附錄：張量分析

1、內(nèi)容梗概內(nèi)容梗概換標(biāo)符ij排列符e erst 符號(hào)ij符號(hào)erst啞標(biāo)求和約定:多項(xiàng)簡(jiǎn)寫(xiě)自由標(biāo):多個(gè)方程簡(jiǎn)寫(xiě)自由標(biāo)【坐標(biāo)變換揭示各類(lèi)量的性質(zhì)、張量方程的特點(diǎn)等】張量分析引論張量分析引論 力學(xué)中常用的物理量分成三類(lèi)三類(lèi)： 標(biāo)量標(biāo)量只有大小沒(méi)有方向性的物理量： 溫度T、密度、時(shí)間t等。 矢量矢量既有大小又有方向性的物理量： 矢徑r r、位移u u、速度v v、力F F等。 張量張量具有多重方向性的物理量：應(yīng)力張量、應(yīng)變張量等（常用黑體表示）A.1 A.1 矢量和張量的記法，求和約定矢量和張量的記法，求和約定張量分析以簡(jiǎn)潔的表達(dá)形式和清晰的推導(dǎo)過(guò)程描述復(fù)雜問(wèn)題，被近代力學(xué)文獻(xiàn)和教科書(shū)普遍采用。本附錄

2、著重介紹笛卡兒坐標(biāo)系和正交曲線坐標(biāo)系中的張量。(1)(1)實(shí)體記法：實(shí)體記法： u u 矢(張)量的三種記法：位移u u為例三三種種記記法法iiieu31u uu1e e1 1+u2e e2 2+u3e e3=分量和基矢量(2)(2)分解式記法：分解式記法：(3)(3)分量記法：分量記法： ui(i1，2，3)的集合張量是具有多個(gè)分量的復(fù)雜物理量，為表達(dá)簡(jiǎn)潔，需引入一些記號(hào)記號(hào)和約定約定指標(biāo)符號(hào)指標(biāo)符號(hào)： 對(duì)于一組性質(zhì)相關(guān)的對(duì)于一組性質(zhì)相關(guān)的n n個(gè)量用個(gè)量用相同的字母相同的字母加不同的指標(biāo)符號(hào)加不同的指標(biāo)符號(hào)來(lái)表示來(lái)表示約約 定：定：若不標(biāo)明取值范圍 拉丁指標(biāo)i,j,k,3D（取值1，2，3

3、） 希臘指標(biāo), 2D（取值1，2） 指標(biāo)符號(hào)指標(biāo)符號(hào) a a的n個(gè)分量 al，a2，an (比如n維空間中的加速度) 可縮寫(xiě)成 ai(i1，2，n) i1，2,n;為指標(biāo)的取值范圍；n是空間維數(shù)W = fs = f 1s1+f 2s2+f 3s3 = f is ii=13記x, y , z 為x1, x2, x3, xi ; 各軸的基矢為e e1,e e2,e e3, e ei,; 矢量v v 的分量記為v1, v2, v3, vi,; 應(yīng)力分量 ij ; 其它例子：舉例舉例例如例如 線性變換的表達(dá)式為：用啞標(biāo)代替求和號(hào)用啞標(biāo)代替求和號(hào)，( (A A4)4) 式簡(jiǎn)化成式簡(jiǎn)化成通過(guò)通過(guò)啞指標(biāo)啞指

4、標(biāo)可把可把多個(gè)項(xiàng)多個(gè)項(xiàng)縮寫(xiě)成縮寫(xiě)成一項(xiàng)一項(xiàng)代數(shù)方程組求解、坐標(biāo)變換，及一點(diǎn)處的應(yīng)力、應(yīng)變等，都含有代數(shù)方程組求解、坐標(biāo)變換，及一點(diǎn)處的應(yīng)力、應(yīng)變等，都含有大量的分量大量的分量；利用指標(biāo)符號(hào)可以大大利用指標(biāo)符號(hào)可以大大地簡(jiǎn)化表達(dá)式地簡(jiǎn)化表達(dá)式。愛(ài)因斯坦愛(ài)因斯坦( (A AEinstein)Einstein)求和約定：求和約定： 如果在表達(dá)式的如果在表達(dá)式的某項(xiàng)某項(xiàng)中，中，某指標(biāo)某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)重復(fù)地出現(xiàn)兩次兩次，則該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍，則該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)內(nèi) 遍歷求和。該重復(fù)指標(biāo)稱(chēng)為啞指標(biāo)，簡(jiǎn)稱(chēng)遍歷求和。該重復(fù)指標(biāo)稱(chēng)為啞指標(biāo)，簡(jiǎn)稱(chēng)啞標(biāo)啞標(biāo)（如（如j j）。一、求和約定、啞標(biāo)一、求和約定、

5、啞標(biāo)【利用啞標(biāo)可把多個(gè)項(xiàng)縮寫(xiě)成一項(xiàng)】二、自由標(biāo)二、自由標(biāo)自由指標(biāo)自由指標(biāo)：在表達(dá)式或方程中的：在表達(dá)式或方程中的不同項(xiàng)內(nèi)不同項(xiàng)內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的重復(fù)出現(xiàn)的同名指標(biāo)同名指標(biāo)自由指標(biāo)只表示對(duì)取值范圍輪流取值，無(wú)論其取何字母，關(guān)系式始終成立；二、自由標(biāo)二、自由標(biāo)【利用自由標(biāo)方程組可進(jìn)一步縮寫(xiě)成】 (2)(2)自由指標(biāo)必須自由指標(biāo)必須整體換名整體換名 方程或表達(dá)式中的同名自由指標(biāo)需全部改為同一個(gè)新名字; 而啞指標(biāo)可以成對(duì)地局部換名 例例：通過(guò)通過(guò)自由指標(biāo)自由指標(biāo)又把又把多個(gè)方程多個(gè)方程縮寫(xiě)成縮寫(xiě)成一個(gè)方程一個(gè)方程換自由指標(biāo)時(shí)應(yīng)注意( (A A5)5)（只要k和i的取值范圍相同）因此(A5)式通過(guò)換標(biāo)，可寫(xiě)成

6、： (1)(1)同時(shí)取值的指標(biāo)同時(shí)取值的指標(biāo)必須同名必須同名，獨(dú)立取值的指標(biāo)應(yīng)防止重名，獨(dú)立取值的指標(biāo)應(yīng)防止重名 例例： c=a+b=c=a+b=(a1+b1)e e1+(a2+b2)e e2+(a3+b3)e e3 ci=ai+bi 或 ck=ak+bk【指標(biāo)符號(hào)的正確用法】 同一項(xiàng)中出現(xiàn)兩對(duì)（或兩對(duì)（或幾對(duì)幾對(duì)）的不同啞標(biāo)，表示重復(fù)求和。(共九項(xiàng)求和) 指標(biāo)符號(hào)也適用于微分表達(dá)式微分表達(dá)式。例如，三維空間中線元長(zhǎng)度ds和其分量dxi之間的關(guān)系 三、其他應(yīng)用舉例三、其他應(yīng)用舉例 若對(duì)在同項(xiàng)內(nèi)同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次以上兩次以上的指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和，一般應(yīng)加求和號(hào)，或者，在多余指標(biāo)下加一橫，表示該指標(biāo)不計(jì)

7、指標(biāo)數(shù)。如： 當(dāng)自由指標(biāo)在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次時(shí)，應(yīng)申明該指標(biāo)不求和?；蛘?，在其中一個(gè)指標(biāo)下加一橫，表示該指標(biāo)不求和。例如：saii原表示sa11+a22+a33 , 但如果ai特定取值時(shí)(A12)式可成立，如 可取(a1，a2，a3)=(1，0，0) b1 c1 ：通過(guò)啞指標(biāo)啞指標(biāo)可把多多個(gè)個(gè)項(xiàng)項(xiàng)縮寫(xiě)成一項(xiàng)一項(xiàng)，通過(guò)自由指標(biāo)自由指標(biāo)又把多多個(gè)個(gè)方程方程縮寫(xiě)成一個(gè)方程一個(gè)方程。指標(biāo)符號(hào)使書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)潔，但也必須小心，因?yàn)樵S多重要的含義往往只表現(xiàn)在指標(biāo)的細(xì)微變化上。 一般地說(shuō)，不能由等式“兩邊消去兩邊消去a ai i(A13)(A12)1 1同理，若取(a1，a2，a3)=(0，1，0) b2 c2 (a1

8、，a2，a3)=(0，0，1) b3 c3 所以(A13)式成立的前提是“ai任意”而不是簡(jiǎn)單地“消去ai” 本節(jié)介紹兩個(gè)張量分析中的常用符號(hào)本節(jié)介紹兩個(gè)張量分析中的常用符號(hào)一、符號(hào)一、符號(hào)ij ，稱(chēng)為，稱(chēng)為“Kronecker deltaKronecker delta”【使重復(fù)下標(biāo)求和約定更加方便】 ij的分量集合對(duì)應(yīng)于單位矩陣。例如，的分量集合對(duì)應(yīng)于單位矩陣。例如，3 3D D： ij定義定義： 定義表明它對(duì)指標(biāo)定義表明它對(duì)指標(biāo)i i和和j j是對(duì)稱(chēng)的，即是對(duì)稱(chēng)的，即 ij具有換標(biāo)作用（換標(biāo)符號(hào)）具有換標(biāo)作用（換標(biāo)符號(hào)） 即利用即利用ij可以把線元長(zhǎng)度平方的公式改寫(xiě)成可以把線元長(zhǎng)度平方的公

9、式改寫(xiě)成: : A.2 符號(hào)符號(hào)ij與與e erst ij的性質(zhì)：的性質(zhì)：ij起換標(biāo)作用：起換標(biāo)作用：如果如果符號(hào)的兩個(gè)指標(biāo)之一和符號(hào)的兩個(gè)指標(biāo)之一和同項(xiàng)中同項(xiàng)中其他因子的某其他因子的某指標(biāo)相重指標(biāo)相重，則該因子的那個(gè)相，則該因子的那個(gè)相重指標(biāo)可重指標(biāo)可替換成替換成的另一個(gè)指標(biāo)的另一個(gè)指標(biāo)，而，而自動(dòng)消失。自動(dòng)消失。 11dx1dx1+12dx1dx2+13dx1dx3 +21dx2dx1+22dx2dx2+ 23dx2dx3 +31dx3dx1+32dx3dx2+ 33dx3dx3利用利用ij定義，可以驗(yàn)證：定義，可以驗(yàn)證：同理有：同理有：練習(xí)練習(xí) 11dx1dx1+22dx2dx2+33d

10、x3dx3 dx1dx1+dx2dx2+dx3dx3 dxidxi 二、排列（置換）符號(hào)二、排列（置換）符號(hào)e erst 符號(hào)符號(hào)e erst三種三種定義：定義： 當(dāng)三個(gè)指標(biāo)輪流換位時(shí)(相當(dāng)于指標(biāo)連續(xù)對(duì)換偶次)， erst 的值不變：erst稱(chēng)為排列符號(hào)排列符號(hào)或置換符號(hào)置換符號(hào)。它共有27個(gè)元素，其中只有三個(gè)元素為l，三個(gè)元素為一l，其余的元素都是0。 定義表明， erst 對(duì)任何兩個(gè)指標(biāo)都是反對(duì)稱(chēng)的（相當(dāng)于指標(biāo)互換奇次），即： e e 恒等式：恒等式：上式按行列式相乘展開(kāi)，并注意到有一對(duì)啞標(biāo)，如有一對(duì)啞標(biāo)，如r=i，則按行列式展開(kāi)則按行列式展開(kāi)有二對(duì)啞標(biāo)，再令有二對(duì)啞標(biāo)，再令t=k，則則有

11、二對(duì)啞標(biāo)，如再令有二對(duì)啞標(biāo)，如再令s=j，則則導(dǎo)得：1 1正交標(biāo)準(zhǔn)化基，具有重要性質(zhì)：正交標(biāo)準(zhǔn)化基，具有重要性質(zhì)：其中，i，j，k的正序排列對(duì)應(yīng)右手系，逆序排列對(duì)應(yīng)左手系。三、三、 ij與與e erst的的應(yīng)用實(shí)例：應(yīng)用實(shí)例：(3)(3)當(dāng)ei，ej ，ek 構(gòu)成右手系時(shí)有 當(dāng)ei， ej ，ek 構(gòu)成左手系時(shí)有用erst 統(tǒng)一寫(xiě)成：(1)(1)每個(gè)基矢量的模為：(2)(2)不同基矢量互相正交：用ij 統(tǒng)一寫(xiě)成：2 2兩個(gè)矢量的兩個(gè)矢量的點(diǎn)積點(diǎn)積( (標(biāo)量標(biāo)量) )：【ij】3 3兩個(gè)矢量的兩個(gè)矢量的叉積叉積( (矢量矢量) ) ： 【erst】 a a=aje ej ; b b=bke ek 應(yīng)用ij與e