(完整版)二項式定理典型例題

1、高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)二項式定理練習(xí)題n11,在二項式&-的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理項.24x分析：本題是典型的特定項問題，涉及到前三項的系數(shù)及有理項，可以通過抓通項公式解決.解：二項式的展開式的通項公式為：rdr24x2n3r前三項的r0,1,2.11c11得系數(shù)為：t11,t2C；-n,t3c2-n(n1),2248，一1，、由已知：2t211t3n1n(n1),8n8通項公式為163rTr1C8xr0,1,28,1為有理項，故163r是4的倍數(shù),2rr0,4,8.依次得到有理項為T1xt5C8xxx,T9C；-8x2x2.1 8248828256說明：本題通

2、過抓特定項滿足的條件，利用通項公式求出了r的取值，得到了有理項.類似地，（J5禽）100的展開式中有多少項是有理項？可以通過抓通項中r的取值，得到共有系數(shù)和為3n.2 .（1）求（1x）3（1x）10展開式中x5的系數(shù)；（2）求（x12）6展開式中的常數(shù)項.x分析：本題的兩小題都不是二項式展開，但可以轉(zhuǎn)化為二項式展開的問題，（1）可以視為兩個二項展開式相乘；（2）可以經(jīng)過代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項式.解：（1）（1x）3（1x）10展開式中的x5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項：用（1x）3展開式中的常數(shù)項乘以（1x）10展開式中的x5項，可以得到c；°x5；用.31044445（

3、1x）展開式中的一次項乘以（1x）展開式中的x項可得到（3x）（C10x）3C10x；用(1x)3中的x2乘以(1x)10展開式中的(C5oC403C30C12o)x563x5.C3ox33C；0x5；用(1x)3中的C2ox5,合并同類項得x5項為:x3項乘以(1x)10展開式中的x2項可得到3x3C2ox22x12、x1xx12,1c、5一(x2)xx12展開式的通項公式Tr1C；2(2)12C%x6r,可得展開式的常數(shù)項為C；2924.說明：問題(2)中將非二項式通過因式分解轉(zhuǎn)化為二項式解決.這時我們還可以通過合并項轉(zhuǎn)化為二項式展開的問題來解決.2 6.一.5.3 .求(1xx)展開式中

4、x5的系數(shù).分析：(1xx2)6不是二項式，我們可以通過1xx2(1x)x2或1(xx2)把它看成二項式展開.解：方法一：(1xx2)6(1x)x2665244(1x)6(1x)x15(1x)x其中含x5的項為C5x56c5x515C1x56x5.5含x項的系數(shù)為6.方法二：(1xx2)61(xx2)622.22.32.42.5.2.616(xx)15(xx)20(xx)15(xx)6(xx)(xx)其中含x5的項為20(3)x515(4)x56x56x5.，x5項的系數(shù)為6.方法3：本題還可通過把(1xx2)6看成6個1xx2相乘，每個因式各取一項相乘可得到乘積的一項，x5項可由下列幾種可能

5、得到.5個因式中取x,一個取1得至iJC6x5.3個因式中取x,一個取2，-一X,兩個取1個因式中取X,兩個取X2,三個取合并同類項為(C6C3C3c6c5)x56x5,x5項的系數(shù)為6.4.求證：（1）C；2C2nCnn0n12;C0羅n1C23Cn，Cnn1Cn(2n11).分析：二項式系數(shù)的性質(zhì)實際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項式系數(shù)的性質(zhì)來證明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值.解決這兩個小題的關(guān)鍵是通過組合數(shù)公式將等式左邊各項變化的等數(shù)固定下來，從而使用項式系數(shù)性質(zhì)C0C；C2C：2n.k解：(1)kCnn!n!(n1)!k!(nk)!(k1)!(nk)!(k1)!(nk)!

6、41nCn1，左邊nCn1n/nCn1，左邊n(C：C；1Cn1)n2n1右邊.LCkCn1(n1)!(k1)!(n，C1,Cn1n1、C；1n1n!n!k!(nk)!(k1)!(nk)!k)!C：C2C21C；）LCn1Cn1n1(2n11）右邊.說明：本題的兩個小題都是通過變換轉(zhuǎn)化成二項式系數(shù)之和，再用二項式系數(shù)的性質(zhì)但這需要逆用二項式定求解.此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個二項式的展開式,理才能完成，所以需仔細(xì)觀察，我們可以看下面的例子：求29C1028C927C82C102C102C10_22Cw10的結(jié)果.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與（12）10的展開式接近，但要注意:(12

7、)10C00C102C20229Q910Q10C102C102121022C20o99Q10102C102C10從而可以得到：102cl2028C：o29C；0-(3101).25.利用二項式定理證明：32n28n9是64的倍數(shù).分析：64是8的平方，問題相當(dāng)于證明32n28n9是82的倍數(shù)，為了使問題向二項式定理貼近，變形32n29n1(81)n1,將其展開后各項含有8k,與82的倍數(shù)聯(lián)系起來.解：32n28n9_n1_n1_98n9(81)8n98n1Cn18-n1_2_n八/八八Cn18Cn1818n9_n1八1.nn1八2.八8Cn18Cn188(n1)18n9.n1Yncn1八28C

8、n18Cn18(8n1C1118n2cn1)64是64的倍數(shù).說明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來證明整除問題，而且可以用此方程求一些復(fù)雜的指數(shù)式除以一個數(shù)的余數(shù).10一.，一.、.8.若將(xyz)展開為多項式，經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為().A.11B.33C.55D.661010分析：(xyz)看作二項式(xy)z展開.解：我們把xyz看成(xy)z,按二項式展開，共有11“項”，即101010k10kk(xyz)(xy)zC1o(xy)z.k0這時，由于“和”中各項z的指數(shù)各不相同，因此再將各個二項式(xy)10k展開,不同的乘積C10(xy)10kzk(k0,1,10)展開后，都不

9、會出現(xiàn)同類項.卜面，再分別考慮每一個乘積C10(xy)10kzk(k0,1,10).其中每一個乘積展開后的項數(shù)由(xy)10k決定，而且各項中x和y的指數(shù)都不相同，也不會出現(xiàn)同類項.故原式展開后的總項數(shù)為11109166,，應(yīng)選D.的展開式的常數(shù)項為20,項式x后寫出通項,令含x的哥指數(shù)為零，進(jìn)而解出n.2n.然2n；當(dāng)x0時，同理x一.1n12n斛：當(dāng)x0時x2Jx-=,其通項為x,xTr1C2n(或尸,(-jx)r(C2rn(向2n二令2n2r0,得nr,展開式的常數(shù)項為（1）nC2n；(1)nx2n1n1當(dāng)x0時，x12x同理可得，展開式的常數(shù)項為(1)(2nn.無論哪一種情況，常數(shù)項均

10、為(1)nC2nn.令(1)nC120,以n1,2,3,逐個代入，得n3.101 .10.VxL的展開式的第3項小于第4項，則x的取值范圍是3.x分析：首先運用通項公式寫出展開式的第3項和第4項，再根據(jù)題設(shè)列出不等式即可.10解：使Jx+有意義，必須依題意，有t3t4,即g2,（Jx）8233：GMI3：10910981:x213213.x一8.一解得0x-V648.,一一一一8.，x的取值范圍是x0x-<648.9.應(yīng)填：0x85648.911.已知(xlog2x1)n的展開式中有連續(xù)三項的系數(shù)之比為1：2：3,這三項是第幾項？若展開式的倒數(shù)第二項為112,求x的值.解：設(shè)連續(xù)三項是第

11、k、k1、k2項(kN且k1),則有1ckck1CnCn1：2：3,n!即L(k1)(nk1)!n!.n!k!(nk)!(k1)(nk1)1：2：3.1(nk)(nk1)1k(nk)!1：2：3.k(k1)k1nk12(k1)2(nk)3k(nk)1(nk)(nk1)2k(k1)2k(nk)3n14,k5所求連續(xù)三項為第5、6、7三項.又由已知，Cuxlo92x112.即xlog2x8.兩邊取以2為底的對數(shù)，(log2x)23,log2x，3,x2、3,或x2,；3.說明：當(dāng)題目中已知二項展開式的某些項或某幾項之間的關(guān)系時，常利用二項式通項,根據(jù)已知條件列出某些等式或不等式進(jìn)行求解.12.(1

12、2x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.分析：根據(jù)已知條件可求出n,再根據(jù)n的奇偶性；確定二項式系數(shù)最大的項.66解：T6Cn(2x)5,T7Cn(2x),依題意有C；25C；26n8.8444(12x)的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為T5C8(2x)1120x.設(shè)第r1項系數(shù)最大，則有C；2r2r1C；i2ir5或r6(r0,1,2,8).系婁最大的項為：T61792x5,T71792x6.說明：(1)求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大.(2)求展開式中系數(shù)最大項

13、與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.13.設(shè)f(x)(1x)m(1x)n(m,nN),若其展開式中關(guān)于x的一次項的系數(shù)和為11,問m,n為何值時，含2x項的系數(shù)取最小值？并求這個最小值.分析：根據(jù)已知條件得到x2的系數(shù)關(guān)于n的二次表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值問題.解：以C：nm11.2、mnn)22mn1121102mn211299n11n55(n).224'nN,2n5或6,m6或5時，x項系數(shù)最小，最小值為25.11,9911說明：二次函數(shù)y(xy)21的對稱軸方程為x萬，即x5.5,由于5、6距11299，

14、一八5.5等距離，且又nN,5、6距5.5最近，所以(n)的最小值在n5或n624處取得.14.若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0,求(1)a1a2a7;(2)aa3asa7;(3)a。a2a4a6.解：令x0,則a01,令x1,則a7a6a1a027128.1a1a2a7129.由一得：a12a3a5a78256由得:2a0a2a4a62"7a6a5a4a3a2a1a0)a7a6a5a4a3a2aa。)12128說明：(1)用于恒等式.(4)78128.本解法根據(jù)問題恒等式特點來用“特殊值”法.這是一種重要的方法，它適(2)一般地,對于多項式g(x)(pxnq)a0a1x2a

15、2xanxn,g(x)的各項的系數(shù)和為g(1)：、,-，1g(x)的奇數(shù)項的系數(shù)和為-g(1)一,一一，1g(x)的偶數(shù)項的系數(shù)和為-g(1)g(1).g(1)25.一18.在(x3x2)的展開式中x的系數(shù)為(A.160B.240C.360D.800分析：本題考查二項式定理的通項公式的運用.應(yīng)想辦法將三項式轉(zhuǎn)化為二項式求解.解法1：由(x23x2)5(x23x)25,得Tk1C；(x23x)5C；2k(x23x)5k再一次使用通項公式得,Tr1C5k2kC；k3rx102kr這里0令10k2k5,r1,即2kr9.所以r1,4,由此得到x的系數(shù)為C；243240_55_53x2)(x1)(x2

16、),常數(shù)項為1,(x2)5的展開式中x的系數(shù)為C；24,常數(shù)項為25.因此原式中x的系數(shù)為C5425C5424240.解法3：將(x23x2)5看作5個三項式相乘，展開式中x的系數(shù)就是從其中一個三項式中取3x的系數(shù)3,從另外4個三項式中取常數(shù)項相乘所得的積，即C53C424240.應(yīng)選B.一919.已知aJx的展開式中x3的系數(shù)為9,常數(shù)a的值為x124分析：利用二項式的通項公式.解：在aJ-的展開式中，x2a9rxrrQr153r9通項公式為TriC；aJ-C9(1)ra9r-x2.x-22393根據(jù)題設(shè)，一r93,所以r8.代入通項公式，得1ax.21699根據(jù)題思，一a,所以a4.164

17、，應(yīng)填：4.20.若nN，求證明：32n324n37能被64整除.分析：考慮先將32n3拆成與8的倍數(shù)有關(guān)的和式，再用二項式定理展開.解：32n324n372n23324n3739n124n37Qn1nQpn18Cn18Cn1J24n37(n1)81J24n37C：；82(8n9)J24n378n3C：；J3(8n9)24n373(81)n124n370an1r1anr23LCn18Cn18Cn138n1C：18nC：18n138n1c118nC：18n13828n1C118n2C：18n1,C：18n2,C1218n3,均為自然數(shù)，上式各項均為64的整數(shù)倍.原式能被64整除.說明：用二項式定

18、理證明整除問題，大體上就是這一模式，先將某項湊成與除數(shù)有關(guān)的和式，再展開證之.該類題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，但不如用二項式定理證明簡捷.2.222.n21.已知(x33x)的展開式各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項.分析：先由條件列方程求出n.(1)需考慮二項式系數(shù)的性質(zhì)；(2)需列不等式確定r.解：令x1得展開式的各項系數(shù)之和為(13)n22n，而展開式的二項式系數(shù)的和為C0c：CnC；.有22n2n992.n5.(1);n5,故展開式共有6,其中二項式系數(shù)最大的項為第三、第四兩項.22,W、32、261T3C5(x3)(3x)90x,222T4C；(xm)2(3x2)3270xy.(2)設(shè)展開式中第r1項的系數(shù)最大.2104r一r,3、5r2、rrr-3-Tr1C5(x)(3x)C53x5故有C；