麥克斯韋速率分布律

1、2.4 2.4 麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律（Maxwell s law of distribution of speeds）描述氣體分描述氣體分子的無規(guī)則子的無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)熱運(yùn)動(dòng)全同粒子，按位置全同粒子，按位置分布是均勻的分布是均勻的如何描述分子的速如何描述分子的速率和速度率和速度二二 . 麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋速率分布函數(shù) 1859年麥克斯韋（年麥克斯韋（Maxwell）導(dǎo)出了理氣在）導(dǎo)出了理氣在無外場的平衡態(tài)（無外場的平衡態(tài)（T）下，）下， 分子速率分布函數(shù)為：分子速率分布函數(shù)為：22/v2/3v)2(4v)v(2kTmekTmNddNf不同溫度不同溫度質(zhì)量下，質(zhì)量下，分子按

2、速分子按速率的分布率的分布函數(shù)。函數(shù)。在在800-800+dv800-800+dv速率區(qū)間，單位速速率區(qū)間，單位速率區(qū)間分子數(shù)占總分子數(shù)之比率區(qū)間分子數(shù)占總分子數(shù)之比什么含義當(dāng)62310)800(/800,273,102fsmVkTgm舉例：調(diào)查成年人的身高分布情舉例：調(diào)查成年人的身高分布情況，并描述之況，并描述之將所有人的身高一將所有人的身高一一羅列一羅列第一無統(tǒng)計(jì)意義第一無統(tǒng)計(jì)意義（分布）（分布）第二無統(tǒng)計(jì)規(guī)律第二無統(tǒng)計(jì)規(guī)律（描述）（描述）統(tǒng)計(jì)抽樣調(diào)查方法統(tǒng)計(jì)抽樣調(diào)查方法100人m1.50-1.55m1.50-1.55m的人數(shù)的人數(shù)1301301.45 1.50 1.55 1.60 1.6

3、5 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95總?cè)藬?shù)總?cè)藬?shù)138013801.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.561.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.951.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95兩個(gè)問題兩個(gè)問題縱坐標(biāo)數(shù)字僅對(duì)該次調(diào)查有效，縱坐標(biāo)數(shù)字僅對(duì)該次調(diào)查有效，不能反映總體情況不能反映總體情況橫軸縱軸不橫軸縱軸不一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)無法得出任無法得出任意區(qū)間的人意區(qū)間的人數(shù)數(shù)身高身高1.531.53的人不的人不是是130001

4、3000?1.53-1.55?1.53-1.55的人的人數(shù)數(shù)比如比如統(tǒng)計(jì)圖應(yīng)該：統(tǒng)計(jì)圖應(yīng)該：hN在在h-h+h-h+h h身高區(qū)間，單位身高區(qū)間，單位身高的人數(shù)身高的人數(shù)例如：例如：13000/13000/（1.55-1.55-1.50)=26001.50)=2600人人/cm/cmdhdN在在h-h+dhh-h+dh身高區(qū)間，即身高區(qū)間，即h h高度處單位身高高度處單位身高的人數(shù)占總?cè)藬?shù)之比的人數(shù)占總?cè)藬?shù)之比平均速度與平均速度與瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度的關(guān)系關(guān)系NdhdNhf)(在在h-h+dhh-h+dh身高區(qū)間，即身高區(qū)間，即h h高度處單位身高高度處單位身高的人數(shù)的人數(shù)人群按身高的分布函數(shù)人

5、群按身高的分布函數(shù)二二 . 麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋速率分布函數(shù) 1859年麥克斯韋（年麥克斯韋（Maxwell）導(dǎo)出了理氣在）導(dǎo)出了理氣在無外場的平衡態(tài)（無外場的平衡態(tài)（T）下，）下， 分子速率分布函數(shù)為：分子速率分布函數(shù)為：22/v2/3v)2(4v)v(2kTmekTmNddNf分子數(shù)按速率的分布函數(shù)分子數(shù)按速率的分布函數(shù),是用同一尺度，是用同一尺度，-單位速率間隔和百分比來談分布的，單位速率間隔和百分比來談分布的，它避免了分子數(shù)它避免了分子數(shù)N和速率間隔的大小對(duì)和速率間隔的大小對(duì)分布的影響分布的影響NdvdNvf)(在在v-v+dv速度區(qū)間，即速度速度區(qū)間，即速度v v處單位速度處

6、單位速度區(qū)間分子數(shù)占總分子數(shù)之比區(qū)間分子數(shù)占總分子數(shù)之比dvvNfdN)(dvdN在在v-v+dvv-v+dv速度區(qū)間，即速度速度區(qū)間，即速度v v處單位速度處單位速度區(qū)間的分子數(shù)區(qū)間的分子數(shù)速度區(qū)間速度區(qū)間v-v+dvv-v+dv的分子數(shù)的分子數(shù)21)(dvvNfN速度區(qū)間速度區(qū)間v1-v2v1-v2的分子數(shù)的分子數(shù)問題問題1717：列式求速率在：列式求速率在700m/s-700m/s-800m/s800m/s分子數(shù)占總分子數(shù)的比率分子數(shù)占總分子數(shù)的比率800700800700)()(dvvfNdvvNf f(v)0v v +dvNNfvvvdd)( T，m 一定一定vm 氣體分子的質(zhì)量氣體

7、分子的質(zhì)量 01dvvf歸一化條件歸一化條件曲線下面的總面積等于曲線下面的總面積等于1。在左圖上的幾何意義為：在左圖上的幾何意義為：三三. 三種統(tǒng)計(jì)速率三種統(tǒng)計(jì)速率 1.最概然（可幾）速率（最概然（可幾）速率（most probable speed） f(v)0vpT，m 一定一定v，得：，得：由由 vv vv0d)(dP fTRTmkT22vp處在最概然速率處在最概然速率 v p 附近附近的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大。的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大。如圖示如圖示iiiiiNN vv分立情況下：分立情況下：連續(xù)情況下：連續(xù)情況下：vi v， i NNNN00ddvvvv NNNvvd0 0d

8、)(vvvfNi dNv=N f (v)dv，2.平均速率（平均速率（average speed）平均速率平均速率對(duì)麥?zhǔn)纤俾史植冀?jīng)計(jì)算得：對(duì)麥?zhǔn)纤俾史植冀?jīng)計(jì)算得：88vRTmkT 0d)()(vvvvf 規(guī)律：任意規(guī)律：任意v v 的函數(shù)的函數(shù) ( (v v) )對(duì)對(duì)全體分子的平均值都可以用全體分子的平均值都可以用速率分布函數(shù)由上式求得：速率分布函數(shù)由上式求得：（與前同）（與前同）排序：排序： 3. 方均根速率（方均根速率（root-mean-square speed） RTmkT33v2mkTf3d)(022 vvvv（麥）（麥）73. 1:60. 1:41. 13:8:2:2p v v v

9、 討論分子平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)用；討論分子平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)用； 討論分子碰撞問題時(shí)用；討論分子碰撞問題時(shí)用； 討論分子的速率分布時(shí)用。討論分子的速率分布時(shí)用。pvv2v 例例18 設(shè)某氣體的速率分布函數(shù)設(shè)某氣體的速率分布函數(shù))0(02vv v ，a )(vf)(00vv ，求：求：（1）常量）常量 a 和和 v0 的關(guān)系的關(guān)系v（2）平均速率）平均速率)(vfvv00為為解：解：1d)(0 vvf3000231dd)(0vvvvvvaaf （1）歸一化條件）歸一化條件303v aNNf 0d)(vvvv（2）設(shè)總分子數(shù)為）設(shè)總分子數(shù)為N， 002dvvvv a則則 0d)(vvvf404va 0403

10、043)3(41vvv （3） 202000d)(d)(vvvvvvvvvfNNf對(duì)否？對(duì)否？不對(duì)！不對(duì)！ 上式分母上的上式分母上的N應(yīng)為應(yīng)為 200d)(vvvNf 202000d)(d)(vvvvvvvvff323424)()(00vvaa vv 083例例19 19 容積為容積為30L30L的容器內(nèi)，裝有的容器內(nèi)，裝有20g20g氣體，容器內(nèi)壓強(qiáng)為氣體，容器內(nèi)壓強(qiáng)為0.50.5大氣壓，求大氣壓，求氣體分子的最概然速率氣體分子的最概然速率例例20 20 求溫度為求溫度為300K300K時(shí)，時(shí)，氮?dú)夥肿拥钠骄俾剩獨(dú)夥肿拥钠骄俾?，方均根速率方均根速率smMPVVp/109 . 322sm

11、RTsmRTNN/5173476822大氣的組成大氣的組成 地球形成之初，大氣中應(yīng)有大量的氫、氦，地球形成之初，大氣中應(yīng)有大量的氫、氦，但很多但很多H2H2分子和分子和HeHe原子的方均根速率超過了地原子的方均根速率超過了地球表面的逃逸速率球表面的逃逸速率(11.2km/s)(11.2km/s)，故現(xiàn)今地球大，故現(xiàn)今地球大氣中已沒有氫和氦了。但氣中已沒有氫和氦了。但N2N2和和O2O2分子的方均根分子的方均根速率只有逃逸速率的速率只有逃逸速率的1/251/25，故地球大氣中有大，故地球大氣中有大量的氮?dú)饬康牡獨(dú)?( (大氣質(zhì)量的大氣質(zhì)量的76%)76%)和氧氣和氧氣( (大氣質(zhì)大氣質(zhì)量的量的2

12、3%)23%)。(h2(h2方均根速率方均根速率,1900m/s),1900m/s)L金屬金屬蒸汽蒸汽速率選擇器速率選擇器屏屏vt =LLv1 21v=t =,tt =令令得得：2通過改變通過改變可獲得不同速率區(qū)間的分子。可獲得不同速率區(qū)間的分子。2.分子速率分布的測定分子速率分布的測定斯特恩實(shí)驗(yàn)斯特恩實(shí)驗(yàn)100200100200速率區(qū)間速率區(qū)間(m/s) 百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)200300200300300400300400400500400500500600500600600700600700700800700800800900800900900900100100分分子子 實(shí)實(shí)速速 驗(yàn)驗(yàn)率率 數(shù)數(shù)分

13、分 據(jù)據(jù)布布的的20.6 %20.6 %1.4 %1.4 %8.1 %8.1 %16.5 %16.5 %21.4 %21.4 %15.1 %15.1 %9.2 %9.2 %4.8 %4.8 %2.0 %2.0 %0.9 %0.9 % 1859年麥克年麥克斯韋從理論上斯韋從理論上得到速率分布得到速率分布定律。定律。 1920年斯特年斯特恩從實(shí)驗(yàn)上證恩從實(shí)驗(yàn)上證實(shí)了速率分布實(shí)了速率分布定律。定律。%0 100 200 300 400 500 600 700 800 900%0 100 200 300 400 500 600 700 800 900實(shí)驗(yàn)曲線實(shí)驗(yàn)曲線:六六. . 氣體分子的平均自由程（

14、氣體分子的平均自由程（mean free pathmean free path）汽油瓶問題汽油瓶問題:1858年克勞修年克勞修斯研究聲音和斯研究聲音和氣體分子速率氣體分子速率是同數(shù)量級(jí)的是同數(shù)量級(jí)的,但聲音和氣味但聲音和氣味卻不能同時(shí)到卻不能同時(shí)到達(dá)達(dá)粒子走了一條粒子走了一條艱難曲折的路艱難曲折的路B線度線度 10-8m碰撞規(guī)律碰撞規(guī)律使氣體使氣體由非平由非平衡態(tài)衡態(tài)平衡態(tài)平衡態(tài)實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)能量能量均分均分使分使分子速子速度有度有穩(wěn)定穩(wěn)定分布分布?xì)怏w分子自由程氣體分子自由程線度線度 1010-8-8m m一個(gè)分子連續(xù)兩次碰一個(gè)分子連續(xù)兩次碰撞之間經(jīng)歷的平均撞之間經(jīng)歷的平均 自自由路程叫平均自由程由

15、路程叫平均自由程 zvz一個(gè)分子單位時(shí)間里一個(gè)分子單位時(shí)間里受到平均碰撞次數(shù)叫受到平均碰撞次數(shù)叫平均碰撞頻率平均碰撞頻率單位時(shí)間內(nèi)分子經(jīng)歷的單位時(shí)間內(nèi)分子經(jīng)歷的平均距離平均距離 ，平均碰撞，平均碰撞 次次zv設(shè)分子設(shè)分子 A A 以相對(duì)平以相對(duì)平均速率均速率 運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)，其它分子可設(shè)為靜止它分子可設(shè)為靜止. .平均碰撞頻率平均碰撞頻率(mean collision frequency)(mean collision frequency)Zu 2 2d dd du2 d n n單位時(shí)間內(nèi)分子單位時(shí)間內(nèi)分子 A A 走走 u u ，相應(yīng)的圓柱體體積為相應(yīng)的圓柱體體積為 ，則則uunz 碰撞截面運(yùn)

16、動(dòng)方向上,以 d 為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將與分子A碰撞.該圓柱體的面積 就叫碰撞截面統(tǒng)計(jì)理論可計(jì)算統(tǒng)計(jì)理論可計(jì)算vu2所以所以vndz22nd221二、真空的概念二、真空的概念P1PdkT22nkTP P理論公式表明理論公式表明zvlZl但容器的線度但容器的線度l 實(shí)際分子的平均自由程就是容器的線度實(shí)際分子的平均自由程就是容器的線度l微觀上的真空與壓強(qiáng)無關(guān)微觀上的真空與壓強(qiáng)無關(guān)時(shí)時(shí)l例例21 直徑直徑5厘米的容器厘米的容器 內(nèi)部充滿氮?dú)鈨?nèi)部充滿氮?dú)?真空度真空度10-3 Pa 已知氧分子有效直徑已知氧分子有效直徑d=3.7*10-10m) 求求: 常溫常溫( (293K) )下平均自由程的理

17、論計(jì)算值下平均自由程的理論計(jì)算值 解：解：kTPn 2931038. 110233317m/1047. 2nd221172101047. 2107 . 321m66. 6例例22 22 求常溫常壓下（求常溫常壓下（300K300K，1.0131.013* *10105 5Pa)Pa)氧氣分子的氧氣分子的 ，已知氧分子有效直，已知氧分子有效直徑徑d=2.0d=2.0* *1010-10-10m) m) zand)(1030. 2272mpdkT)1 (1074. 7292svvndz)(1078. 183smRtzv2.10 氣體的輸運(yùn)過程氣體的輸運(yùn)過程氣體的輸運(yùn)過程輸運(yùn)過程：氣體由非平衡態(tài)過渡

18、到平輸運(yùn)過程：氣體由非平衡態(tài)過渡到平衡態(tài)的過程衡態(tài)的過程非平衡態(tài)：系統(tǒng)各部分物理性質(zhì)不均勻物理量熱運(yùn)動(dòng)形式輸運(yùn)過程物理現(xiàn)象定向速度交換動(dòng)量動(dòng)量輸運(yùn)粘滯現(xiàn)象密度交換質(zhì)量質(zhì)量輸運(yùn)擴(kuò)散現(xiàn)象溫度交換能量能量輸運(yùn)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象輸運(yùn)過程與物理性質(zhì)不均輸運(yùn)過程與物理性質(zhì)不均勻程度及氣體分子熱運(yùn)動(dòng)勻程度及氣體分子熱運(yùn)動(dòng)程度有關(guān)程度有關(guān)1、粘滯現(xiàn)象與動(dòng)量輸運(yùn)、粘滯現(xiàn)象與動(dòng)量輸運(yùn)（1）為什么交換動(dòng)量，會(huì)產(chǎn)生內(nèi)摩擦力）為什么交換動(dòng)量，會(huì)產(chǎn)生內(nèi)摩擦力VbVa)(skgdtdm)(skgdtdmVbVa列車A、B速度分別為為Va、Vb，并排行駛，特殊機(jī)械以 的速率將A、B的物質(zhì)互換，求額外加多大力使A、B速度不變)(skgdtdm解：對(duì)解：對(duì)A A，設(shè)速度方向?yàn)檎较?，設(shè)速度方向?yàn)檎较騿挝粫r(shí)間獲得沖量單位時(shí)間獲得沖量= =單位時(shí)間獲得動(dòng)量減失去動(dòng)量單位時(shí)間獲得動(dòng)量減失去動(dòng)量)(VbVadtdmdtdpFtmVatmVbtp由于交換物由于交換物質(zhì)質(zhì)A A受反向，受反向，B B受正向，大受正向，大小為小為 的力。的力。)(VbVadtdm(2)(2)牛頓粘滯定律牛頓粘滯定律sdzdvdtdpF（3 3）微觀分析）微觀分析 由于分子熱運(yùn)動(dòng)，不同流層分子相由于分子熱