[理學(xué)]傅里葉光學(xué)CHAPppt課件

1、1. 選出函數(shù)選出函數(shù) 的圖形：的圖形：23rect)(xxf0 2 3 4f(x)x-7 -6 -5 0 f(x)x(a)(b)3. 畫出函數(shù)的圖形：畫出函數(shù)的圖形：)tri(3)rectexp(j5rect)(xxxxh )sin()(sinc:xxx原型xsinc(x)01-11特點特點:最大值：最大值：sinc0=1；lim sincx=0 x曲線下面積曲線下面積: S=1，偶函數(shù)，偶函數(shù)0點位置點位置: x= n n=1, 2, 3等間隔等間隔兩個一級兩個一級0點之間的點之間的主瓣寬度主瓣寬度=21xa+x0-a+x0 x0)(sinc: 0axx標(biāo)準(zhǔn)型Sinc函數(shù)的重要性函數(shù)的重要

2、性:數(shù)學(xué)上數(shù)學(xué)上,sinc函數(shù)和函數(shù)和rect函數(shù)互為傅里葉變換函數(shù)互為傅里葉變換物理上物理上,單一矩形脈沖單一矩形脈沖rectt的頻譜是的頻譜是sinc函數(shù)函數(shù);單縫的夫瑯和費衍單縫的夫瑯和費衍射場分布是射場分布是sinc函數(shù)函數(shù)xsinc2(x)01-11sinc (x)sinc20=1, S = 1與與sincx相比相比,曲線形狀不曲線形狀不同同,但曲線下面積一樣但曲線下面積一樣,為什么為什么?二維二維sinc函數(shù)函數(shù):sincxsincysin2( x) ( x)2附附: sinc2函數(shù)函數(shù)sinc2(x)=sinc(x)2Gaus0 = 1S = 1是非常平滑的函數(shù)是非常平滑的函數(shù),

3、即即各階導(dǎo)數(shù)均連續(xù)各階導(dǎo)數(shù)均連續(xù).Gaus(x)0 x二維情形二維情形:GausxGausy=exp- x2+y2可代表單模激光束的光強(qiáng)分布可代表單模激光束的光強(qiáng)分布Gausx = exp- x2定義: circ(r) =其它 , 01 , 1)(circ2222yxyxcirc函數(shù)是不可別離變量的二元函數(shù)函數(shù)是不可別離變量的二元函數(shù)描繪無窮大不透明屏上半徑為描繪無窮大不透明屏上半徑為1的圓孔的透過率的圓孔的透過率1xy0ayxcirc22a0以上定義的函數(shù)以上定義的函數(shù),其宗量均無量綱其宗量均無量綱. 在處理在處理實際問題時實際問題時,要根據(jù)所取的單位采用適當(dāng)?shù)囊鶕?jù)所取的單位采用適當(dāng)?shù)目s放

4、因子縮放因子.例例: 以以 rectx 代表單縫代表單縫. 假設(shè)假設(shè)x單單位為位為cm, 那么那么 rectx 代表寬度為代表寬度為1cm 的單縫的單縫.假設(shè)假設(shè)x單位為單位為mm,那么那么 rectx/10 代表寬度為代表寬度為1cm 的單縫的單縫. fnx可以是可以是NrectNx, NsincNx, NGausNx, 二維圓域函二維圓域函數(shù)等等數(shù)等等. 物理系統(tǒng)已無法分辨更物理系統(tǒng)已無法分辨更窄的函數(shù)窄的函數(shù)-dxxx x1)( 0 , 0)( 定義定義1.定義定義2. 基于函數(shù)系列的極限基于函數(shù)系列的極限)( )( lim 1)( 0 ,0)( lim :nnnxxfdxxfx xfn

5、-n則若存在函數(shù)系列滿足:練習(xí)練習(xí): 畫出畫出rectx, 10rect10 x, sincx, 10sinc10 x 的示意圖的示意圖. 可描繪可描繪:單位質(zhì)量質(zhì)點的密度單位質(zhì)量質(zhì)點的密度,單位電量點電荷的電荷密度單位電量點電荷的電荷密度,單位光通量點光源的發(fā)光度單位光通量點光源的發(fā)光度,單位能量無限窄電脈沖的瞬時功率單位能量無限窄電脈沖的瞬時功率等等等等. 定義定義3: 設(shè)任意函數(shù)設(shè)任意函數(shù)f fx在在x = 0點連續(xù)點連續(xù),在有在有限區(qū)間外為零限區(qū)間外為零, 那么那么 -函數(shù)定義為：函數(shù)定義為：0 x (x)110 x (x,y)y -函數(shù)的圖示函數(shù)的圖示:-dxxxx x)0( )(

6、)( 0 , 0)( fff fx稱為檢驗函稱為檢驗函數(shù)數(shù).1. 挑選性質(zhì)挑選性質(zhì) sifting 由定義由定義3直接直接可證可證 設(shè)設(shè)f fx在在x0點連續(xù)點連續(xù), 那么那么)( )()( 00 xdxxxxff證明思路證明思路:二者對檢驗函數(shù)二者對檢驗函數(shù)在積分中的作用一樣在積分中的作用一樣.練習(xí)練習(xí))( 1)( xaax推論推論: : x是偶是偶函數(shù)函數(shù)2. 縮放性質(zhì)縮放性質(zhì) scaling與普通函數(shù)縮放性質(zhì)的區(qū)別與普通函數(shù)縮放性質(zhì)的區(qū)別:普通函數(shù)普通函數(shù):因子因子a不影響函數(shù)的高度不影響函數(shù)的高度,但影響其寬度但影響其寬度 -函數(shù)函數(shù):因子因子a不影響函數(shù)的寬度不影響函數(shù)的寬度,但影響

7、其高度但影響其高度通過此積分通過此積分,可從可從f fx中挑選出單一的中挑選出單一的f fx0值值.3. 乘積性質(zhì)乘積性質(zhì)設(shè)設(shè)f f x在在x0點連續(xù)點連續(xù), 那么那么: f f x x-x0 = f f x0 x-x0 任意函數(shù)與任意函數(shù)與 -函數(shù)的乘積函數(shù)的乘積,是幅度變化了的是幅度變化了的 -函數(shù)函數(shù)練習(xí)練習(xí)0-4 ：計算：計算1. sincx x2. sincx x-0.53. sincx x-14. 3x+5 x+3)(comb1)( 1)( xnxnxnn表示沿表示沿 x 軸分布、間隔為軸分布、間隔為1的無窮多脈沖的系列的無窮多脈沖的系列.例如：不考慮縫寬度和總尺寸的線光柵例如：不

8、考慮縫寬度和總尺寸的線光柵.間隔為間隔為 的脈沖系列的脈沖系列:)( )(combnnxx定義定義: n為整數(shù)為整數(shù)xcomb(x).01梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積:)-( )()( )()(comb1)(nnnxnfnxxfxxff(x)0 x=x0 xcomb(x).0利用利用combx可以對函數(shù)可以對函數(shù)fx進(jìn)展等間距抽樣進(jìn)展等間距抽樣.xy二維梳狀函數(shù)二維梳狀函數(shù): combx,y= combx comby0-5：連續(xù)函數(shù)：連續(xù)函數(shù)fx，假設(shè)，假設(shè)x0b0,利利用用 函數(shù)可挑選出函數(shù)在函數(shù)可挑選出函數(shù)在x= x0+b的值，的值，試寫出運算式。試寫出運算式。0-6:

9、 fx為任意連續(xù)函數(shù)，為任意連續(xù)函數(shù)， a0, 求求函數(shù)函數(shù)gx= fx x+a x-a 并作出示意圖。并作出示意圖。0-7：連續(xù)函數(shù)：連續(xù)函數(shù)fx， a0和和b0 。求出以下函數(shù)寫出最簡式并畫出示意求出以下函數(shù)寫出最簡式并畫出示意圖圖 ：1 hx= fx ax-x02 2 gx= fxcombx- x0/ /b0-5:0-6:0-7:gx = fx x+a- x-a)( )()( 00bxfdxbxxxf= fx x+a - fx x-a= f-a x+a - fa x-ahx = fx ax- x0axxaaxxa001axxaxfa001作圖作圖bx-xxfxg0comb)()(bx-x

10、bb0comb1 )(0nnbxxb )()(00nnbxxnbxfb(1)axaxaxf5rectcomb1)(1aaxaxaxf5rectcomb1)(2(2)方法：用寬度為方法：用寬度為 a 的狹縫對此分布掃描，在的狹縫對此分布掃描，在狹縫后用光電探測器記錄。狹縫后用光電探測器記錄。求光電探測器的輸出函數(shù)？求光電探測器的輸出函數(shù)？x平面上有一光強(qiáng)分布平面上有一光強(qiáng)分布例如：例如：fx=2+cos2 f0 x，希望將它測量出來。，希望將它測量出來。探測器輸出的光功率分布探測器輸出的光功率分布axf (x )1/f0 x22)()(axaxdfxgxxxxxdaxf)(rect)(xxxda

11、xf)(rect)(卷積運算卷積運算x設(shè)：物平面光軸上的單位脈沖在像平面產(chǎn)生的分布為設(shè)：物平面光軸上的單位脈沖在像平面產(chǎn)生的分布為hx物體分布物體分布成像系統(tǒng)成像系統(tǒng)像平面分布像平面分布像平面上的分布是物平面上各點產(chǎn)生的分布疊加以像平面上的分布是物平面上各點產(chǎn)生的分布疊加以后的結(jié)果后的結(jié)果. 需用卷積運算來描繪需用卷積運算來描繪f(x)成像成像xx x 0 x1f(x 1)h(x-x 1)x2f(x 2)h(x-x 2)f(0)h(x)物平面光軸上的單位脈沖在像平面產(chǎn)生的分布為物平面光軸上的單位脈沖在像平面產(chǎn)生的分布為hx像平面上的分布是物平面上各點產(chǎn)生的分布疊加以像平面上的分布是物平面上各點

12、產(chǎn)生的分布疊加以后的結(jié)果后的結(jié)果. 需用卷積運算來描繪需用卷積運算來描繪f(x x)成像成像xx x 0 x x1 1f(x x 1)h(x-x x 1)x x2 2f(x x 2)h(x-x x 2)f(0 0)h(x)x)()( ) () ()(xhxfdxhfxgxxx假設(shè)假設(shè)fx與與hx有界且可積有界且可積, 定義定義xxxdxhfxhxfxg) () ( )()()(*: 卷積符號卷積符號 gx是是fx與與hx兩個函數(shù)共同作用的結(jié)果兩個函數(shù)共同作用的結(jié)果.對于對于給定的給定的x,第一個函數(shù)的奉獻(xiàn)是第一個函數(shù)的奉獻(xiàn)是fx x,那么第二個函數(shù)的奉獻(xiàn)那么第二個函數(shù)的奉獻(xiàn)是是hx- x x.

13、需要對任何可能的需要對任何可能的x x求和求和. xxxddyxhfyxhyxfyxg ),(),(),(),(),(gx稱為函數(shù)稱為函數(shù)fx與與hx的的卷積卷積.二維函數(shù)的卷積二維函數(shù)的卷積:h()1/5 5 90f()1/3 4 60f()1/3 4 60h(-)1/5 -9 -50 xh(x-) x-9 x-5 4 60練習(xí): 計算rectx*rectx 9 11 13 15 g(x) x 0 2/151.用啞元用啞元 畫出函數(shù)畫出函數(shù)f 和和h ;2.將將h 折疊成折疊成h- ;3.將將h- 移位至給定的移位至給定的x, h- -x= hx - ;4.二者相乘二者相乘;5. 乘積函數(shù)曲

14、線下面積乘積函數(shù)曲線下面積 的值即為的值即為gx.步驟步驟:練習(xí): 計算rectx *rectx -1 0 1 g(x) x 11.用啞元用啞元 畫出畫出 二個二個 rect 2.將將rect 折疊后不折疊后不變變;3.將一個將一個rect- 移位至給定的移位至給定的x, rect- -x= rectx - ;4.二者相乘二者相乘;乘積曲線下乘積曲線下面積的值面積的值 即為即為gx.rect()1 -1/20 1/2|x| 1; gx = 0-1 x 0; gx = 1 x+1/2-1/2=1+x0 x 1; gx = 1 1/2- x-1/2= 1- xrect()1 -1/20 1/2 x

15、-1/2x x+1/2rect()1 -1/20 1/2rectx*rectx = trix探測器輸出的光功率分布探測器輸出的光功率分布:af (x )1/f0 xx)(rect)()(rec)()()(22axxfdaxtfdfxgaxaxxxxxx22)()()(axaxdfaxrectxfxgxx討論這個結(jié)果0002202)2(2sin)2(2sin2)2cos(2faxfaxfadfaxaxxx)2cos()( csin2)sin()2cos(200000 xfafafafxfafx=2+cos2f0 x)()()(xgxhxf)()()(xgxfxh假設(shè)證明：)() () () ()

16、 () () () (xgdxxxhxfdxxxhxfxdxxhxf令 x-x = xxxxxxxdhxfdxfhxfxh)()()()()()(證:)()()(xgxhxf假設(shè))()()(00 xxgxhxxf證明：1. 卷積滿足交換律卷積滿足交換律 Commutative Propertyfx*hx = h x* f x 推論推論:卷積是線性運算卷積是線性運算 Linearity avx + bwx*hx = avx* h x + bwx * hx 2. 卷積滿足分配律卷積滿足分配律 Distributive Property vx + wx * hx = vx* h x + wx * h

17、x 3.卷積滿足結(jié)合律卷積滿足結(jié)合律 Associative Propertyvx * wx*hx = vx * hx *wx= vx*wx* hx4. 卷積的位移不變性卷積的位移不變性 Shift invariance 假設(shè)假設(shè)fx*hx = gx, 那么那么 fx- x0 * hx = gx - x0 或或 fx * hx - x0 = gx - x0 5. 卷積的縮放性質(zhì)卷積的縮放性質(zhì) Scaling 假設(shè)假設(shè)fx*hx = gx, 那么那么 bxgbbxhbxf即任意函數(shù)與即任意函數(shù)與 x 卷積后不變卷積后不變)()()()()(xfdxfxxfxxx根據(jù)根據(jù) 1. -函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)

18、是偶函數(shù), 2. -函數(shù)的挑選性質(zhì)函數(shù)的挑選性質(zhì), 有有:任意函數(shù)與脈沖函數(shù)卷積的結(jié)果任意函數(shù)與脈沖函數(shù)卷積的結(jié)果, 是將該函數(shù)平是將該函數(shù)平移到脈沖所在的位置移到脈沖所在的位置.fx*x - x0 = f x - x0 fx與脈沖陣列的卷積可在每個脈沖位置產(chǎn)與脈沖陣列的卷積可在每個脈沖位置產(chǎn)生生fx的函數(shù)波形的函數(shù)波形,用于描繪各種重復(fù)性的構(gòu)用于描繪各種重復(fù)性的構(gòu)造造.=*bbaaa利用卷積的位移不變性可得利用卷積的位移不變性可得:0-10. 利用梳函數(shù)與矩形函數(shù)的卷積表示線光利用梳函數(shù)與矩形函數(shù)的卷積表示線光柵的透過率。假定縫寬為柵的透過率。假定縫寬為a，光柵常數(shù)為，光柵常數(shù)為d，縫數(shù)為縫數(shù)為N.0-11. 利用包含脈沖函數(shù)的卷積表示以下圖所利用包含脈沖函數(shù)的卷積表示以下圖所示雙圓孔屏的透過率。假設(shè)在其中任一圓孔示雙圓孔屏的透過率。假設(shè)在其中任一圓孔上嵌入上嵌入 位相板，透過率怎樣變化？位相板，透過率怎樣變化？ldxy透透 過率過率=輸出輸出/輸入輸入假設(shè)要求寫出解析運算式假設(shè)要求寫出解析運算