第二章 二維線性系統(tǒng)

1、主講教師：劉主講教師：劉 毅毅第二章第二章 二維線性系統(tǒng)二維線性系統(tǒng)太原理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院本章主要內(nèi)容 線性系統(tǒng) 線性不變系統(tǒng) 抽樣定理第一節(jié) 線性系統(tǒng),g x yf x y L L用算符用算符 描述系統(tǒng)的作用！描述系統(tǒng)的作用！ L L1、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表示第一節(jié) 線性系統(tǒng)2、線性系統(tǒng)的定義 若對(duì)于任意兩個(gè)輸入函數(shù)若對(duì)于任意兩個(gè)輸入函數(shù)f1和和f211,gx yfx y L L22,gx yfx y L L1 1221 122,a fx ya fx ya fx ya fx yL LL LL L11221122,afx yafx ya gx ya gx yLL對(duì)于任意復(fù)數(shù)常數(shù)對(duì)于任意復(fù)數(shù)常數(shù)

2、a a1 1和和a a2 2，均有如下關(guān)系成立：，均有如下關(guān)系成立：則表明該系統(tǒng)是則表明該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)！均勻性、疊加性均勻性、疊加性第一節(jié) 線性系統(tǒng)圖例：線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)第一節(jié) 線性系統(tǒng)3 3、基元函數(shù)基元函數(shù)的系統(tǒng)響應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)（系統(tǒng)是一個(gè)線性系統(tǒng)）（系統(tǒng)是一個(gè)線性系統(tǒng)）一系列的一系列的“基元函數(shù)基元函數(shù)”的和的和分分解解1,miiifx ya fx y常用的基元函數(shù)有 函數(shù)函數(shù)、階躍函數(shù)階躍函數(shù)、余弦函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)等余弦函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)等對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的“基元函數(shù)基元函數(shù)”響應(yīng)的和響應(yīng)的和合合成成1,miiia gx yg x y,iiiia fx ya gx yL L第一節(jié) 線

3、性系統(tǒng) 舉例：舉例：選取基元函數(shù)為選取基元函數(shù)為脈沖函數(shù)脈沖函數(shù) ( ( 函數(shù)函數(shù)) )根據(jù)脈沖函數(shù)的篩選性質(zhì)，可將任意函數(shù)分解為： ,f x yfxyd d 任意函數(shù)都可以看作xy平面上不同位置處的很多函數(shù)的線性組合，而每一個(gè)位于(,)坐標(biāo)的函數(shù)的權(quán)重因子就是函數(shù)在該點(diǎn)的數(shù)值f(,)。這種分解方法稱(chēng)為脈沖分解脈沖分解。于是系統(tǒng)的輸出為：于是系統(tǒng)的輸出為： ,g x yfx yfxyd d L LL L由于系統(tǒng)是線性的，系統(tǒng)算符由于系統(tǒng)是線性的，系統(tǒng)算符 可以寫(xiě)進(jìn)積分號(hào)內(nèi)可以寫(xiě)進(jìn)積分號(hào)內(nèi)(與積分算符交換順序與積分算符交換順序)，直，直接作用到各個(gè)基元函數(shù)上：接作用到各個(gè)基元函數(shù)上： L L,g

4、 x yfxyd d L L一維函數(shù)的脈沖分解一維函數(shù)的脈沖分解xf(x)f()f().第一節(jié) 線性系統(tǒng),g x yfxyd d L L若令若令 , ; ,h x yxy L L它表示系統(tǒng)輸出平面(x,y)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于輸入平面坐標(biāo)(,)點(diǎn)的函數(shù)響應(yīng)，稱(chēng)為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。 , ; ,g x yfh x yd d 系統(tǒng)輸出：系統(tǒng)輸出： 上式描述了線性系統(tǒng)輸入和輸出的關(guān)系，稱(chēng)其為“疊加積分疊加積分”； 只要知道系統(tǒng)對(duì)位于輸入平面上所有所有可能點(diǎn)的脈沖響應(yīng)，就可以通過(guò)疊加積 分完全確定系統(tǒng)的輸出； 若系統(tǒng)輸入和輸出滿(mǎn)足上述疊加積分關(guān)系，該系統(tǒng)必然是線性系統(tǒng)。第二節(jié) 線性不變系統(tǒng)一、線性不變系

5、統(tǒng)一、線性不變系統(tǒng)線性系統(tǒng)的一個(gè)子類(lèi)線性系統(tǒng)的一個(gè)子類(lèi)根據(jù)“疊加積分”原理，只要知道系統(tǒng)對(duì)位于輸入平面上所有可能點(diǎn)的只要知道系統(tǒng)對(duì)位于輸入平面上所有可能點(diǎn)的脈沖響應(yīng)，就可以通過(guò)疊加積脈沖響應(yīng)，就可以通過(guò)疊加積 分完全確定系統(tǒng)的輸出分完全確定系統(tǒng)的輸出。但是，要得到輸入平面上所有可能位置上的脈沖響應(yīng)是非常困難的非常困難的，甚至是不可能的甚至是不可能的。2 2）線性不變系統(tǒng)的定義）線性不變系統(tǒng)的定義若若, ; ,xyh x yh xy L L一個(gè)空間脈沖在輸入平面位移，線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式不變，只是產(chǎn)生了相應(yīng)位移，這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為空間不變系統(tǒng)空間不變系統(tǒng)或位移不變系統(tǒng)位移不變系統(tǒng)。若若th tL若

6、輸入脈沖延遲時(shí)間，其相應(yīng)h僅僅有相應(yīng)的時(shí)間延遲，而函數(shù)形式不變，這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)。第二節(jié) 線性不變系統(tǒng) , ; ,g x yfh x yd d ,g x yfh xyd d 疊加積分：疊加積分：, ; ,h x yh xy ,f x yh x y卷積積分：卷積積分：對(duì)于線性不變系統(tǒng)，系統(tǒng)的作用可以用對(duì)于線性不變系統(tǒng)，系統(tǒng)的作用可以用統(tǒng)一的一個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)統(tǒng)一的一個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)來(lái)表征，系來(lái)表征，系統(tǒng)的分析得到簡(jiǎn)化！統(tǒng)的分析得到簡(jiǎn)化！第二節(jié) 線性不變系統(tǒng)空不變(二維)系統(tǒng) : 等暈成像系統(tǒng) (x- ; y-)( ;)xyxy光學(xué)成像系統(tǒng)在等暈區(qū)內(nèi)是空間不變的.暈斑 (x,y)h(

7、x,y)第二節(jié) 線性不變系統(tǒng)二、二、 線性不變系統(tǒng)的線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù),g x yfx yh x y ,xyxyxyG ffHffFff卷積定理卷積定理輸入頻譜輸入頻譜輸出頻譜輸出頻譜,xyFfff x yF,xyG ffg x y=F,xyHffh x y=F頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)從空間域入手計(jì)算系統(tǒng)的輸出從空間域入手計(jì)算系統(tǒng)的輸出從頻率域入手計(jì)算系統(tǒng)的輸出從頻率域入手計(jì)算系統(tǒng)的輸出* 傳遞函數(shù)定義為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅里葉變換傳遞函數(shù)定義為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅里葉變換.脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)第二節(jié) 線性不變系統(tǒng)二、二、 線性不變系統(tǒng)的線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函

8、數(shù)對(duì)于給定的系統(tǒng)和輸入, F (fx,fy) 和H (fx,fy) 較容易求出, 因此容易由輸出的頻譜推算出系統(tǒng)的輸出, 可避免冗繁的卷積積分求輸出的運(yùn)算.例: P63, 2.5(3) 已知線性不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為 h(x) = 7sinc(7x)試用頻域方法對(duì)下列每一個(gè)輸入fi(x) ,求其輸出gi(x) （必要時(shí)，可做合理近似）(3) f3(x) =1+cos(8px)rect(x/75)第二節(jié) 線性不變系統(tǒng)二、二、 線性不變系統(tǒng)的線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的輸入: f3(x) =1+cos(8px)rect(x/75)脈沖響應(yīng): h(x) = 7sinc(7x) 1114475s

9、inc 75rect227fxfffF1 F 1 cos 875sinc 75rect7fxfF1175sinc 75rect75sinc 75rect775fxffFF 131cos 8rect7sin 7x75xgxx FFF第二節(jié) 線性不變系統(tǒng)二、二、 線性不變系統(tǒng)的線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)注意H (fx,fy) 是 h(x,y) 的F.T.,即h(x,y)的頻譜函數(shù)h(x,y)是對(duì)(x,y)函數(shù)的響應(yīng)函數(shù)的頻譜恒為1, 即含有所有頻率成分, 并且各頻率成分的權(quán)重都相等(=1).但h(x,y)的頻譜已經(jīng)改變成H (fx,fy) H (fx,fy)反映了系統(tǒng)對(duì)不同頻率成分的反映了系統(tǒng)

10、對(duì)不同頻率成分的響應(yīng)響應(yīng), 即頻率響應(yīng)即頻率響應(yīng)第二節(jié) 線性不變系統(tǒng)對(duì)于線性不變系統(tǒng)，可以找到更適合的對(duì)于線性不變系統(tǒng)，可以找到更適合的“基元函數(shù)基元函數(shù)”，即，即復(fù)指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)。根據(jù)傅立葉逆變換有：,exp2xyxyxyf x yF ffjf xf ydf dfp 當(dāng)f(x,y)作為輸入時(shí)，系統(tǒng)輸出為：上式表明函數(shù)f(x,y)可以看成是很多不同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)的線性組合，F(xiàn)(fx,fy)表示各種頻率成分的權(quán)重，這種分解方法稱(chēng)為傅里葉分解傅里葉分解。,exp2xyxyxyg x yf x yF ffjf xf y df dfp L LL L同理，根據(jù)線性疊加性質(zhì)，有,exp2xyxyxy

11、g x yF ffjf xf ydf dfp L L根據(jù)傅里葉變換有,exp2xyxyxyg x yG ffjf xf ydf dfp 第二節(jié) 線性不變系統(tǒng) ,xyxyxyG ffHffFff,exp2xyxyxyg x yG ffjf xf ydf dfp ,exp2xyxyxyxyg x yFffHffjf xf ydf dfp ,exp2xyxyxyg x yF ffjf xf ydf dfp L Lexp2,exp2xyxyxyjf xf yH ffjf xf yppL L把輸入函數(shù)分解為各種不同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)的線性組合，各個(gè)基元復(fù)指數(shù)函數(shù)在通過(guò)線性不變系統(tǒng)，仍然還是同頻率的復(fù)指數(shù)函

12、數(shù)仍然還是同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)，但是可能產(chǎn)生與頻率有關(guān)的幅值變化和相移，這些變化取決于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第二節(jié) 線性不變系統(tǒng)三三 線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)什么叫本征函數(shù)？對(duì)于線性不變系統(tǒng)，輸入某一函數(shù)，如果相應(yīng)的輸出函數(shù)僅等于輸入函數(shù)與一個(gè)復(fù)比例常數(shù)的乘積，那么這個(gè)輸入函數(shù)就稱(chēng)為這種系統(tǒng)的本征函數(shù)本征函數(shù)，K叫做該本征函數(shù)的本征值本征值。若f(x,y;fa,fb) 是線性不變系統(tǒng)的一個(gè)本征函數(shù)輸入，則系統(tǒng)輸出為,g x yf x yKf x yL L(K(K是一復(fù)比例常數(shù)是一復(fù)比例常數(shù)) )復(fù)指數(shù)函數(shù)就是線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)，即復(fù)指數(shù)函數(shù)就是線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)，即exp2

13、,exp2xyxyxyjf xf yH ffjf xf yppL, ;, ;,abababf x y ffHfff x y ffL第二節(jié) 線性不變系統(tǒng)三三 線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)脈沖響應(yīng)為實(shí)函數(shù)的線性不變系統(tǒng)（非相干成像系統(tǒng)）用A(fx,fy),(fx,fy)分別表示傳遞函數(shù)的模（振幅傳遞函數(shù)）和輻角（相位傳遞函數(shù)）,=-,-xyxyHffHff余弦函數(shù)是這類(lèi)系統(tǒng)的本征函數(shù)余弦函數(shù)是這類(lèi)系統(tǒng)的本征函數(shù)(證明過(guò)程詳見(jiàn)證明過(guò)程詳見(jiàn)P.51)cos 2,cos2,xyxyxyxyf xf yA ffjf xf yffppL,xyHff為厄米函數(shù),=,exp -j,xyxyxyH

14、ffA ffffA(fx,fy)是偶函數(shù)， (fx,fy)是奇函數(shù)第二節(jié) 線性不變系統(tǒng)四四 線性不變系統(tǒng)作為濾波器線性不變系統(tǒng)作為濾波器（濾波函數(shù)）（濾波函數(shù)）系統(tǒng)級(jí)連（濾波器相連）系統(tǒng)級(jí)連（濾波器相連）212121,xyxyxyxyxyxyGffGffHffHffHffFff第三節(jié)第三節(jié) 抽樣定理抽樣定理,combcomb,sxygx yg x yXY,*,sxysxyxyGffgx ycombcombG ffXYFF*,xyxyXYcomb Xfcomb YfG ff在實(shí)現(xiàn)信息的記錄、存儲(chǔ)、發(fā)送和處理時(shí)，由于物理器件有限的信息容量，一個(gè)連續(xù)函數(shù)往往要用它在一些分立的取樣點(diǎn)上的函數(shù)值，即抽樣

15、值表示。如何選擇抽樣間隔，才能恢復(fù)出原有連續(xù)函數(shù)？這就是抽樣定理要研究的問(wèn)題。抽樣函數(shù)有函數(shù)的陣列構(gòu)成，各個(gè)空間脈沖在x方向和y方向的間距分別是X和Y。根據(jù)卷積定理，抽樣函數(shù)的頻譜為函數(shù)的抽樣函數(shù)的抽樣 利用梳 狀函數(shù)對(duì)連續(xù)函數(shù)g(x,y)抽樣，有,xynmnmGffXY 卷積定理梳狀函數(shù)的傅里葉變換,*,xyxynmnmffG ffXY 梳狀函數(shù)的定義脈沖函數(shù)的卷積（復(fù)制）性質(zhì)第三節(jié) 抽樣定理,sxyxynmnmGffGffXY 原函數(shù)的頻譜原函數(shù)的頻譜抽樣函數(shù)的頻譜抽樣函數(shù)的頻譜2Bx2By第三節(jié) 抽樣定理1122xyBBXY及1122xyXYBB及假定g(x,y)是限帶函數(shù)，其頻譜Gs僅

16、在頻率平面一個(gè)有限區(qū)域R內(nèi)不為零。2Bx和2By分別表示包圍R的最小矩形在fx和fy方向上的寬度或Gs中各個(gè)頻譜區(qū)域就不會(huì)出現(xiàn)混疊現(xiàn)象；這樣，就可以使用濾波的方法，從Gs中抽取出原函數(shù)的頻譜G，從而恢復(fù)出原函數(shù)。二、奈奎斯特判據(jù)二、奈奎斯特判據(jù), ,F,0 xyxxyyG fffBfBg x y其他要想從抽樣函數(shù)的周期性重復(fù)的頻譜中恢復(fù)出原函數(shù)的頻譜，頻譜間隔1/X,1/Y應(yīng)足夠大，保證相鄰頻譜不重疊。只要第三節(jié) 抽樣定理因此，能由抽樣值還原原函數(shù)的條件就是：1) g(x,y)是限帶函數(shù)；2) 在x,y方向抽樣點(diǎn)最大允許間隔分別是1/2B1/2Bx x和1/2B1/2By y，稱(chēng)為奈奎斯特（N

17、yquist）間隔。11,22xyXYBB過(guò)采樣11,22xyXYBB11,22xyXYBB臨界采樣欠采樣，混頻現(xiàn)象第三節(jié) 抽樣定理二二 函數(shù)的還原函數(shù)的還原選擇一個(gè)合適的濾波器，將抽樣函數(shù)作為輸入，可使輸出為原函數(shù)，即恢復(fù)出原函數(shù)。第三節(jié) 抽樣定理,22yxxyxyffHffrectrectBB,4sin2sin222yxxyxyxyffh x yrectrectB BcB xcB yBBF,sin2sin22222xynmxyxynmnmg x ygcBxcByBBBB ,4,sin2sin2xyxynmg x yB B XYg nX mYcBxnXcBymY 假設(shè)選擇矩形函數(shù)矩形函數(shù)作為

18、濾波函數(shù)，即根據(jù)卷積定理，可得到若取最大允許的抽樣間隔，則即只要滿(mǎn)足抽樣的條件，在每個(gè)抽樣點(diǎn)上放置一個(gè)抽樣值為權(quán)重的sinc函數(shù)作為內(nèi)插函數(shù)，由這些sinc函數(shù)的線性組合就可復(fù)原原函數(shù)。上式稱(chēng)為惠特克惠特克- -香香農(nóng)抽樣定理。農(nóng)抽樣定理。第三節(jié) 抽樣定理四四 空間帶寬積空間帶寬積,g x yxxfByyfBxXyY若限帶函數(shù)在頻域、以外恒等于零，考慮函數(shù)在空域、的區(qū)間上抽樣數(shù)目最少應(yīng)為 224416441122xyxyxyxyXYB XB YXYB BXYB BBB* * 空間帶寬積空間帶寬積SWSW定義為函數(shù)在空域和頻域中所占面積之積定義為函數(shù)在空域和頻域中所占面積之積44xyXYB B空

19、域面積空域面積頻域面積頻域面積在該區(qū)域中函數(shù)可以用在該區(qū)域中函數(shù)可以用16XYBxBy個(gè)值個(gè)值近似近似表示表示SW16xyXYB B第三節(jié) 抽樣定理四四 空間帶寬積空間帶寬積空間帶寬積的物理意義空間帶寬積的物理意義 空間信號(hào)空間信號(hào)(圖像、場(chǎng)分布圖像、場(chǎng)分布)的信息容量的信息容量 成像系統(tǒng)、信息存儲(chǔ)、處理系統(tǒng)，存儲(chǔ)和處理信息的能力成像系統(tǒng)、信息存儲(chǔ)、處理系統(tǒng)，存儲(chǔ)和處理信息的能力 空間物體的自由度數(shù)或自由參數(shù)數(shù)空間物體的自由度數(shù)或自由參數(shù)數(shù)N若若g(x,y)為實(shí)函數(shù)，為實(shí)函數(shù)， 每個(gè)抽樣值為一個(gè)實(shí)數(shù)，每個(gè)抽樣值為一個(gè)實(shí)數(shù)， N=SW若若g(x,y)為復(fù)函數(shù)，為復(fù)函數(shù)， 每個(gè)抽樣值為一個(gè)復(fù)數(shù)，每

20、個(gè)抽樣值為一個(gè)復(fù)數(shù)， N=2SW 不變性，不變性， 不隨空間位移或頻移變化不隨空間位移或頻移變化 (空間尺度變化引起頻譜尺寸相反變化空間尺度變化引起頻譜尺寸相反變化.)本章小結(jié)1）線性系統(tǒng)理論是傅里葉光學(xué)的理論基礎(chǔ)。傅里葉光學(xué)研究的就是光信息在線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)中的傳遞、處理、變換和存儲(chǔ)等。2）線性系統(tǒng)滿(mǎn)足疊加積分的關(guān)系，利用這一關(guān)系，只要知道系統(tǒng)對(duì)位于輸入平面上所有可能點(diǎn)上的脈沖的響應(yīng)，就可確定出系統(tǒng)的輸出。但只有線性不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)才具有相同的函數(shù)形式。3）可同時(shí)從空域和頻域兩個(gè)角度研究信息在線性不變系統(tǒng)中傳輸?shù)男再|(zhì)。對(duì)于線性不變系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸出等于系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的卷積，系統(tǒng)輸出

21、的頻譜則等于系統(tǒng)的輸入頻譜和系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅里葉變換的乘積。通常將系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅里葉變換定義為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。4）當(dāng)對(duì)信息進(jìn)行記錄、存儲(chǔ)、發(fā)送和處理時(shí)，需要對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行抽樣。要使抽樣不導(dǎo)致信息的丟失，必須滿(mǎn)足抽樣條件。第二節(jié) 線性不變系統(tǒng)例例2.62.6（2 2） 給定一個(gè)線性不變系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角給定一個(gè)線性不變系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波，對(duì)給出的傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出波，對(duì)給出的傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出間隔為2的脈沖陣列, 基頻為1/2在有限空間區(qū)域不為零, |x|25三角波, 底寬為21()com brecttri()2250 xxgxx輸入:0-25-2225. . . . . . . . . . . . xg(x)1第二節(jié) 線性不變系統(tǒng)例例2.62.6輸入頻譜:2( )comb 250sinc 50sinc ( )G ffff間隔為1/2的脈沖陣列包絡(luò), 半寬為1 窄帶譜, 半寬1/50傳遞函數(shù)5 . 1rect5 . 1rect 2rect4rect)(fffffHH(f)1f01-12-2第二節(jié) 線性不變系統(tǒng)例例2.62.6輸出頻譜