數(shù)學(xué)建模最優(yōu)組隊(duì)問題

1、數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)報(bào)告課程設(shè)計(jì)題目：最佳組隊(duì)問題摘要針對(duì)問題1,我們知道題目中六個(gè)指標(biāo)對(duì)建模的影響顯然是不同的，但是我們只能從定性的角度來分析哪些因素對(duì)建模能力素質(zhì)影響較大。于是，我們建立出求加權(quán)平均成績的函數(shù)模型1然后經(jīng)過Excel計(jì)算排序之后，得到加權(quán)平均水平統(tǒng)計(jì)表，進(jìn)行了人員的直接篩選。但這種方法是占很大主觀因素的，也缺乏一定的公平性。針對(duì)問題2,我們運(yùn)用層次分析法，依次求解出目標(biāo)層（12名選拔出的學(xué)生）、準(zhǔn)則層（7項(xiàng)評(píng)價(jià)水平）、方案層（18名學(xué)生）之間的權(quán)重，最終根據(jù)每位同學(xué)所占的權(quán)重大小來篩選出優(yōu)秀的學(xué)生。針對(duì)問題3,我們首先確定出三人組隊(duì)選拔的最低標(biāo)準(zhǔn)。每三個(gè)人的每項(xiàng)能力的最大值都必

2、須大于設(shè)定的最低標(biāo)準(zhǔn)，這樣三個(gè)人才準(zhǔn)許組成一隊(duì)，因?yàn)槿齻€(gè)人作為一整體，決定他們的能力水平的是這三人每項(xiàng)能力的最高水平，而不是取決于每隊(duì)的最低水平。所以每一組的能力由團(tuán)隊(duì)中在這方面最優(yōu)的選手決定，所以在組隊(duì)的過程中，每隊(duì)的三名選手至少有兩項(xiàng)能力在整體平均能力以上，根據(jù)這一原則以及綜合水平盡可能高進(jìn)行組隊(duì)。然后通過計(jì)算機(jī)算法，對(duì)這一問題進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵字：層次分析法動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題建模一問題重述2014年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽將于美國東部時(shí)間2014年2月6日晚上8點(diǎn)舉行，任何一個(gè)參賽院校都會(huì)遇到如何選拔最優(yōu)秀的隊(duì)員和科學(xué)合理地組隊(duì)問題這是一個(gè)最實(shí)際的，而且首先需要解決的數(shù)學(xué)模型問題.現(xiàn)假設(shè)有18名隊(duì)員

3、準(zhǔn)備參加競賽，根據(jù)隊(duì)員的能力和水平要選出12名優(yōu)秀隊(duì)員分別組成4個(gè)隊(duì),每個(gè)隊(duì)3名隊(duì)員去參加比賽，選拔隊(duì)員主要考慮的條件分別為有關(guān)學(xué)科成績（平均成績）、智力水平（反映思維能力、分析問題能力和解決問題能力等卜動(dòng)手能力（計(jì)算機(jī)的使用和其他方面實(shí)際操作能力）寫作能力、外語能力、協(xié)作能力（團(tuán)結(jié)協(xié)作能力）和其他特長.每個(gè)隊(duì)員的基本條件量化后如下表所示，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，試回答如下三個(gè)問題：1）選擇哪12名優(yōu)秀隊(duì)員參加競賽？2）確定一個(gè)最佳的組隊(duì)使競賽技術(shù)水平最高；3）給出由12名隊(duì)員組成4個(gè)隊(duì)的組隊(duì)方案，使整體競賽技術(shù)水平最高，并給出每個(gè)隊(duì)的競賽技術(shù)水平。附表18名隊(duì)員各種能力分值表*件學(xué)科智力

4、動(dòng)手寫作外語協(xié)作其它成績水平能力能力水平能力隊(duì)員、(1)(3)(4)(5)(6)A8.69.08.28.07.99.56B8.28.88.16.57.79.12C8.08.68.58.59.29.68D8.68.98.39.69.79.78E8.88.48.57.78.69.29F9.29.28.27.99.09.06G9.29.69.07.29.19.29H7.08.09.86.28.79.76I7.78.28.46.59.69.3.5J8.38.18.66.98.59.44K9.08.28.07.89.09.55L9.69.18.19.98.79.76M9.59.68.38.19.09.3

5、7N8.68.38.28.19.09.05O9.18.78.88.48.89.45P9.38.48.68.88.69.56Q8.48.09.49.28.49.17R8.78.39.29.18.79.28二模型假設(shè)(1)題目所給各項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)真實(shí)客觀反映選手水平。(2)選拔過程中遵循確定標(biāo)準(zhǔn)公平，公正，公開。(3)各隊(duì)競賽水平由各個(gè)單項(xiàng)指標(biāo)衡量，并取在這方面最突出的選手的水平作為整隊(duì)競賽水平。(4)每位學(xué)生的綜合水平主要由各指標(biāo)分?jǐn)?shù)決定。Xi三符號(hào)說明依次為學(xué)習(xí)成績、智力水平、動(dòng)手能力、寫作能力、其它特長的得分(i=123,4,5,6,7)Yi每組成員中取每項(xiàng)成績的最高分(i=1,2,3,4,5,

6、6,7)bi分別表示降低0.5,1,1.5,2分(i=123,4)Pi對(duì)應(yīng)的7項(xiàng)水平的權(quán)重。依次為0.250.21340.17860.14290.10710.07140.0357(i=1,2,3,4,5,6,7)四問題分析4.1 問題1分析：針對(duì)問題1,從各個(gè)同學(xué)的綜合水平進(jìn)行考慮，對(duì)影響選拔隊(duì)員的7個(gè)條件進(jìn)行綜合性比較，采用加權(quán)平均的方法4.2 問題2分析根據(jù)常理，題目中7個(gè)指標(biāo)對(duì)建模能力的影響顯然是不同的，但是我們只能從定性的角度來分析哪些因素對(duì)建模能力素質(zhì)影響較大，而沒有一個(gè)具體的尺度確定某項(xiàng)指標(biāo)在建模能力中究竟占多大比重。所以根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)采用層次分析法來確定各項(xiàng)指標(biāo)在建模能力中所占多比

7、重。4.3 問題3分析：問題要求尋求各隊(duì)整體競賽水平最高的分隊(duì)方法，首先應(yīng)該給每一對(duì)的整體競賽水平一個(gè)精確標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)原理貿(mào)易使每個(gè)人生活更好，經(jīng)濟(jì)在社會(huì)中總是從事自己最有比較優(yōu)勢(shì)的工作，即最擅長的工作。所以可以斷言，在一個(gè)團(tuán)隊(duì)中每位參數(shù)選手都從事自己最擅長的工作，故團(tuán)隊(duì)某一方面競賽水平（比如動(dòng)手能力，寫作能力）是由團(tuán)隊(duì)中在這方面最優(yōu)性的選手決定，所以在組隊(duì)的過程中，每隊(duì)的三名選手至少有兩項(xiàng)能力在整體平均能力以上，根據(jù)這一原則以及綜合水平盡可能高進(jìn)行組隊(duì)。五模型建立與求解5.1 問題1模型與求解針對(duì)問題1要根據(jù)18名學(xué)生的基本情況，來選擇12名學(xué)生參加競賽。根據(jù)擇優(yōu)選取原則，需要排除6名能

8、力較差一些的同學(xué)，選擇12名能力較好的同學(xué)出來。首先對(duì)18名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)，從各個(gè)同學(xué)的綜合水平進(jìn)行考慮，對(duì)影響選拔隊(duì)員的7個(gè)條件進(jìn)行綜合性比較，通過兩個(gè)模型的建立求解，最終得出結(jié)論。5.1.1 模型I建立出求加權(quán)平均成績的函數(shù)模型：、，7X16X25X34X43X32X2X1Y=7654321然后經(jīng)過Excel計(jì)算排序之后，即可得如下加權(quán)平均水平統(tǒng)計(jì)表。表5.1隊(duì)員學(xué)科成智力動(dòng)手能寫作外語水協(xié)作其它平均水平績水平力力匕匕平力匕匕XL9.69.18.19.98.79.769.05M9.59.68.38.199.378.95G9.29.697.29.19.298.946428571D8.68.98

9、.39.69.79.788.928571429R8.78.39.29.18.79.288.771428571P9.38.48.68.88.69.568.732142857O9.18.78.88.48.89.458.703571429F9.29.28.27.99968.685714286Q8.489.49.28.49.178.6071428578.532142857C88.68.58.59.29.68E8.88.48.57.78.69.298.517857143A8.698.287.99.568.425K98.287.899.558.371428571N8.68.38.28.19958.3357

10、1428JI8.38.18.66.98.59.4468.057142857.78.28.46.59.69.3577.982142851HB789.86.28.79.7677.939285718.28.88.16.57.79.1247.8571428575.1.2 模型2在做一些比較和決策的時(shí)候，通?？紤]的因素會(huì)涉及到很多方面，而有些因素的重要性，影響力，或優(yōu)先程度往往難以量化，人的主觀選擇（根據(jù)客觀實(shí)際情況看）會(huì)起著相當(dāng)主要的作用，這就給用一般的數(shù)學(xué)方法解決問題帶來本質(zhì)上的困難。層次分析法是一種定性和定量相結(jié)合的，系統(tǒng)化，層次化的分析方法，它可以有效地處理這樣一類問題的實(shí)用方法11,0基于我們

11、要考慮所選拔出的學(xué)生有較強(qiáng)的互補(bǔ)性，使他們能夠更好的配合，我們采用層次分析模型。首先，我們將決策的問題分解為3個(gè)層次，最上層為目標(biāo)層，即選拔的12名學(xué)生，最下層為方案層，為18名學(xué)生，中間層為準(zhǔn)則層，有學(xué)習(xí)成績，智力水平（反映思維能力、分析問題、解決問題的能力），動(dòng)手能力（計(jì)算機(jī)的使用和其它方面的實(shí)際操作能力），寫作能力，協(xié)作能力（相互協(xié)作能力）及其他特長，各層次之間的關(guān)系用相連的直線表示，如圖一所示。裁解生圖5-1為避免結(jié)果的不準(zhǔn)確性和不全面性，給出非定性的易于讓人接受的結(jié)果，我們進(jìn)行如下做法：一是不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互對(duì)比，二是對(duì)比時(shí)采用相對(duì)尺度，以減少性質(zhì)不同的諸因素相互

12、比較的困難，提高準(zhǔn)確度3在該問題中比較學(xué)習(xí)成績，智力水平，動(dòng)手能力，寫作能力，外語水平，協(xié)作能力，其他特長7個(gè)準(zhǔn)則在選拔學(xué)生這一目標(biāo)中的重要性。每次取兩個(gè)因素Xi和Xj,用aij表示“和Xj對(duì)上一層因素的影響之比，全部比較成果可用成對(duì)比較矩陣A,、C1XjA=(aj)n*n,aij0,aji=TaijXi(1)表示。由于(1)式給出的aij的特點(diǎn)，A稱為正互反矩陣。顯然必有aij=10如果用X1、X7依次表示學(xué)習(xí)成績、智力水平、動(dòng)手能力、寫作能力、外C2語水平、協(xié)作能力、其他特長7個(gè)準(zhǔn)則，我們進(jìn)行C6次成對(duì)比較，運(yùn)用MATLAB得到成對(duì)比較矩陣為A=1.00001.16671.40001.75

13、002.33333.50007.00000.85711.00001.20001.50002.00003.00006.00000.71430.83331.00001.25001.66672.50005.00000.57140.16670.20001.00001.33332.00004.00000.42860.50000.60000.75001.00001.50003.00000.28570.33330.40000.50000.66671.00002.00000.14290.16670.20000.25000.33330.50001.0000我們求取對(duì)應(yīng)于特征根n的，歸一化的特征向量表示各個(gè)準(zhǔn)則對(duì)

14、上層目標(biāo)的權(quán)重。(1)運(yùn)用MATLAB得到特征值和特征向量如下所示：V-0.5916-0.M79凱耶170.S27318273QL0612O.OOOfl0.5071-11221新G.Q+0.1047i0.0B66-0-0024-0.00000.4226-Q.2745阪0.3330-0,248S10J3S0+1屬猷0.009c-0.0002O.llfl0JBL2(LI56O"颯+o.oori-0.2503-o.oori0.5583口，獻(xiàn)O.OSOOL0翻+0.0fi2G-0,D037-1第00.1256(LOTTS-a.iiS2-0,0023i-0.1452-0.00231-0.249

15、4-D.期4瓦州8的靚7,0項(xiàng)+0.00121-0.07Z6-0.00121-0.1247Ds7.0060000000D0,QQOOQ0000000.0000fl000000L蝴。+0.OOOdi00Q0000O.ObQO-Q.OQOOi00000-d.000000000000(2)一致性檢驗(yàn)由上面所求的特征根和特征向量可知，7階正互反陣A的最大特征根是7.0000,此時(shí)入=n，一致性指標(biāo)CI=±N=0,故A為一致陣。N-1(3)確定權(quán)向量對(duì)特征向量進(jìn)行歸一化即可得到權(quán)向量w,w二(0.25,0.2143,0.1786,0.1429,0.1071,0.0714,0.0357)其中各項(xiàng)

16、的元素即對(duì)應(yīng)于7項(xiàng)準(zhǔn)則所占有的比重。5.1.3問題1模型2的結(jié)論將18名學(xué)生的各項(xiàng)成績做成18行7列的矩陣如下所示：8.60009.00008.20008.00007.90009.50006.00008.20008.80008.10006.50007.70009.10002.00008.00008.60008.50008.50009.20009.60008.00008.60008.90008.30009.60009.70009.70008.00008.80008.40008.50007.70008.60009.20009.00009.20009.20008.20007.90009.00009.

17、00006.00009.20009.60009.00007.20009.10009.20009.00007.00008.00009.80006.20008.70009.70006.00007.70008.20008.40006.50009.60009.30005.00008.30008.10008.60006.90008.50009.40004.00009.00008.20008.00007.80009.00009.50005.00009.60009.10008.10009.90008.70009.70006.00009.50009.60008.30008.10009.00009.30007.

18、00008.60008.30008.20008.10009.00009.00005.00009.10008.70008.80008.40008.80009.40005.00009.30008.40008.60008.80008.60009.50006.00008.40008.00009.40009.20008.40009.10007.00008.70008.30009.20009.10008.70009.20008.0000然后e*WT即可得到由各位學(xué)生的平均水平組成的18行1列的矩陣N。NT=(8.41697.84928.52448.92058.51028.67748.93777.93207

19、.97468.04988.36409.04198.94138.32828.69588.72468.60008.7640)于是可以得到模型二的結(jié)論為:對(duì)UT排序得至U7.84927.93207.97468.04988.32828.36408.41698.51028.52448.60008.67748.69588.72468.76408.92058.93778.94139.0419所以第2,8,9,10,11,14,個(gè)退出比賽，所選拔學(xué)生排名如下表表5-2名次123456編R1213741816成績9.04198.94138.93778.92058.76408.7246名次789101112編R1

20、5617351成績8.69588.67748.60008.52448.51028.41695.2問題2模型與求解5.2.1 確定分組標(biāo)準(zhǔn)在問題1的基礎(chǔ)上，我們?nèi)绻雽?duì)這12個(gè)同學(xué)進(jìn)行定性的、合理的分組，則需要保證每組的每項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)的平均水平都較大且不能低于12個(gè)人的每項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)的平均水平。因此我們首先要求出所選拔的12個(gè)人的每項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)的平均水平，如表三所示。作為三人組隊(duì)選拔最低標(biāo)準(zhǔn)。每三個(gè)人的每項(xiàng)能力的最大值都必須大于設(shè)定的最低標(biāo)準(zhǔn)，這樣三個(gè)人才準(zhǔn)許組成一隊(duì)，因?yàn)槿齻€(gè)作為一整體，決定他們的能力水平的是這三人每項(xiàng)能力的最高水平，而不是取決于每隊(duì)的最低水平。表5-3剩余12人每項(xiàng)能力的平均成績學(xué)習(xí)成績智力水

21、平動(dòng)手能力寫作能力外語水平協(xié)作能力其它特長8.9166678.8166678.5916678.5333338.8083339.3666677.083333考慮到，每項(xiàng)能力所占有的權(quán)重是不一樣的，這樣就不可能對(duì)每一項(xiàng)能力升高同樣的標(biāo)準(zhǔn)，這是不符合客觀事實(shí)的，所以在升高選拔每項(xiàng)能力的最低標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，對(duì)第一次的最低標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行略加改動(dòng)，改動(dòng)后的最低標(biāo)準(zhǔn)為：Xi-bi*Pb分別表示升高1,1.5,2,2.5分(i=1,2,3,4)。這樣就可以達(dá)到預(yù)期的效果，所占權(quán)重越大的水平項(xiàng)，在升高標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，所升高的標(biāo)準(zhǔn)就相應(yīng)的升高越多，占權(quán)重越小的水平項(xiàng)，在升高標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，所升高的標(biāo)準(zhǔn)就相應(yīng)的升高的越少，這樣越重要的水平項(xiàng)對(duì)總

22、分的影響就相應(yīng)的越重要，這樣就可以進(jìn)行合理的篩選，不斷的升高最低標(biāo)準(zhǔn)，依次升高了1分,1.5分,2分,2.5分，分別得到如下表四的最低標(biāo)準(zhǔn):表5-4升高的分?jǐn)?shù)組隊(duì)最低標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)成績智力水平動(dòng)手能力寫作能力外語水平協(xié)作能力其它特長18.66678.60338.41348.39048.70129.29537.04761.58.54178.49668.32388.31908.64779.25967.029828.41678.3899P8.23458.24758.59419.22397.01192.58.29178.28328.14528.17618.54069.18826.94415.2.2進(jìn)行合理分

23、組對(duì)每一組的三名同學(xué)，我們分別取每一項(xiàng)準(zhǔn)則的最大值作為該組在這一準(zhǔn)則下的成績。分別求出這一組在各項(xiàng)指標(biāo)下的成績。采用如下公式進(jìn)行篩選7“Yi*Pi1求出每一組每項(xiàng)能力的最高分的總和以及加權(quán)總和，以保證在可能存在的隊(duì)數(shù)較多時(shí)，選取加權(quán)總分相對(duì)較高的那一組，在加權(quán)總分相同時(shí)，選擇總分較高的哪一組，這樣更加符合客觀事實(shí)，以便讓整體的水平較高。通過以最低成績作為最低標(biāo)準(zhǔn)，選拔隊(duì)伍所執(zhí)行的程序，結(jié)果顯示可以選擇的組太多，不容易篩選出整體水平都很高的4組，并且不能保證這4組的整體水平趨于一致，所以必須升高選拔的最低標(biāo)準(zhǔn)，這樣才能尋找出既滿足：7、Y*Pii1值較大的4組。5.2.3確定最終分組在通過MATLAB執(zhí)行程序后我們得到了詳細(xì)的組隊(duì)情況，詳細(xì)數(shù)據(jù)見附錄。下面將每組按照他們的每項(xiàng)能力的總分進(jìn)行從高到底的排序，在遵循每個(gè)人不重復(fù)的原則下，從中間成績的組依次向兩邊選取，以保證每組的整體水平在較小的范圍內(nèi)波動(dòng)，使他們的總成績趨于一致，這樣在人數(shù)一定的情況下，可以使得每隊(duì)的水平都盡可能的高。通過程序運(yùn)算結(jié)果比較，得到的最佳分隊(duì)情況如下表5-5隊(duì)員學(xué)科成績智力水平動(dòng)手能力寫作能力外語水平協(xié)作能力其它特長L9