草量為27× 6-15× 6=72 頭牛一周的吃草量（或者為23× 9-15× 9=72） 。牧場上的草21 頭牛幾周才能吃完呢？解決這個問題相當于把21 頭牛分成兩部分.一部分看成專吃牧場上原有的草.另一部分看成專吃新生長的草.但是新生的草只能維持15頭牛的吃草量，且始終可保持平衡

4、（前面已分析過每周新生的草恰夠15頭牛吃一周）.故分出15頭牛吃新生長的草，另一部分21-15=6（頭）牛去吃原有的草.所以牧場上的草夠吃72÷ 6=12（周），也就是這個牧場上的草夠21 頭牛吃 12 周 .問題得解。三、例題講解例 1 牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10 頭牛吃 20 天，或者可供15頭牛吃 10天。問：可供25頭牛吃幾天？分析與解：這類題難就難在牧場上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化?？偛萘靠梢苑譃槟翀錾显械牟莺托律L出來的草兩部分。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以這片草地每天新長出的草的數(shù)量相同，即每天新長出的草是

5、不變的。下面，就要設法計算出原有的草量和每天新長出的草量這兩個不變量。設 1 頭牛一天吃的草為1 份。那么，10 頭牛 20 天吃 200 份，草被吃完；15 頭牛 10 天吃150 份， 草也被吃完。前者的總草量是200 份， 后者的總草量是150 份， 前者是原有的草加20天新長出的草，后者是原有的草加10 天新長出的草。200 150 50（份）， 20 10 10（天），說明牧場10 天長草 50 份， 1 天長草 5 份。 也就是說，5 頭牛專吃新長出來的草剛好吃完，5 頭牛以外的牛吃的草就是牧場上原有的草。由此得出，牧場上原有草（l05）×20100（份）或（155）&#

6、215;10100（份）。現(xiàn)在已經(jīng)知道原有草100 份，每天新長出草5 份。當有25 頭牛時，其中的5 頭專吃新長出來的草，剩下的20 頭吃原有的草，吃完需100÷ 20 5（天）。所以，這片草地可供25 頭牛吃 5 天。在例 1 的解法中要注意三點：（ 1） 每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計算出來的。（ 2）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計算出原有的草量。（ 3）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計算出能吃幾天。例 2. 12 頭牛

7、 28 天可以吃完10 公畝牧場上全部牧草，21 頭牛 63 天可以吃完30 公畝牧場上全部牧草.多少頭牛126 天可以吃完72 公畝牧場上全部牧草（每公畝牧場上原有草量相等，且每公畝牧場上每天生長草量相等）？分析：解題的關鍵在于求出一公畝一天新生長的草量可供幾頭牛吃一天，一公畝原有的草量可供幾頭牛吃一天。12 頭牛 28 天吃完 10 公畝牧場上的牧草.相當于一公畝原來的牧草加上28天新生長的草可供 33.6頭牛吃一天（12× 28÷ 10 33.6） 。21 頭牛 63 天吃完 30 公畝牧場上的牧草，相當于一公畝原有的草加上63 天新生長的草可供 44.1 頭牛吃一天

8、（63× 21÷ 30 44.l） 。一公畝一天新生長的牧草可供0.3頭牛吃一天，即（44.l-33.6）÷（63-28） =0.3（頭）。一公畝原有的牧草可供25.2頭牛吃一天，即33.6-0.3× 28=25.2（頭）。72 公畝原有牧草可供14.4頭牛吃 126天 .即72× 25.2÷ 126=14.4（頭）。72 公畝每天新生長的草量可供21.6頭牛吃一天.即72× 0.3=21.6（頭）。所以 72 公畝牧場上的牧草共可以供36（ =14.4 21.6）頭牛吃126天 .問題得解。解：一公畝一天新生長草量可供多少

9、頭牛吃一天？（ 63× 2i÷ 30-12× 28÷ 10）÷（63-28） =0.3（頭）。一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天？12× 28÷ 10-0.3× 28=25.2（頭）。72 公畝的牧草可供多少頭牛吃126天？72× 25.2÷ 126+72× 0.3=36（頭）。答： 72 公畝的牧草可供36 頭牛吃 126天。例 3 兩只蝸牛同時從一口井的井頂爬向井底。白天往下爬，兩只蝸牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20 分米，另一只每天爬行15 分米。黑夜往下滑，兩只蝸牛滑行的速

10、度卻是相同的，結果一只蝸牛恰好用了5 個晝夜到達井底，另一只恰好用了6 個晝夜到達井底。那么，井深多少米？分析：大家說這里什么是牛？什么是草？都什么是不變的？蝸牛每夜下降：（ 20× 5-15× 6）÷（6-5） =10 分米所以井深：（ 20+10）×5=150分米 =15 米例 4.一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進了一些水，水勻速進入船內.如果10人淘水， 3 小時淘完；如 5 人淘水8 小時淘完.如果要求2 小時淘完，要安排多少人淘水？分析：這類問題，都有它共同的特點，即總水量隨漏水的延長而增加.所以總水量是個變量 .而單位時間內漏進船的水的增長量是不變的

11、. 船內原有的水量（即發(fā)現(xiàn)船漏水時船內已有的水量）也是不變的量.對于這個問題我們換一個角度進行分析。如果設每個人每小時的淘水量為“1 個單位” .則船內原有水量與3 小時內漏水總量之和等于每人每小時淘水量×時間×人數(shù)，即1× 3× 10 30.船內原有水量與8 小時漏水量之和為1× 5× 8=40。每小時的漏水量等于8 小時與 3 小時總水量之差÷時間差，即（40-30）÷（8-3） =2（即每小時漏進水量為2 個單位，相當于每小時2 人的淘水量）。船內原有的水量等于10人 3 小時淘出的總水量-3 小時漏進水量.

12、3小時漏進水量相當于3× 2=6 人 1 小時淘水量.所以船內原有水量為30-（ 2× 3） =24。如果這些水（24 個單位）要2 小時淘完，則需24÷ 2 12（人），但與此同時，每小時的漏進水量又要安排2 人淘出，因此共需12+2 14（人）。從以上這兩個例題看出，不管從哪一個角度來分析問題，都必須求出原有的量及單位時間內增加的量，這兩個量是不變的量.有了這兩個量，問題就容易解決了。例 5 一個水池，池底有泉水不斷涌出，用10 部抽水機20 小時可以把水抽干，用15 部相同的抽水機10 小時可把水抽干。那么用25 部這樣的抽水機多少小時可以把水抽干？分析：

13、設一臺抽水機一小時抽水一份。則每小時涌出的水量是：（ 20× 10-15× 10） ÷ （20-10）=5份，池內原有的水是：（ 10-5）×20=100份 .所以,用 25部抽水機需要:100÷ （25-5）=5 小時例 6. 一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫.5 臺抽水機連續(xù)20 天可抽干；6 臺同樣的抽水機連續(xù)15 天可抽干.若要求6 天抽干，需要多少臺同樣的抽水機？解：水庫原有的水與20 天流入水可供多少臺抽水機抽1 天？20× 5=100（臺）水庫原有的水與15 天流入的水可供多少臺抽水機抽每天流入的水可供多少臺抽水機

14、抽1 天？原有的水可供多少臺抽水機抽1 天？若 6 天抽完，共需抽水機多少臺？答：若6 天抽完，共需12 臺抽水機。例8.自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走 20 級梯級，女孩每分鐘走15 級梯級，結果男孩用了鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級？1 天？6× 15=90（臺）。（ 100-90）÷（20-15） =2（臺）。100-20× 2=60（臺）。60÷ 6 2=12（臺）。5 分鐘到達樓上，女孩用了6 分分析：與例3 比較， “總的草量”變成了“扶梯的梯級總數(shù)”， “草”變成了“梯級”， “?！弊兂闪恕?/p>

15、速度”，也可以看成牛吃草問題。上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。男孩5 分鐘走了20× 5100（級），女孩 6 分鐘走了15× 6 90（級），女孩比男孩少走了 100 90 10（級），多用了6 5 1（分） ，說明電梯1 分鐘走 10 級。由男孩5 分鐘到達樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有（ 20 10）×5 150（級）。解：自動扶梯每分鐘走（ 20× 5 15× 6）÷（6 5）10（級），自動扶梯共有（2010）×5150（級）。答：扶梯共

16、有150 級。例 9.某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4 個檢票口需30 分鐘，同時開5 個檢票口需20分鐘。如果同時打開 7 個檢票口，那么需多少分鐘？分析與解：等候檢票的旅客人數(shù)在變化， “旅客”相當于“草”， “檢票口”相當于“?！?，可以用牛吃草問題的解法求解。旅客總數(shù)由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經(jīng)在排隊的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。設 1 個檢票口1 分鐘檢票的人數(shù)為1 份。因為4 個檢票口30 分鐘通過（4× 30）份，5個檢票口20 分鐘通過（5× 20）份，說明在（30-20

17、）分鐘內新來旅客（4× 30-5× 20）份，所以每分鐘新來旅客（ 4× 30-5× 20）÷（30-20） =2（份）。假設讓 2 個檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過原來的旅客，可以求出原有旅客為（ 4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。同時打開7 個檢票口時，讓2 個檢票口專門通過新來的旅客，其余的檢票口通過原來的旅客，需要60÷（7-2） =12（分）例 10. 由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20 頭牛吃 5 天

18、，或可供15 頭牛吃 6 天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？分析與解：與例1 不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少。但是，我們同樣可以利用例1 的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。設 1 頭牛 1 天吃的草為1 份。 20頭牛 5天吃 100份， 15 頭牛 6天吃 90份，100-90=1（0 份） ，說明寒冷使牧場1 天減少青草10 份，也就是說，寒冷相當于10 頭牛在吃草。由“草地上的草可供 20 頭牛吃5 天” ，再加上“寒冷”代表的 10 頭牛同時在吃草，所以牧場原有草（ 20 10）×5 150（份）。由150÷ 10 15 知，牧場原有草可

19、供15 頭牛吃 10 天，寒冷占去10 頭牛，所以，可供5 頭牛吃 10 天。例 11 一個牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27 頭牛吃 6 天，或供23 頭牛吃 9 天，現(xiàn)有一群牛吃了4 天后賣掉2 頭，余下的牛又吃了4 天將草吃完。這群牛原來有多少頭？分析：設每頭牛每天的吃草量為1 份。每天新生的草量為：（ 23× 9-27× 6）÷（20-10） =15份，原有的草量為（27-15）×6=72 份。如兩頭牛不賣掉，這群牛在4+4=8 天內吃草量72+15× 8+2× 4=200份。所以這群牛原來有200÷ 8=

20、25頭例 12.一塊草地，每天生長的速度相同.現(xiàn)在這片牧草可供16 頭牛吃 20 天，或者供80 只羊吃 12天 .如果一頭牛一天的吃草量等于4 只羊一天的吃草量，那么10 頭牛與 60 只羊一起吃可以吃多少天？分析 由于 1 頭牛每天的吃草量等于4 只羊每天的吃草量，故60 只羊每天的吃草量和15頭牛每天吃草量相等，80 只羊每天吃草量與20 頭牛每天吃草量相等。解： 60 只羊每天吃草量相當多少頭牛每天的吃草量？60÷ 4 15（頭）草地原有草量與20 天新生長草量可供多少頭牛吃一天？16× 20=320（頭）80÷ 4）×12=240（頭）。320

21、-240）÷（20-12） =10（頭）。320-（ 20× 10）120（頭）。120÷（60÷ 4+10-10）8（天）。80 只羊 12 天的吃草量供多少頭牛吃一天？每天新生長的草夠多少頭牛吃一天？原有草量夠多少頭牛吃一天？原有草量可供10 頭牛與 60 只羊吃幾天？答：這塊草場可供10 頭牛和 60 只羊吃 8 天。例 13.有三塊草地，面積分別為5， 6 和 8 公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供11 頭牛吃 10 天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問：第三塊草地可供19頭牛吃多少天？分析與解：例1 是在同一塊草地上，現(xiàn)在

22、是三塊面積不同的草地。為了解決這個問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。5， 6， 8120。5 公頃草地可供11 頭牛吃 10 天，120÷ 5 24，所以120 公頃草地可供11× 24264（頭）牛吃10 天。因為 6 公頃草地可供12 頭牛吃 14 天，120÷ 6 20， 所以 120 公頃草地可供12× 20 240（頭）牛吃14天。120÷ 8 15，問題變?yōu)椋?20 公頃草地可供19× 15 285（頭）牛吃幾天？因為草地面積相同，可忽略具體公頃數(shù)，所以原題可變?yōu)椋骸耙粔K勻速生長的草地，可供 264 頭牛吃 10 天，或

23、供240 頭牛吃 14 天，那么可供285頭牛吃幾天？”這與例 1 完全一樣。設1 頭牛 1 天吃的草為1 份。每天新長出的草有（240×14264×10）÷（1410）180（份）。草地原有草（264180）×10840（份） ?？晒?85頭牛吃840÷（285 180）8（天）。所以，第三塊草地可供19 頭牛吃 8 天。練習1 .一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27 頭牛吃 6 周或供 23 頭牛吃 9 周。那么，可供21 頭牛吃幾周？2 .一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供17 頭牛吃 30 天，或供19頭牛吃 24天。

24、現(xiàn)有一群牛，吃了6 天后賣掉4 頭，余下的牛又吃了2 天將草吃完，這群牛原來有多少頭？3 .經(jīng)測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80 億人生活300年。假設地球新生成的資源增長速度是一定的，為使人類有不斷發(fā)展的潛力，地球最多能養(yǎng)活多少億人？4 .有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10 部抽水機20時可以把水抽干；用15部同樣的抽水機，10 時可以把水抽干。那么，用25部這樣的抽水機多少小時可以把水抽干？5 .某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。如果同時開放3個檢票口，那么40 分鐘檢票口前的隊伍恰好消失；如果同時開放4 個檢票口，那么25 分鐘隊伍恰好消

25、失。如果同時開放8 個檢票口，那么隊伍多少分鐘恰好消失？6 .兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的，一只每個白天爬20 分米，另一只爬15 分米。黑夜里往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的。結果一只蝸牛恰好用5 個晝夜到達井底，另一只蝸牛恰好用6 個晝夜到達井底。那么，井深多少米？7 .兩位頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走。在20 秒鐘里，男孩可走27 級梯級，女孩可走 24級梯級，結果男孩走了2分鐘到達另一端，女孩走了3 分鐘到達另一端。問：該扶梯共多少級？答案與提示1 .解：設1 頭牛 1 周吃的草為1 份。牧場每周新長草（ 23

26、5; 9-27× 6）÷（9-6） =15（份）。草地原有草（27-15）×6=72（份） ，可供 21 頭牛吃72÷（21-15） =12（周）。2 .解：設1 頭牛 1 天吃的草為1 份。牧場每天新長草（17× 30 19× 24）÷（30-24） =9（份）。草地原有草（17 9）×30=240（份）。這群牛 8 天應吃掉草240 9× 8 4× 2 320（份），所以這群牛有320÷ 8=40（頭）。3 .解：設1 億人生活1 年的資源為1 份。地球每年新生成資源（ 80

27、15; 300-100× 100）÷（300-100） =70（份）。當新生成的資源不少于每年消耗掉的資源時，地球上的資源才不致減少。所以地球最多能養(yǎng)活 70 億人。4 .解：設1 部抽水機1 時抽出的水為1 份。水池中每小時涌出泉水（10× 20 15× 10）÷（20-10）5（份）。水池中原有水（10-5）×20=100（份）。 25 部抽水機抽干需100÷（25-5）5（時）。5 .解：設1 個檢票口1 分鐘通過的旅客人數(shù)為1 份。每分鐘新來旅客6 .解：每夜下滑（20×5-15×5）÷

28、（6-5）=10（分米），井深（2010）×5=150（分米） 15米。7 .解：自動扶梯每分鐘走24×（180÷ 20） -27×（120÷ 20） ÷（3-2） =54（級）。自動扶梯共有27×（120÷ 20） -54× 2=54（級）。鞏固練習1 .一塊牧場長滿了草，每天均勻生長。這塊牧場的草可供10 頭牛吃 40 天，供 15 頭牛吃 20天。可供25 頭牛吃天。A. 10 B. 5 C. 20解： A 假設 1 頭牛 1 天吃草的量為1 份。每天新生的草量為：（10× 40-15&#

29、215; 20）÷（40-20） =5（份） 。那么愿草量為：10 × 40-40× 5=200（份） ，安排 5 頭牛專門吃每天新長出來的草，這塊牧場可供25 頭牛吃：200÷（25-5） =10（天）。2 .一塊草地上的草以均勻的速度生長，如果20只羊 5天可以將草地上的草和新長出的草全部吃光，而14 只羊則要10 天吃光。那么想用4 天的時間，把這塊草地的草吃光，需要只羊。 A. 22 B. 23 C. 24解： B 假設 1 只羊 1 天吃草的量為1 份。 每天新生草量是：（ 14× 10-20× 5） ÷ （ 10

30、-5） =8（份）原草量是：20× 5-8× 5 60（份）安排8 只羊專門吃每天新長出來的草，4 天時間吃光這塊草地共需羊：60÷ 4+8 23（只）3畫展9 時開門，但早有人來排隊等候入場。從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多。如果開3 個入場口，9 點 9 分就不再有人排隊了，那么第一個觀眾到達的時間是8點分。A. 10 B. 12 C. 15解： C 假設每個人口每分鐘進入的觀眾量是1 份。每分鐘來的觀眾人數(shù)為（3× 9-5× 5）÷（9-5） =0.5（份）到 9 時止，已來的觀眾人數(shù)為：3× 9-0.5

31、× 9 22.5（份）第一個觀眾來到時比9 時提前了：22.5÷ 0.5 45（分）所以第一個觀眾到達的時間是9 時 -45 分 =8 時 15 分。5. 快、中、慢三車同時從A 地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車。三車的速度分別是每小時24 千米、 20 千米、 19 千米。快車追上自行車用了6 小時，中車追上自行車用了10 小時，慢車追上自行車用（）小時。解：自行車的速度是：（ 20× 10-24× 6）÷（10-6） =14（千米/小時）三車出發(fā)時自行車距A 地： （ 24-14）×6=60（千米）慢車追上自行車所用的時間為：60

32、÷（19-14） =12（小時）6. 一水池中原有一些水，裝有一根進水管，若干根抽水管。進水管不斷進水，若用24 根抽水管抽水，6 小時可以把池中的水抽干，那么用16 根抽水管，（ ）小時可將可將水池中的水抽干。解： 18 設 1 根抽水管每小時抽水量為1 份。（ 1）進水管每小時卸貨量是：（ 21× 8-24× 6）÷（8-6） =12（份）（ 2）水池中原有的水量為：21× 8-12× 8 72（份）（ 3） 16 根抽水管，要將水池中的水全部抽干需：72÷（16-12） =18（小時）7. 某碼頭剖不斷有貨輪卸下貨物，又不斷用汽車把貨物運走，如用9 輛汽車， 12 小時可以把它們運完，如果用8 輛汽車， 16 小時可以把它們運完。如果開始只用3 輛汽車， 10 小時后增加若干輛，再過4 小時也能運完，那么后來增加的汽車是（）輛。解：設每兩汽車每小時運的貨物為1 份。（ 1）進水管每小時的進水量為：（ 8× 16-9× 12）÷（16-12） =5（份）（ 2