熱力學(xué)與統(tǒng)計物理答案第二章..

1、第二章均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)2.1已知在體積保持不變時，一氣體的壓強正比于其熱力學(xué)溫度.試證明在溫度保質(zhì)不變時，該氣體的熵隨體積而增加.解：根據(jù)題設(shè)，氣體的壓強可表為p=f(V)T,(l)式中f(V)是體積v的函數(shù).由自由能的全微分dF二-SdT-pdV得麥氏關(guān)系2)3)將式(1)代入，有f(V)=由于p>0T>0，故有劇>0T這意味著，在溫度保持不變時，該氣體的熵隨體積而增加2.2設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：p=f(V)T,試證明其內(nèi)能與體積無關(guān).解：根據(jù)題設(shè)，物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式p=f(V)T,故有=f(V).1)2)但根據(jù)式(2.2.7)，有(aut'a

2、p'avJTTaT丿-p,3)所以(dU<aV丿=Tf(V)-p=0.4）這就是說，如果物質(zhì)具有形式為（1）的物態(tài)方程，則物質(zhì)的內(nèi)能與體積無關(guān)，只是溫度T的函數(shù).2.3求證：（a）dS<0；丿H解：焓的全微分為(b)(as0.令dH=0，得內(nèi)能的全微分為令dU=0，得dH=TdS+Vdp.(as)v八laP丿THdU=TdSpdV.(as<av丿U>0.2.4=0，求證0解：對復(fù)合函數(shù)U(T,P)=U(T,V(T,p)求偏導(dǎo)數(shù)，有(dU1<av丿如果殆=0，即有T(au'<aP丿1)234123)式（2）也可以用雅可比行列式證明：QU_d(U

3、,T)<QpjtQ(p,T)_Q(U,T)Q(V,T)QU藥丿-Q(V,T)Q(p,T)2)2.5試證明一個均勻物體的在準靜態(tài)等壓過程中熵隨體積的增減取決于等壓下溫度隨體積的增減.解:熱力學(xué)用偏導(dǎo)數(shù)色描述等壓過程中的熵隨體積的變化率,Iqv丿p用蘭描述等壓下溫度隨體積的變化率.為求出這兩個偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)Iqv丿p系,對復(fù)合函數(shù)S_S(p,V)_S(p,T(p,V)(1)求偏導(dǎo)數(shù),有因為C>0,pC_pT2)T>0,所以p的正負取決于的正負式(2)也可以用雅可經(jīng)行列式證明：(QS_Q(S,p)丿戸-q(V,p)Q(S,p)Q(T,p)PPQ(T,p)Q(V,p)2)2.6試證明在相

4、同的壓強降落下,氣體在準靜態(tài)絕熱膨脹中的溫度降落大于在節(jié)流過程中的溫度降落.解：氣體在準靜態(tài)絕熱膨脹過程和節(jié)流過程中的溫度降落分別由'dT、和'dT'心丿©丿S偏導(dǎo)數(shù)描述熵函數(shù)s（T,p）的全微分為HdS丿dT+E丿p在可逆絕熱過程中ds=0，故有'dS、<dP丿PdS二dp.Vt'<ap丿sT恃丿=PCp1）最后一步用了麥氏關(guān)系式（2.2.4）和式（2.2.8）焓H（T,p）的全微分為dH二空dT+dT丿P在節(jié)流過程中dH=0，故有6H、°P丿TdH、ST丿P<ap丿HT嚴匕T丿PCp2）凹-'dT'

5、;G丿4丿最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）將式（1）和式（2）相減，得工>0.CsHp所以在相同的壓強降落下，氣體在絕熱膨脹中的溫度降落大于節(jié)流過程中的溫度降落.這兩個過程都被用來冷卻和液化氣體.由于絕熱膨脹過程中使用的膨脹機有移動的部分，低溫下移動部分的潤滑技術(shù)是十分困難的問題，實際上節(jié)流過程更為常用.但是用節(jié)流過程降溫，氣體的初溫必須低于反轉(zhuǎn)溫度.卡皮查（1934年）將絕熱膨脹和節(jié)流過程結(jié)合起來，先用絕熱膨脹過程使氦降溫到反轉(zhuǎn)溫度以下，再用節(jié)流過程將氦液化.2.7實驗發(fā)現(xiàn)，一氣體的壓強p與體積V的乘積以及內(nèi)能U都只是溫度的函數(shù)，即pV=f(T),U=U(T).試根據(jù)熱

6、力學(xué)理論解：根據(jù)題設(shè)討論該氣體的物態(tài)方程可能具有什么形式氣體具有下述特性：pV=f(T),(1)(2U=U(T).(2)，有(auT(ap)0=T-p=0.（3lavJlaT丿由式（2.2.7）和式TV而由式（1）可得=TdfVdTV將式（4）代入式（3），有4）積分得Inf=InT+InC,6）式中C是常量.因此，如果氣體具有式（1），（2）所表達的特性，由熱力學(xué)理論知其物態(tài)方程必具有式（6）的形式.確定常量C需要進一步的實驗結(jié)果.pV=CT,2.8證明(ac)=T'a2p'(acTp1=T'a2V'lav丿laT2丿l和丿laT2丿VTp并由此導(dǎo)出C=Co+

7、T卜（也dV,VV嶺WT2JVC=Co-TJp（竺Pdp.pppo02丿p根據(jù)以上兩式證明，理想氣體的定容熱容量和定壓熱容呈只是溫度T的函數(shù).解：式（2.2.5）給出C=T（dS.V中以T，V為狀態(tài)參量，將上式求對V的偏導(dǎo)數(shù)，有T（d2S（dVdT丿1）T（d2S（dTdV丿其中第二步交換了偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)次序（2.2.3）.由理想氣體的物態(tài)方程(dC)V3丿T2）02丿V第三步應(yīng)用了麥氏關(guān)系pV=nRT知，在V不變時，p是T的線性函數(shù)，（d2p'、莎丿V（dC）IdV丿T這意味著，理想氣體的定容熱容量只是溫度T的函數(shù).在恒定溫度下將式（2）積分，得所以二0.=0.4）C二Co+TLVVd

8、V.dT2丿V式（3）表明，只要測得系統(tǒng)在體積為v時的定容熱容量，任意體積0下的定容熱容量都可根據(jù)物態(tài)方程計算出來.同理，式（2.2.8）給出空.dT丿p以T,p為狀態(tài)參量，將上式再求對p的偏導(dǎo)數(shù)，有pdpdpdTdTdpdT2其中第二步交換了求偏導(dǎo)數(shù)的次序，第三步應(yīng)用了麥氏關(guān)系（2.2.4）.由理想氣體的物態(tài)方程pV二nRT知，在p不變時V是T的線性函數(shù)，即所以（dC）pI二0.IdP丿T這意味著理想氣體的定壓熱容量也只是溫度T的函數(shù).在恒定溫度下將式（5）積分，得f（d2V）C二C0+TJpdp.ppp°ldT2丿p式（6）表明，只要測得系統(tǒng)在壓強為p時的定壓熱容量，任意壓強0下

9、的定壓熱容量都可根據(jù)物態(tài)方程計算出來.2.9證明范氏氣體的定容熱容量只是溫度T的函數(shù)，與比體積無關(guān).解：根據(jù)習(xí)題2.8式（2）dV丿1）范氏方程（式（1.3.12）可以表為2）nRTn2aPV-nbV?由于在V不變時范氏方程的p是T的線性函數(shù)，所以范氏氣體的定容熱容量只是T的函數(shù)，與比體積無關(guān).不僅如此，根據(jù)2.8題式（3）C（T,V）二C（T,V）+TJV竺dV,（3）VV0VoldT2丿我們知道，V*時范氏氣體趨于理想氣體.令上式的V*，式中0的C（T,V）就是理想氣體的熱容量.由此可知，范氏氣體和理想氣體V0的定容熱容量是相同的.順便提及，在壓強不變時范氏方程的體積V與溫度T不呈線性關(guān)系

10、.根據(jù)2.8題式（5）2）dC)dV丿這意味著范氏氣體的定壓熱容量是T,p的函數(shù).2.10 證明理想氣體的摩爾自由能可以表為F二JCdT+U-TJCVmdT-RTInV-TSmV,mm0Tmm0dT=-TJJCdT+U-TS-RTlnVT2V,mm0m0m解：式（2.4.13）和（2.4.14）給出了理想氣體的摩爾吉布斯函數(shù)作為其自然變量T,p的函數(shù)的積分表達式本題要求出理想氣體的摩爾自由能作為其自然變量T,V的函數(shù)的積分表達式.根據(jù)自由m能的定義（式（1.18.3），摩爾自由能為F=U-TS,（1）mmm其中U和S是摩爾內(nèi)能和摩爾熵.根據(jù)式（1.7.4）和（1.15.2），mm理想氣體的摩爾

11、內(nèi)能和摩爾熵為U=JCdT+U,（2）mV,mm0S=JdT+RlnV+S,（3）mTmm0所以F=JCdT-TJdT-RTlnV+U-TS.mV,mTmm0m0利用分部積分公式=xy-y=JCdT,V,m可將式（4）右方頭兩項合并而將式（4）改寫為5)F=-TJdTJCdT-RTInV+U-TSmT2V,mmm0m02.11 求范氏氣體的特性函數(shù)F，并導(dǎo)出其他的熱力學(xué)函數(shù).m解：考慮1mol的范氏氣體.根據(jù)自由能全微分的表達式（2.1.3），摩爾自由能的全微分為dF=SdTpdV,（1）故mmmQF'mQV（UV丿mRTap+,V-bV2Tmm(2積分得F（T,V）=-RTln（Vb

12、）上+f（T）.mmmVm（3）由于式(2)左方是偏導(dǎo)數(shù)，其積分可以含有溫度的任意函數(shù)f(T).我們利用V時范氏氣體趨于理想氣體的極限條件定出函數(shù)f(T).根據(jù)習(xí)題2.11式(4)，理想氣體的摩爾自由能為F=JCdT-JCvmdT-RTInV+U-TS.mV,mTmm0m0將式（3）在VTg時的極限與式（4）加以比較，知mf（T）二JCdT-TJdT+U-TS.（5）V,mTm0m0所以范氏氣體的摩爾自由能為F（T,V）=JCdTTJCVmdTRTln（Vb）纟+UTS.（6）mmV,mTmVm0m0m式（6）的F（T,V）是特性函數(shù)mm范氏氣體的摩爾熵為S二-瓷二JCVmdT+Rln（V-b

13、）+S.mQTTmm0摩爾內(nèi)能為8）U=F+TS=fCdT-+UmmmV,mVm0m2.12 一彈簧在恒溫下的恢復(fù)力X與其伸長x成正比，即X二-Ax，比例系數(shù)A是溫度的函數(shù).今忽略彈簧的熱膨脹，試證明彈簧的自由能F，熵S和內(nèi)能U的表達式分別為f（T，x）=F（T）+2Ax2,S（T，X）=S（T，0）-需，U（T,x）=U（T,0）A-TdA）X2.dT丿4）解：在準靜態(tài)過程中，對彈簧施加的外力與彈簧的恢復(fù)力大小相等，方向相反.當彈簧的長度有dx的改變時，外力所做的功為dW二-Xdx.（1）根據(jù)式（1.14.7），彈簧的熱力學(xué)基本方程為dU二TdS-Xdx.（2）彈簧的自由能定義為F二U-TS

14、,其全微分為dF=-SdT-Xdx.將胡克定律X一Ax代入，有dF=-SdT+Axdx,（3）因此在固定溫度下將上式積分，得F（T,x）=F（T,0）+JxAxdx0=F（T,0）+1Ax2,2其中F（T,0）是溫度為T，伸長為零時彈簧的自由能.彈簧的熵為S罟二S(T,0)-2x2dA5)彈簧的內(nèi)能為U=F+TS=U(T,0)+dT丿x2.6)3)在力學(xué)中通常將彈簧的勢能記為1U=Ax2,力學(xué)2沒有考慮A是溫度的函數(shù).根據(jù)熱力學(xué)，U是在等溫過程中外界所力學(xué)做的功，是自由能.2.13 X射線衍射實驗發(fā)現(xiàn)，橡皮帶未被拉緊時具有無定形結(jié)構(gòu)；當受張力而被拉伸時，具有晶形結(jié)構(gòu).這一事實表明，橡皮帶具有大

15、的分子鏈.(a)試討論橡皮帶在等溫過程中被拉伸時，它的熵是增加還是減少；(b)試證明它的膨脹系數(shù)°=丄空是負的.S解：(a)熵是系統(tǒng)無序程度的量度.橡皮帶經(jīng)等溫拉伸過程后由無定形結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榫谓Y(jié)構(gòu)，說明過程后其無序度減少，即熵減少了所以有<0.1)(b)由橡皮帶自由能的全微分dF=SdT+JdL可得麥氏關(guān)系L2)4）由橡皮帶的物態(tài)方程F（J,L,T）=0知偏導(dǎo)數(shù)間存在鏈式關(guān)系Ls在溫度不變時橡皮帶隨張力而伸長說明>0.5）綜合式（3）-（5）知所以橡皮帶的膨脹系數(shù)是負的，即<0.6）2.14 假設(shè)太陽是黑體，根據(jù)下列數(shù)據(jù)求太陽表面的溫度；單位時間內(nèi)投射到地球大氣層外

16、單位面積上的太陽輻射能量為1.35xl03J.m-2-s-i（該值稱為太陽常量）,太陽的半徑為6.955x108m，太陽與地球的平均距離為1.495x1011m.解：以R表示太陽的半徑.頂點在球心的立體角dQ在太陽表面s所張的面積為R2dQ.假設(shè)太陽是黑體，根據(jù)斯特藩-玻耳茲曼定律s（式（2.6.8）,單位時間內(nèi)在立體角dQ內(nèi)輻射的太陽輻射能量為bT4R2dQ.（1）s單位時間內(nèi)，在以太陽為中心，太陽與地球的平均距離R為半徑的se球面上接受到的在立體角dQ內(nèi)輻射的太陽輻射能量為1.35x103R2dQ.se令兩式相等，即得T_1.35x103xR2'4（3）.bR2,將b,R和R的數(shù)值

17、代入，得sseT沁5760K.2.15計算熱輻射在等溫過程中體積由V變到V時所吸收的熱12量.解：根據(jù)式（1.14.3），在可逆等溫過程中系統(tǒng)吸收的熱量為Q=TAS.（1）式（2.6.4）給出了熱輻射的熵函數(shù)表達式S二4aT3V.（2）3所以熱輻射在可逆等溫過程中體積由V變到V時所吸收的熱量為12Q=-aT4（V-V）.（3）3212.16試討論以平衡輻射為工作物質(zhì)的卡諾循環(huán)，計算其效率1)解：根據(jù)式（2.6.1）和（2.6.3），平衡輻射的壓強可表為p二3aT4,因此對于平衡輻射等溫過程也是等壓過程.式（2.6.5）給出了平衡輻射在可逆絕熱過程（等熵過程）中溫度T與體積V的關(guān)系T3V二C（常

18、量）.（2）將式（1）與式（2）聯(lián)立，消去溫度T，可得平衡輻射在可逆絕熱過程中壓強p與體積V的關(guān)系pV4=C（常量）.（3）下圖是平衡輻射可逆卡諾循環(huán)的p-V圖,其中等溫線和絕熱線的方程分別為式（1）和式（3）.下圖是相應(yīng)的T-S圖.計算效率時應(yīng)用T-S圖更為方便.在由狀態(tài)A等溫（溫度為t）膨脹至狀態(tài)B的過程中，平衡輻射1吸收的熱量為Q=T（S-S）.1121在由狀態(tài)C等溫（溫度為T）壓縮為狀態(tài)D的過程中，平衡輻射放出2的熱量為Q=T（S-S）.（5）2221循環(huán)過程的效率為16)T(S-S)2“21、TVSS)1212.17如圖所示電介質(zhì)的介電常量e（T）=E與溫度有關(guān).試求電路為閉路時電介

19、質(zhì)的熱容量與充電后再令電路斷開后的熱容量之解：根據(jù)式（145）,當介質(zhì)的電位移有dD的改變時，外界所做的功是dW二VEdD,（1）式中E是電場強度，V是介質(zhì)的體積.本題不考慮介質(zhì)體積的改變,V可看作常量.與簡單系統(tǒng)dW二-pdV比較，在變換pT-E,VTVD（2）下，簡單系統(tǒng)的熱力學(xué)關(guān)系同樣適用于電介質(zhì).V3)式（2.2.11）給出C-CpVC-CEDDE在代換（2）下，有4)式中C是電場強度不變時介質(zhì)的熱容量，C是電位移不變時介質(zhì)的ED熱容量.電路為閉路時，電容器兩極的電位差恒定，因而介質(zhì)中的電場恒定，所以C也就是電路為閉路時介質(zhì)的熱容量.充電后再令電D路斷開，電容器兩極有恒定的電荷，因而介

20、質(zhì)中的電位移恒定，所以C也就是充電后再令電路斷開時介質(zhì)的熱容量.D電介質(zhì)的介電常量e（T）=D與溫度有關(guān)，所以E(dD)廠dEIdT丿dTE廠dE)_Dd£*dT丿£2dTD代入式（4），有5)6）C-C=-VTEDDds丫e2dT丿JE二VTD2dSe3JdT2.18試證明磁介質(zhì)c與C之差等于HMGh2dT丿M解：當磁介質(zhì)的磁化強度有dM的改變時，外界所做的功是dW二V卩HdM,（1）0式中H是電場強度，V是介質(zhì)的體積.不考慮介質(zhì)體積的改變，V可看作常量.與簡單系統(tǒng)dW二-pdV比較，在變換pT-pH,VTVM（2）0下，簡單系統(tǒng)的熱力學(xué)關(guān)系同樣適用于磁介質(zhì).V3)4)式

21、（2.2.11）給出C-CpV在代換（2）下，有C-C=pT|dH丿|dM|HM0JdT丿JdT丿MH式中C是磁場強度不變時介質(zhì)的熱容量，H的熱容量(dHjdMC是磁化強度不變時介質(zhì)M（5）（5）式解出£活丿，代入（4）式，得HC-CHMJdH丿t2.19已知順磁物質(zhì)遵從居里定律：CM=H（居里定律）.T若維物質(zhì)的溫度不變，使磁場由0增至H,求磁化熱.解：式（1.14.3）給出，系統(tǒng)在可逆等溫過程中吸收的熱量Q與其在過程中的熵增加值A(chǔ)S滿足Q=TAS.（1）在可逆等溫過程中磁介質(zhì)的熵隨磁場的變化率為（式（2.7.7）如果磁介質(zhì)遵從居里定律易知所以Qm'卩0lOT丿Hm=CtH

22、（C是常量）'(Om)=CVHlOT丿T2H(OS)CVrH0lOH丿T2T2)345)在可逆等溫過程中磁場由0增至H時，磁介質(zhì)的熵變?yōu)锳S=JH竿丿dH=oIoh丿CVrH202T26)吸收的熱量為7)2.20已知超導(dǎo)體的磁感強度B=r（H+M）=0，求證：0（a）c與M無關(guān)，只是T的函數(shù)，其中C是磁化強度M保持MM不變時的熱容量.（b）U=fCdT-RoM2+U.CM-M20c)解：先對超導(dǎo)體的基本電磁學(xué)性質(zhì)作一粗淺的介紹.1911年昂尼斯（Onnes）發(fā)現(xiàn)水銀的電阻在4.2K左右突然降低為零，如圖所示.這種在低溫下發(fā)生的零電阻現(xiàn)象稱為超導(dǎo)電性.具有超導(dǎo)電性質(zhì)的材料稱為超導(dǎo)體.電阻

23、突然消失的溫度稱為超導(dǎo)體的臨界溫度.開始人們將超導(dǎo)體單純地理解為具有無窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體.在導(dǎo)體中電流密度j與電場強度E滿足歐姆定律1)eE=e（J如果電導(dǎo)率，導(dǎo)體內(nèi)的電場強度將為零.根據(jù)法拉第定律，有VXE二空,（2）dt因此對于具有無窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體，恒有哲二0.（3）dt下圖（a）顯示具有無窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體的特性，如果先將樣品降溫到臨界溫度以下，使之轉(zhuǎn)變?yōu)榫哂袩o窮電導(dǎo)率的導(dǎo)體，然后加上磁場，根據(jù)式（3）樣品內(nèi)的B不發(fā)生變化，即仍有B=0但如果先加上磁場，然后再降溫到臨界溫度以下，根據(jù)式（3）樣品內(nèi)的B也不應(yīng)發(fā)生變化，即B豐0.這樣一來，樣品的狀態(tài)就與其經(jīng)歷的歷史有關(guān)，不是熱力學(xué)平衡狀態(tài)了.但是應(yīng)

24、用熱力學(xué)理論對超導(dǎo)體進行分析，其結(jié)果與實驗是符合的這種情況促使人們進行進一步的實驗研究.1933年邁斯納（Meissner）將一圓柱形樣品放置在垂置于其軸線的磁場中，降低到臨界溫度以下，使樣品轉(zhuǎn)變?yōu)槌瑢?dǎo)體，發(fā)現(xiàn)磁通量完全被排斥于樣品之外，即超導(dǎo)體中的B恒為零：B=卩（H+M）=0.這一性質(zhì)稱為完全抗磁性°上圖（b）畫出了具有完全抗磁性的樣品在先冷卻后加上磁場和先加上磁場后冷卻的狀態(tài)變化，顯示具有完全抗磁性的超導(dǎo)體，其狀態(tài)與歷史無關(guān).1953年弗倫敦（F.London）和赫倫敦（H.London）兄弟二人提出了一個唯象理論，從統(tǒng)一的觀點概括了零電阻和邁斯納效應(yīng)，相當成功地預(yù)言了超導(dǎo)體的

25、一些電磁學(xué)性質(zhì).他們認為，與一般導(dǎo)體遵從歐姆定律不同，由于零電阻效應(yīng)，超導(dǎo)體中電場對電荷的作用將使超導(dǎo)電子加速.根據(jù)牛頓定律，有以n表示s（6）7）mv二qE,式中m和q分別是超導(dǎo)電子的質(zhì)量和電荷，v是其加速度.超導(dǎo)電子的密度，超導(dǎo)電流密度J為sJ二nqv.ss綜合式（5）和式（6），有fJ二1E,dtsA其中8）將式（7）代入法拉第定律（2），有9）VxAJdts_dBdtVx（AJ）+B_0.dts式（9）意味著Vx（AJ）+B不隨時間變化，如果在某一時刻，有sVx（AJ）_-B,（10）s則在任何時刻式（10）都將成立.倫敦假設(shè)超導(dǎo)體滿足式（10）.下面證明，在恒定電磁場的情形下，根據(jù)電

26、磁學(xué)的基本規(guī)律和式（10）可以得到邁斯納效應(yīng).在恒定電磁場情形下，超導(dǎo)體內(nèi)的電場強度顯然等于零，否則J將無限增長，因此安培定律給出11)sVxB_lJ.0s12)對上式取旋度，有LlVx(VxB)iVxJ_-oB,0sA其中最后一步用了式(10).由于Vx（VxB）=V（V-B）-V2B.而V-B=0，因此式（12）給出13)V2B二*B式（13）要求超導(dǎo)體中B從表面隨濃度很快地減少.為簡單起見，我們討論一維情形.式（13）的一維解是B-e±.（14）式（14）表明超導(dǎo)體中B隨深度X按指數(shù)衰減.如果n-1023CM，可以得到u2x10-6cm.1o這樣倫敦理論不僅說明了邁斯納效應(yīng)，而

27、且預(yù)言磁屏蔽需要一個有限的厚度，磁場的穿透濃度是10-6cm的量級.實驗證實了這一預(yù)言.綜上所述，倫敦理論用式（7）和式（10）15)?AJ_B,dtsVx(AJ)_-Bs來概括零電阻和邁斯納效應(yīng)，以式(15)作為決定超導(dǎo)體電磁性質(zhì)的基本方程.邁斯納效應(yīng)的實質(zhì)是，磁場中的超導(dǎo)體會在表面產(chǎn)生適當?shù)某瑢?dǎo)電流分布，使超導(dǎo)體內(nèi)部B二0.由于零電阻，這超導(dǎo)電流是永久電流，不會衰減.在外磁場改變時，表面超導(dǎo)電流才會相應(yīng)地改變.倫敦理論是一個唯象理論.1957年巴丁、庫柏和徐瑞佛(Bardeen,Cooper,Schriffer)發(fā)展了超導(dǎo)的微觀理論，闡明了低溫超導(dǎo)的微觀機制，并對超導(dǎo)體的宏觀特性給予統(tǒng)計的

28、解釋.下面回到本題的求解.由式(3)知，在超導(dǎo)體內(nèi)部恒有M二-H,(16)羽=0HM這是超導(dǎo)體獨特的磁物態(tài)方程通常的磁物態(tài)方程f(H,M,T)=0對超導(dǎo)體約化為式(16).根據(jù)式(16)，有17)(a)考慮單位體積的超導(dǎo)體.式(2.7.2)給出準靜態(tài)過程中的微功為dW=卩HdM.(18)0與簡單系統(tǒng)的微功dW一pdV比較知在代換pT卩H,VTM0下，簡單系統(tǒng)得到的熱力學(xué)關(guān)系同樣適用于超導(dǎo)體.2.9題式(2)給出(dC)0丿T超導(dǎo)體相應(yīng)的熱力學(xué)關(guān)系為(dCMIQMda2H)-RTI002丿M19)最后一步用了式(17).由式(19)可知，C與M無關(guān)，只是T的M函數(shù).(b)相應(yīng)于簡單系統(tǒng)的(2.2

29、.7)式(auT(ap'lav丿TTlaT丿-p,超導(dǎo)體有20)JdH=-卩TII+卩H=-卩M,0(QT丿00M其中第二步用了式（17）以T,M為自變量，內(nèi)能的全微分為dT+竺dMIqm丿=CdT一卩MdM.M021)積分得超導(dǎo)體內(nèi)能的積分表達式為U=iCdT-M第一項是不存在磁場時超導(dǎo)體的內(nèi)能，第二項代表外磁場使超導(dǎo)體表面感生超導(dǎo)電流的能量.第二項是負的，這是式（16）的結(jié)果，因此處在外磁場中超導(dǎo)體的內(nèi)能低于無磁場時的內(nèi)能.（c）相應(yīng)于簡單系統(tǒng)的（2.4.5）式dV+S0,dT|i0dM+S0超導(dǎo)體有22)S=J=JmdT+S,T0第二步用了式（17）.這意味著，處在外磁場中超導(dǎo)體

30、表面的感生超導(dǎo)電流對熵（無序度）沒有貢獻.補充題1溫度維持為25C，壓強在0至lOOOp之間，測得水的n實驗數(shù)據(jù)如下：=(4.5xlQ-3+1.4xlQ-6p)cm3-mol-1-K-1.若在25C的恒溫下將水從1p加壓至lOOOp，求水的熵增加值和從外界nn1)吸收的熱量.解：將題給的(dVJT丿p(dV)人JtJ二a+bp.p記為由吉布斯函數(shù)的全微分dG=一SdT+Vdp得麥氏關(guān)系（QS、©丿'pT因此水在過程中的熵增加值為AS*僚）dp1T=*駕dpI*p=-Jp2（a+bp）dpp1a(p-p)+(p2-p2).21221將p二1p,p二1000p代入得1nnnAS=0.527J-mol-i-K-1.根據(jù)式(1.14.4),在等溫過程S中水從外界吸收的熱量Q為二298x(-0.527)Jmol-12)3)=-157J-mol-1.補充題2試證明范氏氣體的摩爾定壓熱容量與摩爾定容熱容量之差為C-Cp,mV,m