《高等數(shù)學(xué)》第7章空間向量與空間解析幾何

1、高等數(shù)學(xué)第7章空間向量與空間解析幾何第一頁，共63頁。 知識(shí)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)u了解二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程；了解二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程；u理解空間直角坐標(biāo)系、向量的概念；理解空間直角坐標(biāo)系、向量的概念；u會(huì)判斷平面與平面、直線與直線以及直線會(huì)判斷平面與平面、直線與直線以及直線與平面間的關(guān)系；與平面間的關(guān)系；u掌握向量的線性運(yùn)算、向量平行和垂直的掌握向量的線性運(yùn)算、向量平行和垂直的條件、幾種常見的曲面方程；條件、幾種常見的曲面方程；u熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式、平面與直線熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式、平面與直線的各種方程的各種方程.第二頁，共63頁。 能力目標(biāo)能力目標(biāo) 通過幾何問題代數(shù)化，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思通過幾何問

2、題代數(shù)化，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力和空間想象能力維能力、邏輯推理能力和空間想象能力.德育目標(biāo)德育目標(biāo) 借助數(shù)形結(jié)合的思想，將研究問題的不同方借助數(shù)形結(jié)合的思想，將研究問題的不同方法進(jìn)行聯(lián)結(jié)，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)與人文素法進(jìn)行聯(lián)結(jié)，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)與人文素養(yǎng)養(yǎng).第三頁，共63頁。 了解空間向量的概念,掌握空間向量的基本定理及其意義,建立空間直角坐標(biāo)系，以向量為工具,利用空間向量的坐標(biāo)和相關(guān)運(yùn)算解決空間中的幾何問題.第四頁，共63頁。 通常把x 軸和y 軸配置在水平面上,而z 軸則是鉛垂線.它們的正向通常符合右手法則,即以右手握住z 軸,當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向x 軸以90度轉(zhuǎn)向正向y

3、軸時(shí),大拇指的指向就是z 軸的正方向.過空間一個(gè)定點(diǎn)O O,作三條相互垂直的數(shù)軸,它們都以O(shè) O 為原點(diǎn)且一般具有相同的長度單位,這三條軸分別叫做x 軸(橫軸)、 y 軸(縱軸)、z 軸(豎軸),統(tǒng)稱坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸.這樣的三條坐標(biāo)軸就構(gòu)成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O Oxyz ,點(diǎn)O O 叫做坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)(或原點(diǎn)原點(diǎn)).第五頁，共63頁。 這些坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分,每一個(gè)部分稱為一個(gè)卦卦限限.x、y、z 軸的正半軸的卦限稱為第I卦限.在xO Oy面的上方,從第I卦限開始，按逆時(shí)針方向先后出現(xiàn)的卦限依次稱為第、卦限;第、卦限下面的空間部分依次稱為第、卦限.每兩個(gè)坐標(biāo)軸確定的平面稱為坐標(biāo)平面,簡稱

4、為坐標(biāo)面坐標(biāo)面. .x 軸與y 軸所確定的坐標(biāo)面稱為xO Oy面,類似地,有yO Oz面,zO Ox面.第六頁，共63頁。1.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)封限？ A（1，-2，3） B （2，3，-4） C（2，-3，4） D（-2，-2，1）2.在坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征？ 指出下列各點(diǎn)的位置. A（3，4，0） B （0，4，3） C（3，0，0） D（0，-1，0）第七頁，共63頁。空間中的任意一點(diǎn)P 與唯一一組有序數(shù)組x、y、z之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.xyOxyzOPABC這組數(shù)就叫做點(diǎn)P 的坐標(biāo)坐標(biāo)，并依次稱x、y、z為點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo),記為

5、P (x,y,z).xyz (x,y,z)第八頁，共63頁。（M1PQ都是直角三角形）是直角三角形）2d2221QMQM 221MM 22221QMPQPM 任取空間兩點(diǎn)任取空間兩點(diǎn) M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ),它們之間的距離為它們之間的距離為d = |M1M2|.過點(diǎn)過點(diǎn) M1 、M2 各作三個(gè)平面分別垂直各作三個(gè)平面分別垂直于三個(gè)坐標(biāo)軸于三個(gè)坐標(biāo)軸,形成如圖的長方體形成如圖的長方體.（M1QM2 是直角三角形）是直角三角形）zOxyx1y1z1M1M2P 1M 2M Q( )PQ222221QMMPPM 212212212)()()(zzyyx

6、x z2y2x2第九頁，共63頁。21221221221zzyyxxMMd222zyxOMd兩點(diǎn)間距離公式：兩點(diǎn)間距離公式：特別地，點(diǎn)特別地，點(diǎn) M ( x , y , z) 與原點(diǎn)與原點(diǎn)O ( 0 , 0 , 0 ) 的距離：的距離：第十頁，共63頁。2.在y軸上找一點(diǎn)，使它與點(diǎn)A（3，1，0）和點(diǎn) B （-2，4，1）的距離相等. 1.利用兩點(diǎn)間距離公式求下列兩點(diǎn)間距離. （1） A（3，4，0） B （0，4，3） （2）C（3，0，0） D（0，-1，0）第十一頁，共63頁。定義定義7.1 7.1 既有大小又有方向的量稱為向量向量( (或矢量矢量););向量的大小稱為向量的模模.代數(shù)法

7、代數(shù)法表達(dá)方式表達(dá)方式幾何法幾何法用始點(diǎn)為A 終點(diǎn)為B 的有向線段 表示ABAB圖示圖示用帶有箭頭的小寫字母 表示或用黑體字母 表示.,cba,，a(或 )記作向量AB向量的模向量的模，a(或 )AB(注：注：模長是標(biāo)量)第十二頁，共63頁。0模長為零的向量.模長為1的向量.(方向是任意的)零向量零向量單位向量單位向量記作記作e(方向未做規(guī)定)第十三頁，共63頁。模長相等,方向相反的向量.相反向量相反向量記作a模長相等,方向相同的兩個(gè)向量.相等向量相等向量記作ba向量可以在空間中任意平移.注注 與始點(diǎn)、終點(diǎn)位置無關(guān)；圖示圖示ab圖示圖示aa注注aa第十四頁，共63頁。方向相同或相反的非零向量.

8、平行向量平行向量記作ba/平行向量又可稱作共線向量.注注零向量與任何向量都平行.圖示圖示ab第十五頁，共63頁。向量的加法運(yùn)算向量的加法運(yùn)算向量的減法運(yùn)算向量的減法運(yùn)算向量的數(shù)乘運(yùn)算向量的數(shù)乘運(yùn)算向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算第十六頁，共63頁。三角形法則三角形法則運(yùn)算法則運(yùn)算法則平等四邊行法則平等四邊行法則AB圖示圖示圖示圖示CDABACBCABACC CAACADAB第十七頁，共63頁。三角形法則三角形法則運(yùn)算法則運(yùn)算法則平等四邊行法則平等四邊行法則AB圖示圖示圖示圖示CDABCBACABCDBADABCBDB第十八頁，共63頁。注 數(shù)乘運(yùn)算后的結(jié)果仍是一個(gè)向量.a記作一個(gè)向量 與一個(gè)實(shí)數(shù)

9、的乘積.a定理定理 向量 與向量 平行(或共線)的充要條件是：ab存在不全為零的實(shí)數(shù) 和 ,使得 .0 ba0aaa0a若有 成立,則稱向量 為原向量 同方向的a單位向量單位向量.第十九頁，共63頁。，323213213133232eeceeebeeeacba32已知求： . 32321321313323322eeeeeeee解：解：cba32 33322211336139462eeeeeeee18e第二十頁，共63頁。akajaiaazyxkji、zyxaaaa，在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，取與Ox軸、Oy軸、Oz軸同向的單位向量 .則稱 為向量向量 的分解式的分解式； 稱為向量的坐向量的坐

10、標(biāo)式標(biāo)式.第二十一頁，共63頁。坐標(biāo)式坐標(biāo)式分解式分解式 ( 為常數(shù))zyxaaaa，kbajbaibabazzyyxxzzyyxxbabababa，kajaiaazyx)()()( 為常數(shù))第二十二頁，共63頁。1.已知兩點(diǎn)M1 (0，1，2) 和M2 (1， -1，0),試用坐標(biāo)式來表示向量 與 .21MM212MM5 , 1, 4 OAOBOA2.已知 與 ,求向量 與 的坐標(biāo).0 , 8 , 1OBAB第二十三頁，共63頁。 掌握向量的數(shù)量積和向量積的定義，能夠靈活運(yùn)用運(yùn)算規(guī)律，并熟訓(xùn)練使用判斷向量平行或垂直的條件.第二十四頁，共63頁。引例引例 設(shè)一物體在常力F 作用下沿直線從點(diǎn)M1

11、移動(dòng) 到點(diǎn)M2,以S 表示位移 ,則力F 所做的功 為 ,其中 為F 與S 的夾角.21MMcosSFW M1M2FM1M2ScosF第二十五頁，共63頁。特別地，特別地，ab2)(ba，ba時(shí),稱 與 垂直；垂直；記作：ab或ba/0)(ba，時(shí),稱 與 平行平行或共線；共線；記作：ab定義定義 任意兩個(gè)向量 , 的數(shù)量積數(shù)量積(或內(nèi)積內(nèi)積)是一個(gè)ab)(cosbababa，數(shù)量,記作 ,即 .ba，注：注：0)(ba )(ba，定義定義 兩個(gè)非零向量 與 , 它們的夾角 稱為向向量量 與與 的夾角的夾角, ,記作 .abab第二十六頁，共63頁。定義法定義法坐標(biāo)法坐標(biāo)法zzyyxxzyxz

12、yxbababababbbbaaaa，則：設(shè)，)(cosbababa，第二十七頁，共63頁。數(shù)量積的性質(zhì)數(shù)量積的性質(zhì)，則滿足：及實(shí)數(shù)，對(duì)于任意向量cba2aaa）（10bababa則兩個(gè)非零向量，）（2數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的運(yùn)算律 abba交換律1 1 baba結(jié)合律2 cbcacba )(分配律3 3第二十八頁，共63頁。).()()()(3)(32babababababa與求設(shè)，解：解： 5)()(22babbaababa19332222)()(33cos32)(cos2222bbaabbbaaabababababa 所以 因?yàn)椋?第二十九頁，共63頁。222222)(coszyxzyxz

13、zyyxxbbbaaabababababababa，夾角的余弦公式為：，兩個(gè)非零向量第三十頁，共63頁。sin,FOPFOQMMOOPFPFLO 它的模為,的力矩是一向量點(diǎn) 力F對(duì)支,的夾角為與杠桿上點(diǎn) 作用于這的支點(diǎn)，力為一根杠桿設(shè) 引例引例FPOLQ第三十一頁，共63頁。構(gòu)成右手系.,且都垂直,和方向規(guī)定為與 其,，其大小為,記作向量, 仍是一個(gè)的和,和給定兩個(gè)向量 bababababababababa,)(sin)(或或外外積積向向量量積積定定義義右手系規(guī)則圖示右手系規(guī)則圖示ba，注：注：0 ba的角到是ba向量積模的幾何意義向量積模的幾何意義面積.為鄰邊的平等四邊形的，以ba第三十二頁

14、，共63頁。分解式法分解式法坐標(biāo)法坐標(biāo)法yxyxzxzxzyzyzyxzyxbbaabbaabbaababbbbaaaa，則：設(shè)kbbaajbbaaibbaabbbaaakjibakbjbibbkajaiaayxyxzxzxzyzyzyxzyxzyxzyx則：設(shè)，第三十三頁，共63頁。1426421264421222421222.21sin21kjiABCSkjikjiACABACABACABAACABABCSABC于是，所以由于 的面積為知根據(jù)向量積的定義，可，的面積.求的頂點(diǎn)分別是已知ABCCBAABC，)742()543()321 (解：解：第三十四頁，共63頁。向量積的性質(zhì)向量積的性質(zhì)

15、，則滿足：及實(shí)數(shù)，對(duì)于任意向量cba0aa）（10/2bababa則兩個(gè)向量，）（向量積的運(yùn)算律向量積的運(yùn)算律 abba反交換律1 1 baba結(jié)合律2 cbcacba )(分配律3 3第三十五頁，共63頁。zyxzyxzyxzyxzyxzyxcccbbbaaacbaccccbbbbaaaa 則它們的混合積為：,，設(shè)，第三十六頁，共63頁。是什么樣的四邊形？那么如果四邊形ABCDbaCDbaBCbaABABCD，中，中，3542 bababbababa2,12121323221試求下列向量：已知向量，第三十七頁，共63頁。 平面和直線是幾何學(xué)中最基本的研究對(duì)象,是一些向量空間和幾何空間中某些對(duì)

16、象的最基本原型,同時(shí)它們也是幾何分析中“以直代曲”的最基本元素.本章中要求掌握平面和直線的代數(shù)表達(dá)形式以及點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系.第三十八頁，共63頁。.的面 為平向量是唯一確定的，此時(shí)稱的平面 垂直且與非零向量在空間中通過一定點(diǎn) 法法向向量量nnM0定定義義CBAn，)(0000zyxM，平面的法向量平面的法向量第三十九頁，共63頁。0000000zzCyyBxxAnMMnMMzyxM為：故.即,則有),(上任取一點(diǎn)在平面平平面面的的點(diǎn)點(diǎn)法法式式方方程程，平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程0，其中由點(diǎn)法式方程可得：2220000CBACzByAxDDCzByAx，平面的一般式方程平面的一般式方

17、程第四十頁，共63頁。解：解：求過兩點(diǎn)M1 (2， -1，1) 和M2 (3， -2，1),且平行于z軸的平面方程。 0100100,01122yxBAMCCBAznzCyBxA平面方程為：.則所求程得：在平面上，代入平面方又有.，得軸，故有其法向量，的平面方程為設(shè)過點(diǎn)M1，第四十一頁，共63頁。解：解：求過點(diǎn)M(1， -1，2),且與平面2x-y+3z+7=0平行的平面的一般方程。 . 09320231123 , 1, 20732zyxzyxnnzyx未知平面為：法向量.由點(diǎn)法式可得也是未知平面的一個(gè).又知兩平面平行，故向量的一個(gè)法已知平面,由平面的一般方程可知第四十二頁，共63頁。直線的點(diǎn)

18、向式和參數(shù)方程直線的點(diǎn)向式和參數(shù)方程直線方程的一般式直線方程的一般式直線方程的兩點(diǎn)式直線方程的兩點(diǎn)式三種表達(dá)形式三種表達(dá)形式第四十三頁，共63頁。.的為直線是唯一確定的，則稱 平行的直線與非零向量在空間中通過一定點(diǎn)且 方方向向向向量量LsLs定定義義M(x， y， z)LM0(x0 ， y0 ， z0)s=l， m， nM(x， y， z)M0(x0 ， y0 ， z0)sMM/0nzzmyylxx000tntzzmtyyltxx000nzzmyylxx000直線的對(duì)稱式方程直線的對(duì)稱式方程（或向式方程）：（或向式方程）：直線的參數(shù)方程：直線的參數(shù)方程：第四十四頁，共63頁。002222111

19、1DzCyBxADzCyBxA直線的一般式方程直線的一般式方程 程.化為對(duì)稱式與參數(shù)式方的一般方程將直線,421zyxzyxL13112311121312321121111121111111120,212100000000tztytxzyxLkjikjinnsnnsLLMzyzyzyLxzyxML其參數(shù)式方程為：; 的對(duì)稱式方程為：則直線故有都垂直,與兩平面的法向量的方向向量上.又知直線)在直線(.故中，得到一般方程帶入1,可令),(上任取一點(diǎn)在，例題例題解：解：（兩個(gè)相交平面的交線來表示）第四十五頁，共63頁。則直線方程： 則直線的方向向量為確定唯一一條直線,點(diǎn)空間中任意不重合的兩,),()

20、,(121212222111zzyyxxMNszyxNzyxM：直線的兩點(diǎn)式方程直線的兩點(diǎn)式方程 121121121zzzzyyyyxxxx第四十六頁，共63頁。兩平面的位置關(guān)系兩平面的位置關(guān)系兩直線間的位置關(guān)系兩直線間的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系三三 種種 關(guān)關(guān) 系系第四十七頁，共63頁。則 空間中兩平面方程 , 0, 02222211111DzCyBxADzCyBxA：定理定理三種位置關(guān)系相交、平行、重合.重合與平面平行與平面:相交與平面22222222DDCCBBAADDCCBBAACBACBA11112111112122211121；第四十八頁，共63頁。兩種位置

21、關(guān)系異面、共面.002221111212122221111212122121nmlnmlzzyyxxLLnmlnmlzzyyxxLL共面與異面與；平行重合相交則 式方程為知空間中兩直線的對(duì)稱 ：,2222222111111nzzmyylxxnzzmyylxxLL1定定理理第四十九頁，共63頁。則:的方程為 及平面的方程為：直線 , 0000DCzByAxnzzmyylxxL定定理理三種位置關(guān)系相交、平行、直線在平面上. 且 上在平面直線平行與平面直線相交與平面直線0000000DCzByAxCnBmAlLCnBmAlLCnBmAlL；第五十頁，共63頁。的位置關(guān)系.和平面4-確定直線 例551

22、232zyxzyx11 平面上.故直線在.直線與平面有公共點(diǎn)則,的法向量平面,點(diǎn).直線的方向向量)為直線和平面的公共點(diǎn)(,01 , 1 , 14, 1 , 35 , 2, 2nsnsns例例 題題解：解：的平行的平面方程.1)且與平面7-，2，求過點(diǎn)(3 例014 zyx22 解：解：.得代入平面方程,面上,)在此平點(diǎn)(,面方程為設(shè)與已知平面平行的平181, 2 , 307DDzyx第五十一頁，共63頁。. :的距離為則該點(diǎn)到平面外一點(diǎn),是平面點(diǎn)22200000000:),(CBADCzByAxdDCzByAxzyxM點(diǎn)到平面距離公式點(diǎn)到平面距離公式.20為規(guī)定直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面垂直

23、時(shí), 規(guī)定夾角為面平行時(shí),當(dāng)直線在平面內(nèi)或與平特別地,；直線與平面的夾角直線與平面的夾角2, 0L第五十二頁，共63頁。.的夾角和平面試求直線0000DCzByAxnzzmyylxx.sin,cossin,222222nmlCBACnBmAlnsnsCBAnnmls 有,夾角余弦的坐標(biāo)表達(dá)式.根據(jù)兩向量則2為：平面的夾角所以直線與,平面的法向量,直線的方向向量例例 題題解：解：注注：上結(jié)論可作為公式應(yīng)用上結(jié)論可作為公式應(yīng)用. .第五十三頁，共63頁。12n1.,;時(shí),2當(dāng) 時(shí),20,當(dāng)來定義.夾角可以由它們的法向量的兩平面間的夾角：規(guī)規(guī)定定兩個(gè)平面間夾角兩個(gè)平面間夾角時(shí)20,當(dāng)1n22n 1n

24、 時(shí)2當(dāng),2注注：可類似地定義兩條直線之間的夾角可類似地定義兩條直線之間的夾角. .第五十四頁，共63頁。 本章建立了作為點(diǎn)的軌跡的曲線與其方程之間的聯(lián)系，把研究曲線與曲面的幾何問題，歸結(jié)為研究其方程的代數(shù)問題，從而用代數(shù)的方法對(duì)一些曲線與曲面進(jìn)行研究創(chuàng)造了條件.通過本章節(jié)的學(xué)習(xí)，將逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間感，加強(qiáng)運(yùn)用代數(shù)與幾何相結(jié)合的方法分析問題和解決問題的能力.第五十五頁，共63頁。 .,的的圖圖象象方方程程的的方方程程曲曲面面定定義義0就稱為 而曲面,0就稱為方程那么, 0,程上的點(diǎn)坐標(biāo)都不滿足方不在曲面2 0;方程上任意一點(diǎn)坐標(biāo)都滿足曲面1 :有下述關(guān)系0,與三元方程如果曲面 zyxFSSzyxFzyxFSzyxFSzyxFS任何曲面都可看成是點(diǎn)的幾何軌跡任何曲面都可看成是點(diǎn)的幾何軌跡. .0)(zyxF，注：注：一般地，三元方程 的圖象都是空 間曲面.第五十六頁，共63頁。.,母母線線準(zhǔn)準(zhǔn)線線柱柱面面定定義義叫做柱面的動(dòng)直線,叫做柱面的定曲線 形成的軌跡稱為移動(dòng)的直線線平行于定直線并沿定曲