數(shù)學(xué)論文數(shù)學(xué)中的對稱美及應(yīng)用

1、談數(shù)學(xué)中的對稱美與在解題中的應(yīng)用吳戀，數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院摘要本文首先討論了數(shù)和式中的對稱美.其次運用對稱思想來解決數(shù)學(xué)問題.在數(shù)學(xué)問題的解題過程中，巧妙地構(gòu)造對稱美，從整體上把握問題的實質(zhì)，優(yōu)化解題過程.先是就對稱在微積分中的應(yīng)用，列舉了一些重要的結(jié)論及其在解題中的具體應(yīng)用再研究了幾何圖形中的對稱美.然后討論了數(shù)學(xué)中其它方面的對稱美.特別是對稱在記憶數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)方法中的應(yīng)用.最后探討了對稱思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，通過在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實對稱的數(shù)學(xué)美的思想方法，從而促進(jìn)學(xué)生形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的良好的、積極的情感行為，更好地理解數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力.關(guān)鍵詞：對稱；數(shù)學(xué)美；輪換對稱性；積

2、分區(qū)間；對稱性原理；數(shù)學(xué)思想1引言1.1 對稱美對稱性的感受逐慚成為一項美學(xué)準(zhǔn)則，廣泛應(yīng)用于建筑、造型藝術(shù)、繪畫以及工藝美術(shù)的裝飾之中.你可以從許多中、外著名的建筑、藝術(shù)珍品中看到.天壇的建筑、天安門的建筑、頤和園長廊的建筑以及各種花瓶、古人飲酒的爵和各種花邊等等是旋轉(zhuǎn)對稱、左右對稱和平移對稱的典型例子.這些對稱美給人以勻稱、均衡、連貫、流暢的感受，因而體現(xiàn)著一種嫻靜、穩(wěn)重、莊嚴(yán).在現(xiàn)實世界中，既有形態(tài)各異的自然對稱，又有巧奪天工的人工對稱，它們構(gòu)成了一幅人與自然和諧的優(yōu)美畫卷.因此,對稱是宇宙和自然界的基本屬性，也是事物適應(yīng)周圍環(huán)境而生存發(fā)展和繁衍生息的自然規(guī)律，充分展現(xiàn)出事物協(xié)調(diào)環(huán)境、自我

3、完善的、和諧的自然美.1.2 數(shù)學(xué)中的對稱美美，不僅存在于藝術(shù)、文學(xué)中，存在于大自然以及社會生活中，而且也存在于自然科學(xué)中，存在于數(shù)學(xué)之中.早在兩千多年前，古代哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯曾說過：“哪里有數(shù)，哪里就有美.”這就是說，數(shù)學(xué)中也充滿了美的因素.作為一門科學(xué)，數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)上和方法上都具有自身的某種美，即數(shù)學(xué)美.數(shù)學(xué)美的內(nèi)容非常豐富，包括普適美、對稱美、簡潔美、比例美、和諧美、奇趣美等特性.其中對稱性是數(shù)學(xué)美的重要特性之一，正如德國著名的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家魏爾所說的：“美和對稱性緊密相連”.數(shù)學(xué)對稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，它普遍存在于初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的各個分支，在數(shù)學(xué)研究中有著重要的

4、作用，一直是數(shù)學(xué)們長期追求的目標(biāo)，有時甚至把它作為一種尺度，是數(shù)學(xué)創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的美學(xué)方法之一.在數(shù)學(xué)中，不少的概念與運算，都是由人們對于“對稱”問題的探討派生出來的.數(shù)學(xué)中眾多的軸對稱，中心對稱圖形和等量關(guān)系都被賦予了平衡、協(xié)調(diào)的對稱美.對于數(shù)學(xué)概念，也是一分為二地成對出現(xiàn)的：整分，奇偶，和差，曲直，方一圓，分解一組合，平行一交叉，正比例一反比例，都顯得那么的穩(wěn)定、和諧、協(xié)調(diào)、平衡，如此地奇妙動人.2數(shù)和式的對稱美2.1 數(shù)的對稱美在數(shù)學(xué)中，如果一個整數(shù)，它的各位數(shù)字是左右對稱的，我們就稱這個數(shù)是對稱數(shù).例如：1234321、123321等.對稱數(shù)可以分為奇位對稱數(shù)和偶位對稱數(shù).奇位對稱數(shù)是指位

5、數(shù)是奇數(shù)的對稱數(shù)，奇位對稱數(shù)位數(shù)最中間的那個數(shù)字稱為對稱軸數(shù).偶位對稱數(shù)是指位數(shù)是偶數(shù)的對稱數(shù)，偶位對稱數(shù)沒有對稱軸數(shù).產(chǎn)生對稱數(shù)的方法有很多種：(1)形如11、111、1111、的數(shù)的平方數(shù)是對稱數(shù).如：1X9+2=1112X9+3=111x(2)某些自然數(shù)與它的逆序數(shù)相加，得出的和再與和的逆序數(shù)相加，連續(xù)進(jìn)行下去，也可得到對稱數(shù).如：475475+574=10491049+9401=1045010450+05401=1585115851也是對稱數(shù)美的主要形式就是秩序，勻稱和確定性，上面的幾個式子就巧妙的體現(xiàn)了數(shù)和式中的對稱美.可以看出，數(shù)學(xué)與美學(xué)是緊密相連，相輔相成的.2.2 式的對稱美如

6、果在代數(shù)式中，把任意的兩個字母對換，代數(shù)式仍然保持不變，像這樣的代2c23c223數(shù)式就稱為是對稱彳t數(shù)式或?qū)ΨQ式.如：xyz，x2xyy,x3xy3xyy,互換式子中的x，y,得到的式子仍然成立.在對稱式中，字母是對稱的，地位是平等的.在二項式定理：中，如果把當(dāng)n12Ln的二項式展開式的系數(shù)列成如下：111121133114641151010511615201561這就是著名的“楊輝三角”，它是宋朝數(shù)學(xué)家楊輝的杰作.楊輝三角是我國數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個成就，它反映的就是數(shù)學(xué)美的對稱性在代數(shù)學(xué)中，也存在著漂亮的對稱式，如：初等對稱多項式:iXi2XX2XiX3X2LXnLXiXnLXniXnLLL

7、LLLXiX2LX它在解題中也有廣泛的應(yīng)用,其中在運用初等對稱多項式解題時聯(lián)系最緊密的就是根與系數(shù)的關(guān)系定理：對于n次多項式f(x)anXnaniXniLaiXiao的n個根Xi,X2,L,Xn有如下關(guān)系:由此定理可以非常簡便的求出關(guān)于多項式根的對稱多項式的值例i.設(shè)a1,a3是方程5x36x27x80的三個根，計算:(afaia2a|)(afa2a3222、a3)(a1aa3a3)*)的值.解:aia2a32a1a2a2a3a1a3,3a1a2a3,再將（*）式化為初等對稱多項式的多項式，得:1679625由上面的例子可以看出，對稱性在數(shù)學(xué)中是廣泛存在的，數(shù)學(xué)與對稱是緊密相連的.3對稱美在數(shù)

8、學(xué)中的應(yīng)用3.1對稱在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用解題是一門藝術(shù)，對稱性是藝術(shù)的一個非常重要的要素，如果在解題的過程中注意到對稱性，那么就可以減少一些繁瑣的計算，化難為易，提高解題的效率，達(dá)到事半功倍的效果.微分與積分也是一對具有對稱美的事物，而對稱性的方法也是微積分計算中常用的方法.定理：(1)若u(x,y)u(y,x),則Uy(x,y)Ux(y,x);(2)若u(x,y)u(y,x),則Uy(x,y)Ux(y,x).因此若求出ux,則可直接寫出q,uxx與qy的關(guān)系，也是如此.例2.設(shè)uexy(xy),求出ux,uy,uxx,uyy.解：uxexyy(xy)exyexy(xyy21),uxxexyy(

9、xyy21)exyyexy(xy2y32y).對稱的有：uyexy(x2xy1),uyyexy(x3x2y2x).輪換對稱性的定義：若積分區(qū)域或被積函數(shù)的表達(dá)式中，將其變量x,y,z按下列次序:xfy;yfz;zfx后，其表達(dá)式均不變,則稱積分區(qū)域或被積函數(shù)關(guān)于變量x,y,z具有輪換對稱性.定理1:(二重積分的坐標(biāo)輪換對稱性)如果區(qū)域D的邊界曲線方程是關(guān)于x,y地位對稱，f(x,y)在D上連續(xù),則定理2:(三重積分的坐標(biāo)輪換對稱性)如果有界閉區(qū)域的邊界曲面的方程關(guān)于x,y,z地位對稱，f(u)在上連續(xù)，則f(x)dxdydzf(y)dxdydzf(z)dxdydz.由此，可以推廣到：定理3:(

10、n重積分的坐標(biāo)輪換對稱性)如果n維有界閉區(qū)域V的邊界曲面白方程關(guān)于xi,x2,L,xn地位對稱，f(u)在V上連續(xù)，則Lf(x1)dx1dx2Ldxn=Lf(x2)dx1dx2Ldxn=LLf(xn)dx1dx2Ldxn例3.計算三重積分f(x)dxdydz(xyz)2dxdydz,其中是0xa,0ya,0za所圍成正方形(a為一大于0的實數(shù)).解：I(xyz)2dxdydz(x2y2z22xy2xz2yz)dxdydz中被積函數(shù)及積分區(qū)域都有輪換對稱性所以222.xdxdydzydxdydzzdxdydz,xydxdydzxzdxdydzyzdxdydz,2(3x6xy)dxdydzaa25

11、6dzdy(3x6xy)dx-a3.1.2.2利用積分區(qū)間的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性，可簡化定積分的計算定理：設(shè)f(x)是a,b上的連續(xù)函數(shù),則通過變換可得:bf(x)dx=f(abx)dxab2a-f(x)f(abx)dx這就是積分區(qū)間的對稱原理.特別地，當(dāng)f(x)f(abx)時,bf(x)dx2aab2f(x)dx.a例4.求積分萬dx,201tanx1,解：由于f(x)-在0-1tan2x2上有界,且只有可去間斷點x2,故定積分存在.由積分區(qū)間對稱原理可得:原積分1萬12201tanxdx1tan、2(x)22dx一0422dx-1tanx1cotx2若被積函數(shù)是非奇非偶時，通過適當(dāng)?shù)膿Q

12、元或拆項等方法也可轉(zhuǎn)化為對稱區(qū)間的積分問題.把積分區(qū)間的對稱性原理推廣到二元函數(shù)積分中，可以得到結(jié)論：結(jié)論1:設(shè)D關(guān)于y軸對稱，則2f(x,y)dxdy若f(x,y)關(guān)于變量x為偶函數(shù)f(x,y)dxdyDiD0若f(x,y)關(guān)于變量x為奇函數(shù)其中Di是D的右半部分：Di(x,y)|(x,y)D,且x0.結(jié)論2:設(shè)D關(guān)于x軸對稱，則2f(x,y)dxdy若f(x,y)關(guān)于變量y為偶函數(shù)f(x,y)dxdyDiD0若f(x,y)關(guān)于變量y為奇函數(shù)其中Di是D的上半部分：Di(x,y)|(x,y)D,且y0.結(jié)論3:設(shè)D關(guān)于x軸和y軸均對稱，且f(x,y)關(guān)于變量x和變量y均為偶函數(shù)，則f(x,y

13、)dxdy4f(x,y)dxdyDDi其中Di是D在第一象限的部分：Di(x,y)|(x,y)D,且x0,y0.結(jié)論4:設(shè)D關(guān)于原點對稱，則其中Di(x,y)|(x,y)D,且x0,D2(x,y)|(x,y)D,且y0.結(jié)論5：設(shè)D關(guān)于直線y=x對稱，則特別地，當(dāng)f(x,y)fi(x)f2(y)時，f1(x)f2(y)dxdyfi(y)f2(x)dxdy.例5.計算二重積分I(x27x5y1)d，其中D:x2y21.D解：D關(guān)于x軸和y軸均對稱，而7x和5y分別關(guān)于變量x和y為奇函數(shù)，故(7x5y)d0,D21o5所以：I(x1)dxddd(rcos)rdrDDD004同樣地，將它應(yīng)用到三重積

14、分中.例6.計算三重積分(xz)dxdydz,其中是由曲面z,x2y2與z1x2y2所圍成的區(qū)域.解：關(guān)于坐標(biāo)面x=0對稱，且關(guān)于變量x為奇函數(shù)，故xdxdydz0.212所以(xz)dxdydzzdxdydz0d04d0rcos*rsindr222、例10.計算三重積分zln(1j2y2z)dxdydz,V1xyz其中V(x,y,z)|x2y2z21解：積分區(qū)域V是以原點O(0,0,0)為中心的單位球域，所以V關(guān)于xoy平面對稱，被積函22數(shù)f(x,y,z)z1n(1:2y2z)是關(guān)于z的奇函數(shù),1 xyz2 222故由對稱性知Z1n(12x2y2z-)dxdydz0.V1xyz由上可見，在

15、解決微積分問題時，巧妙應(yīng)用對稱性的觀點去解題，可以使運算過程更加的快捷、流暢，11算結(jié)果更加的精確.3.2對稱在數(shù)學(xué)中的其他應(yīng)用對稱是形式美的顯著特征，就數(shù)學(xué)而言，不僅讓枯燥抽象的數(shù)學(xué)公式變得容易記憶，而且也是數(shù)學(xué)命題證明必不可少的一種方法.3.2.1 利用對稱性記憶公式在數(shù)學(xué)分析中，斯托克斯公式有一種形式表示法其中P,Q,和R為連續(xù)可微函數(shù)，S為逐片光滑的有界雙側(cè)曲面，C為包圍S的逐段光滑的簡單閉曲線,(sin,sin,sin)為曲面夠點(x,y,z)處的單位法向量，方向為逆時針，這個公式的右邊是用第一型曲面積分表示的，被積函數(shù)是一個三階行列式.若取xy平面上的平面區(qū)域D乍曲面S,并取上側(cè)，

16、則斯托克斯公式右側(cè)的三階行列式為一一一xyzPQR于是斯式公式就變成了格林公式,由此可見，格林公式是斯式公式的特例類似地，奧式公式可表示為其中S是包圍V的逐片光滑曲面，P,Q,R在S+V1是連續(xù)可微的,(sin,sin,sin)為曲面S上點(x,y,z)處的單位法向量.不難看出，斯式公式和奧式公式都是由三個矢量(P,Q,R),(sin,sin,sin)，及(一,一,一)所決定的.xyz上述一些形式上的對稱性，是數(shù)學(xué)分析中追求對稱形式美的有利證據(jù).一些望而生怯的公式由于有了對稱美，變得非常容易記憶了.3.2.2 數(shù)列解題中的的對稱思想在數(shù)列解題中，存在著大量的對稱思想，無論是等差數(shù)列還是等比數(shù)列

17、，都含有豐富的對稱之美.我們知道：只要mnpq,其中m，n，p，qN,就有(i)垢前*aq(等差數(shù)列)(ii)amanaPaq(等比數(shù)列)利用這個數(shù)量關(guān)系來處理有關(guān)數(shù)列問題，常常能化繁為簡例11.(1)已知an為等差數(shù)列，且a2a3a10a1148,求證為(2)已知an為等比數(shù)列,an0,a2a42a3a5a4a625,求a3a5解：(1)(a2a11)(a3al0)482(a6a7)，.二a6a72422a3a3ag,a4a6a522ag2a3a5as25例12.在等差數(shù)列中,a6a9ai2ai520,求S20解.a6a9ai2a152(a6a5)2(aia20)%2(aia20)20由此可

18、以看出，如果在等差數(shù)列中，由條件不能具體的求出a和d,但可以求出a和d的組合式，而所求的量往往可以用這個組合式來表示，那么就用“整體代值”的方法將值求出，同樣的方法也可以用在等比數(shù)列中3.3對稱美與數(shù)學(xué)教學(xué)人們常說：“成功的教學(xué)給人以一種美的享受”.而長期以來，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，人們總是重視基礎(chǔ)知識和基本技能的傳授與訓(xùn)練，而忽視了美育的滲透，不善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本身所特有的美，不注意用數(shù)學(xué)美來感染誘發(fā)學(xué)生的求知欲望，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，不重視引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，鑒賞數(shù)學(xué)美，以致使一些學(xué)生感到數(shù)學(xué)抽象枯燥，失去學(xué)好的信心.心理學(xué)研究表明：沒有絲毫興趣的強制性學(xué)習(xí)，將會扼殺學(xué)生探求真理的欲望.因此，只有學(xué)生

19、熱愛數(shù)學(xué)，才能產(chǎn)生積極而又持久的求學(xué)勁頭我國數(shù)學(xué)家徐利治認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一是使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的審美能力，即能增進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的主觀感受能力.”數(shù)學(xué)的教學(xué)過程不僅僅是學(xué)生個體的認(rèn)識過程和發(fā)展過程，而且也是在教師指導(dǎo)下的一種特殊審美過程.因此在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)美的內(nèi)容通過教學(xué)過程的設(shè)計向?qū)W生揭示出來，從而使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的內(nèi)容是美的，并且充分運用數(shù)學(xué)美的誘發(fā)力引起學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣、強烈的求知欲望，使抽象、高深的數(shù)學(xué)知識得以形象化、趣味化，使學(xué)生從心理上愿意接近它、接受它，直到最終熱愛它.對稱美是數(shù)學(xué)中最普遍的一種美.圖形的對稱、式子的對稱和解題方法的對稱等，都能給人以勻稱的美感，用

20、對稱的觀點去處理數(shù)學(xué)問題，往往可以從問題的一部分聯(lián)想起與此對稱的另一部分，從而采取補全的方法，使之構(gòu)成一種整體的對稱美，使問題化繁為簡，化難為易.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，充分發(fā)掘教材中的對稱式的美，運算中的對稱美、函數(shù)中的對稱美、幾何圖形中的對稱美，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的體驗，使學(xué)生從數(shù)學(xué)的顯性美提高到對數(shù)學(xué)隱性美的認(rèn)識，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，使學(xué)生對所學(xué)的知識更易于接受，便于理解，培養(yǎng)學(xué)生愛好數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)美的興趣在數(shù)學(xué)問題的求解過程中，充分運用對稱的數(shù)學(xué)美的思想方法，可以使學(xué)生感受到對稱美，增強求知欲，使數(shù)學(xué)問題的解決更加簡捷明快，從而提高了學(xué)生的直覺思維能力和形象思維能力，開拓解題新思路，進(jìn)而提高了學(xué)生解決問題的能力和對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟，使學(xué)生由此而產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.在數(shù)學(xué)解題過程中，若能積極挖掘問題中隱含的對稱性，巧妙地利用對稱性，可使復(fù)雜的問題變得條理清楚脈絡(luò)分明，能化難為易、化繁為簡.例如對于數(shù)列中的若干項的和或積的問題，如果能對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行稱性的分析，將數(shù)學(xué)的對稱美與題目的條件或結(jié)論相結(jié)合，就能構(gòu)建一組互相關(guān)聯(lián)的對偶式，從而確定解