2021年高三數(shù)學第一輪復習教案(新人教A)導數(shù)的綜合應用

1、13.3導數(shù)的綜合應用鞏固夯實基礎 一、自主梳理 1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，從而可解決比較大小、極值問題、單峰函數(shù)的最值問題2 .利用導數(shù)的幾何意義研究曲線的切線問題.3 .利用導數(shù)解決物體白運動速度問題.二、點擊雙基1 .某物體作s=2(1-t)2的直線運動，則t=0.8 s時的瞬時速度為()A.4B.-4C.-4.8D.-0.8解析:s =-4(1-t),，當 t=0.8 s 時，v=-0.8. 答案:D2 .函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)內有極小值，則()A.b0B.b -C.0b -D.b122解析:f (x)=3x2-6b,令 f (x)=0 ,得 x= 2 b.-

2、3-2 f(x)在(0,1)內有極小值，0 J2 b1.，0b1 時,axlna+-logae0.x 1. f(x)為增函數(shù).當 0a1 時,axlna+ - log ae-2,n N*,比較(i+x)n與1+nx的大小.剖析:從條件最易想到歸納 猜想 證明，但證明由n=k到n=k+1時，(1+x) k+1=(1+x)k (1+x)過渡到(1+x)k時不等方向不確定，故需按 1+x的符號討論證明.但本題若用導數(shù)解就比較 簡單了 .解:設 f(x)=(1+x) n-1-nx,當 n=1 時，f(x)=0, (1+x) n=1+nx. 當 n2, nC N*時，f (x)=n(1+x) n-1-n

3、=n (1+x)n-1-1,令 f (x)=0,得 x=0.當-2x0 時，f (x)0 時，f(x)0. f(x)在0,+8上為增函數(shù).當 x-2 時，f(x) f(0)=0.(1+x)nR 1+nx.綜上，得(1+x)n 1+nx.講評:構造函數(shù)法是比較兩個多項式的大小或證明不等式常用的方法鏈接拓展本題可用歸納一一猜想一一證明法解.當 n=1 時，(1+x)1=1+x.當 n=2 時，(1+x) 2=1+2x+x 2 1+2x.當 n=3 時，(1+x) 3=1+3x+3x 2+x3=1+3x+x 2(3+x) 1+3x.猜想:(1+x) n 1+nx.證明：當x-1時，當 n=1 時,(

4、1+x)n n 1+nx 成立.(2)假設 n=k 時,(1+x)kn 1+kx 成立,那么(1+x) k+1=(1+x)k (1+x) (1+x) (1+kx)=1+(k+1)x+kx 2 1+(k+1)x. .當 n=k+1 時，(1+x) n 1+nx 成立.由(2)可知,當 x時，對 nCN*, (1+x)n 1+nx.當-2x2 時，|1+x|1. |1+x|nl .而 1+nx1-n 1+nx.綜上，得(1+x)n1+nx正確.【例2】(2005福建高考，理)已知函數(shù)f(x)= ax 6的圖象在點 M(-1,f(-1)處的切線方程為 x2 bx+2y+5=0.(1)求函數(shù)y=f(x

5、)的解析式；(2)求函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間.剖析：(1)f (1)即為x+2y+5=0的斜率，從而得出一個關于 a、b的關系式.點M(-1,f(-1)在切線上， 又得出一個關于a、b的等量關系式.從而可求出a、b.(2)利用導數(shù)可求y=f(x)的單調區(qū)間.解:(1)由函數(shù)f(x)的圖象在點M(-1,f(-1)處的切線方程為 x+2y+5=0,知-1+2f(-1)+5=0,即 f(-1)=-2,f (-1)=-.22-.f (x)=a(x b) 2x(ax 6)(x2 b)22,a(1 b) 2( a 6)(1 b)2a 2b 4,即 a(1b)2(a6)12二(1b)22解得 a=2,b=

6、3( . b+1 豐 0,b=-1 舍去).2x 6所求的函數(shù)解析式是f(x)= 2x6x232(2)f (x)=2x2 12x 6(x2 3)2令-2x2+12x+6=0,解得 x1=3-2 V3 ,x2=3+2 V3 .當 x3-2 3+2 3 時,f (x)0;當 3-2 33 x0.所以f(x)= 2x 6在(-8,3-2 J3)內是減函數(shù)，在(3-2 J3,3+2 J3)內是增函數(shù)，在(3+2吞,+ x 38)內是減函數(shù).講評:本題主要考查函數(shù)的單調性、導數(shù)的應用等知識，考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.【例3】用總長14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架.如果所制作容器

7、的底面的一邊比另一邊長0.5 m,那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積.解:設容器底面短邊長為x m,則另一邊長為(x+0.5) m,高為14.8 4x 4(x 0.5)=3.2-2x(m).設容積為y m3,貝U y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0x1.6),整理，得 y=-2x 3+2.2x2+1.6x.所以 y =-6x2+4.4x+1.6.令 y =0,即-6x2+4.4x+1.6=0,所以 15x2-11x-4=0.解得x=1或x=(不合題意，舍去).15從而在定義域(0,1.6)內只有x=1處使得v =0.由題意，若x過小(接近0)或過大(接近1.6)時,y值很小

8、(接近0).因此，當x=1時,y有最大值且 ymax=-2+2.2+1.6=1.8,此時，高為 3.2-2 X 1=1.2.答:容器的高為1.2 m時，容積最大，最大容積改為1.8 m3.講評:在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內僅有一個點使f (x)=0，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么這點是使函數(shù)取最大 (小)值的點.這所說的區(qū)間不僅適用于閉區(qū)間，也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間.1 C【例4】(2005湖南局考，理)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)= -ax2+bx,aw0.2若b=2,且函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍；別交Ci、C2于點M、(1)解:b=2

9、 時,h(x)=lnx-(2)設函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)的圖象C2交于點P、Q,過線段PQ的中點作x軸的垂線分N.證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.ax2-2x,2則 h，(x)=工-ax-2=-x2-.ax 2x 1因為函數(shù)h(x)存在單調遞減區(qū)間，所以h (x)0,則ax2+2x-10有x0的解.當a0時,y=ax2+2x-1為開口向上的拋物線，ax2+2x-10總有x0的解； 當a0有x0的解, 則A =4+4a0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根，此時,-1a0.綜上所述,a的取值范圍為(-1,0) U (0,+ 8).(2)證明：設點 P、Q 的坐標分別是(x1,y1)、(x2,y2),0x1i.i t1) ,t1, t人2(t令 r(t)=lnt i2則=1-3=J.t (t i)2 t(ti)2因為ti時r (t)0