七年級(jí)圖形面積驗(yàn)證乘法公式

1、七年級(jí)第一學(xué)期期中練習(xí)之圖形面積用圖形面積驗(yàn)證乘法公式(恒等式)(一)用圖形面積的兩種表示驗(yàn)證公式1、利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式.例如，根據(jù)圖甲，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2 .你根據(jù)圖乙能得到的數(shù)學(xué)公式是 分析：由圖乙可知，大正方形的面積為a2,左上角正方形的面積為(a b)2 ,則其面積 還可表示為大正方形的面積減去兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積再加上一個(gè)小正方形的面積(右下角) 即 a2 2ab b2.解：（a b）2 a2 2ab b2.2、在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a> b),再沿虛線剪開(kāi)，如圖(1)，然后拼成一個(gè)梯

2、形 如圖(2)，根據(jù)這兩個(gè)圖形的面積關(guān)系，表明下列式子成 立的是(A)(A)a 2 -b 2 =(a+b)(a-b).(B)(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2.(C)(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2. (D)a 2 -b 2 =(a-b) 2.3、如下圖a,邊長(zhǎng)為a的大正方形中一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，小明將圖a的陰影部分拼成了一個(gè)矩形，如圖b。這一過(guò)程可以驗(yàn)證(D)A、a2+b2-2ab=(a-b)2; B、a2+b2+2ab=(a+b)2;C、2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b); D、a2-b2=(a+b) (a-b)4、如圖，邊長(zhǎng)為a,b(a>b)的大小兩

3、個(gè)正方形的中心重合邊保持平行.如果從正方形中剪去小正方形，那么剩下的圖形可分割成四個(gè)形狀大小相同的梯形，計(jì)算剩下的圖形面積，驗(yàn)證了公式答案：a2 b2 (a b)(a b)2.2.A、a b a b a b,222B、 a b a 2ab b_.222C、 a b a 2ab b22D、 a 2b a b a ab 2b5、如圖，在邊長(zhǎng)為 a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為 b的小正方形，把余下的部分剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形， 通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形(陰影部分)的面積，驗(yàn)證了 一個(gè)等式，則這個(gè)等式是(A)6、如圖(1),A,B,C是三種不同型號(hào)的卡片，其中A型是邊長(zhǎng)為a的正方形,B型是長(zhǎng)為b,寬為 a的長(zhǎng)方形,C是

4、邊長(zhǎng)是b的正方形.小杰同學(xué)用1張A型,2張B型和1張C型卡片拼出了一 個(gè)新的圖形如圖(2)請(qǐng)根據(jù)這個(gè)圖形的面積關(guān)系寫出一個(gè)你所熟悉的乘法公式，這個(gè)乘法公式是:答案：(a b)2 a2 2ab b27、如圖是四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請(qǐng)利用圖中的空白部T分面積的不同表示方法，寫出一個(gè)關(guān)于 a,b的恒等式解析：根據(jù)圖3中的面積寫一個(gè)等式，需要用兩種方法表示空 白正方形的面積.首先觀察大正方形是有四個(gè)矩形和一個(gè)空白正 方形組成，所以空白正方形的面積等于大正方形的面積剪去四個(gè) 矩形的面積，即(a+b)2-4ab,空白正方形的面積也等于它的邊長(zhǎng)的 平方，即(a-b)2,根據(jù)面積相等有(a+b)2-4

5、ab=(a-b)2實(shí)際是利用實(shí) 際正方形的面積驗(yàn)證平方式(a+b)2與(a-b)2之間的關(guān)系.填(a+b)2-4ab=(a-b)2 或(a-b)2+4ab=(a+b)2 或(a+b)2-(a-b)2=4ab.8、如圖是由邊長(zhǎng)為 a和b的兩個(gè)正方形組成，通過(guò)用不同的方法，計(jì)算圖4中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的一個(gè)公式是 解析：要表示陰影部分的面積，可以從兩個(gè)方法出發(fā)，一是觀察陰影部分是由邊長(zhǎng)為a的正方形減去邊長(zhǎng)為b的正方形得到的，所以它的面積等于a2-b2,二是陰影部分是由兩個(gè)直角梯形構(gòu)成的，所以它 的面積又等于兩個(gè)梯形的面積和。這兩個(gè)梯形的面積都等于1 一，、2(b a)(a b),所以梯形的面

6、積和是(a+b)(a-b),根據(jù)陰影部分的面積不變，得(a+b)(a-b)=a2-b2.所以驗(yàn)證的一個(gè)公式是 (a+b)(a-b)=a2-b2.解：填(a+b)(a-b)=a2-b29、如圖，在邊長(zhǎng)為 a的正方形中減去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a>b),把剩下的部分拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，驗(yàn)證了公式 .圖5解析：本題是一道數(shù)形結(jié)合創(chuàng)新題，通過(guò)圖形的面積計(jì)算，驗(yàn)證乘法公式.從圖形中的陰影部分可知其面積是兩這個(gè)正方形的面積差，即a2-b2,又由于圖的梯形的上底是2b,下底是2a,高1 一為a-b,所以梯形的面積為一(2a 2b)(a b) =(a+b)(a-b),根據(jù)面

7、積相等，得乘法公2式:a2-b2=(a+b)(a-b).填 a2-b2=(a+b)(a-b).10、如圖，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是()22(A) ab(ab)(ab)(B) (ab)2a22abb2(C) (ab)2a22abb22211、如圖一，在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a b),把余下的部分(D) (a 2b)(a b) a ab 2b剪拼成一個(gè)矩形(如圖二)，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形(陰影部分)的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式， 則這個(gè)等式是()(A) a2b2(ab)(ab)(B) (ab)2a22abb2,.、22_ . 2(C) (ab)a2abbb(D) (a 2b)(a

8、 b) a ab 2b(圖一)(圖二)12、下面的圖(1)是由邊長(zhǎng)為a的正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后余下的圖形把圖(1)剪開(kāi)后，再拼成一個(gè)四邊形，可以用來(lái)驗(yàn)證公式：a2 b2(a b)(a b).22(1)請(qǐng)你通過(guò)對(duì)圖(1)的剪拼，畫出三種不同拼法的示意圖.要求:拼成的圖形是四邊形；在圖(1)上畫剪切線(用虛線表示)；在拼出的圖形上標(biāo)出已知的邊長(zhǎng).(2)選擇其中一種拼法寫出驗(yàn)證上述公式的過(guò)程.分析：本題的重點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)會(huì)通過(guò)面積法推證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式.如果對(duì)課本上說(shuō)明乘法公式的幾何意義的內(nèi)容掌握較好的話，解答本題就容易多了解：(1)不同拼法如下：第一種：圖1圖2第二種:b第三種:

9、（2）驗(yàn)證略.13、已知（如圖）：用四塊底為b、高為a、斜邊為c的直角三角形拼成一個(gè)正方形，求圖形 中央的小正方形的面積，你不難找到解法（1）小正方形的面積=解法（2）小正方形的面積=由解法（1）、（2）,可以得到a、b、c的關(guān)系為：AbFaBa Eb DaHbbG a C14、已知（如圖）用四塊大小一樣，兩直角邊的長(zhǎng)分別為 a、 b,斜邊的長(zhǎng)為c的直角三角形拼成一個(gè)正方形 ABCD,求圖形 中央的小正方形 EFGH的面積，有2微圖（1）S正方形 EFGH = （用 a、b 表不）；（2） S正方形efgh = （用C表示）； 由、（2）,可以得到a、b、c的關(guān)系為:（二）用拼圖驗(yàn)證恒等式1、

10、如圖，請(qǐng)用兩種不同方法計(jì)算陰影部分的面積.（結(jié)果用含x, y的代數(shù)式表示） 2x（a b）的C類卡片a+2、有若干張如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片，如果要拼一個(gè)長(zhǎng)為（2a b）,寬為長(zhǎng)方形，則需要 A類卡片 張，B類卡片 張，張，請(qǐng)你在答題卷中的大長(zhǎng)方形中畫出一種拼法.2a3ab b23、閱讀下面的材料并解答問(wèn)題：我們知道，完全平方公式可以用幾何圖形的面積來(lái)表示, 實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示，例如2a b a b 2a2就可以用圖或圖等圖形的面積表示：3b2;（1）請(qǐng)寫出圖所表示的代數(shù)恒等式：（2）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示為：a b a 3b a2 4ab（3）請(qǐng)仿

11、照上述方法另寫一個(gè)含 a、b的代數(shù)恒等式，并畫出與之對(duì)應(yīng)的幾何圖形。辮析本鹿是道開(kāi)放髓，答案有多種，下面僅提供一種答案，供參騫;(1) (口 + %)(2。+ 白)=2/ + 5帥+2法 1(2)畫圖(如四H口5+ 2&)=疝(如圖上4、閱讀材料并解答問(wèn)題：我們已經(jīng)知道，公式(a+b)2=a2+2ab+b2可以用平面圖形的面積來(lái)表示，實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用圖1或圖2的面積表示.(1)請(qǐng)寫出圖3中所表示的代數(shù)恒等式：.(2)試畫一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示：(a+b)(a+3b)=(a 2+4ab+3b2

12、)(3)請(qǐng)仿照上述另寫一個(gè)含有a、b的代數(shù)式恒等式，并畫出與之對(duì)應(yīng)的幾何圖形圖1圖2圖3解析：本題是一道和整式乘法有關(guān)的創(chuàng)新圖形題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想 (1)觀察圖形可知這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為( 2a+b),寬為(a+2b),根據(jù)長(zhǎng)方形的面積為長(zhǎng)乘以寬，得左邊為(2a+b)(a+2b).又長(zhǎng)方形的面積等于各部分的面積的和，所以右邊為 2a2+5ab+2b2從而得恒等式為(2a+b)(a+2b)=2a，5ab+2b2.請(qǐng)你在試一試(2)根據(jù)已知等式可畫如圖4.圖形的畫法不止一種圖4，畫出與代數(shù)式恒等式對(duì)應(yīng)的平面圖形即(3)按題目要求寫一個(gè)與上述不同的代數(shù)式恒等式 可.(相信你一定能試著完成).5、已知

13、，如圖5,現(xiàn)有a a、b b的正方形紙片和a b的長(zhǎng)方形紙片各若干塊，試選用這些紙片(每種紙片至少用一次)在下面的虛線方框中拼成一個(gè)長(zhǎng)方形(每?jī)蓚€(gè)紙片之間既不重疊，也無(wú)空隙，拼出的圖中必須保留拼圖的痕跡)，使拼出的長(zhǎng)方形面積為2a2 5ab 2b2 ,并標(biāo)出此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬圖5析解:本題是一道和整式乘法有關(guān)的拼圖探索題，要拼一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是2a2+5ab+2b2,只要找到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可，因?yàn)椋?a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2,因?yàn)閺囊阎梢钥闯?b>a,所以 長(zhǎng)方形白長(zhǎng)為a+2b,寬為2a+b.知道了長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)就可以拼出長(zhǎng)方形了.本題的解法不惟一，下面給出兩種拼法，

14、如圖6所示.圖66、有若干張如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形（數(shù)量足夠多），請(qǐng)你利用這些卡片拼成一些正方形和長(zhǎng)方形（卡片可以重疊），利用所拼成的圖形的面積的不同表示方法寫出一些等式（在所畫出示意圖并寫出相應(yīng)的等示）拼的圖形中，至少有兩個(gè)圖形包括三種不同形狀的卡片,(2a + fr)(a + 2b) =2a2 + 5ab + 262(a + i)2 = 4ab + (a - b)2+2) = a1 + 2-(2a + 6) = 2az + 3ab + /初+3廬(fl + i)2 = a2 + 2ab + b27、圖a是一個(gè)長(zhǎng)為2 m、寬為2 n的長(zhǎng)方形，沿 剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖b的形狀拼

15、形.mn圖中虛線用成一個(gè)正方n圖a（1）、你認(rèn)為圖b中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于多少？（2）、請(qǐng)用兩種不同的方法求圖b中陰影部分的面積.方法1： 方法2： （3）、觀察圖b你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎 ？22代數(shù)式：m n , m n , mn.（4）、根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：2右 a b 7,ab 5 ,貝U （a b） =.解析：（1）圖b中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于（m n）；2（2）方法一：用大正方形的面積減去 4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，即S陰影（m n） 4mn.方法二：由（1）中小正方形的邊長(zhǎng)直接求得小正方形的面積為（m n）2.（3）由（2）可知，兩次求得的陰影部分的面積應(yīng)該相等，所以代數(shù)式（m n）2 ,、2,、，、，一， ，、2,、 2（m n） , 4mn 之間的關(guān)系為； （m n） = （m n） 4mn.（4）當(dāng) a b 7,ab 5 時(shí)，（a b）2=（a b）2 4ab= 72 4 5 29.8、已知，如圖1,現(xiàn)有a a、b b的正方形紙片和 a b的長(zhǎng)方形紙片各若干塊，試選用這些紙片（每種紙片至少用一次）在下面的虛線