數(shù)學(xué)建模——存儲(chǔ)模型

1、存儲(chǔ)模型摘要本文建立的是在產(chǎn)品需求穩(wěn)定不變，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和產(chǎn)品貯存費(fèi)為常數(shù)、生產(chǎn)能力無限的條件下的存貯模型。在不允許缺貨和允許缺貨的這兩種情況下，為了簡化模型的建立，我們采用了連續(xù)的變量來更加合理地來描述問題。模型的求解是一個(gè)以每天的平均費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)來求解的優(yōu)化模型。本文主要是通過數(shù)學(xué)中的微積分知識(shí)，借助Matlab程序?qū)崿F(xiàn)，來求目標(biāo)函數(shù)的極值問題，從而求得總費(fèi)用最小的方案。首先，在模型一中我們提出了不允許缺貨的優(yōu)化模型，即綜合考慮在產(chǎn)品需求穩(wěn)定不變、生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和產(chǎn)品貯存費(fèi)為常數(shù)、生產(chǎn)能力無限、不允許缺貨以及確定生產(chǎn)周期和產(chǎn)量的情況下，使總費(fèi)用最小的模型。這個(gè)模型中，通過對得到的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行

2、分析求解，可以得出經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式（EQQ公式），驗(yàn)證了模型一的準(zhǔn)確性。其次，模型二中考慮當(dāng)缺貨的損失費(fèi)不超過不允許缺貨導(dǎo)致的準(zhǔn)備費(fèi)和貯存費(fèi)時(shí)，提出了允許缺貨的貯存模型。根據(jù)貯存量函數(shù)和周期之間的關(guān)系，得到適用于模型二的目標(biāo)函數(shù)。止匕外，在模型二的求解中，當(dāng)函數(shù)中的變量都各自趨于某一定值時(shí)，可以近似認(rèn)為不允許缺貨模型是缺貨模型的特例?？偠灾?，本文中的存貯模型是在總費(fèi)用中增加購買貨物本身的費(fèi)用時(shí)，重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量的優(yōu)化模型，并且證明了在不允許缺貨模型和允許缺貨模型中結(jié)果都與原來的一樣，充分考慮了模型的優(yōu)化。關(guān)鍵詞：不允許缺貨；允許缺貨；訂貨周期；訂貨批量；matlab程序一、問題

3、重述在我們的周邊有一家配件廠，據(jù)我們得知，該廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件時(shí)因更換要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)（與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)），同一部件的產(chǎn)量大于需求時(shí)因積壓資金、占用倉庫要付貯存費(fèi)?，F(xiàn)已知某一部件的日需求量為100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。如果生產(chǎn)能力遠(yuǎn)大于需求，試求在以下兩種情況下來安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（稱為生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，可使總費(fèi)用最小。（1）不允許出現(xiàn)缺貨（2）允許出現(xiàn)缺貨二、問題分析在第（1）問時(shí)，我們不如先來試算一下以下幾種情況的結(jié)果：若每天生產(chǎn)一次，每次100件，則我們可知，此時(shí)無貯存費(fèi)，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，每天費(fèi)用為5000元；若10天生產(chǎn)一次，

4、每次1000件，則我們可知，此時(shí)貯存費(fèi)為900+800+100=4500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元，平均每天費(fèi)用為950元；若50天生產(chǎn)一次，每次5000件，則我們可知，此時(shí)貯存費(fèi)為4900+4800+100=122500元，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元，平均每天費(fèi)用為2550元；從以上的計(jì)算看，生產(chǎn)周期短、產(chǎn)量少，會(huì)使貯存費(fèi)小，準(zhǔn)備費(fèi)大；而周期長、產(chǎn)量多，會(huì)使貯存費(fèi)大，準(zhǔn)備費(fèi)小。所以必然存在一個(gè)最佳的周期，使總費(fèi)用最小。我們可知，這應(yīng)該算是一個(gè)優(yōu)化模型我們應(yīng)先建立一個(gè)不允許缺貨的存貯模型，即在產(chǎn)品需求穩(wěn)定不變，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和產(chǎn)品貯存費(fèi)為常數(shù)、生產(chǎn)能力無限、不允許缺貨下

5、的確定生產(chǎn)周期和常量，使總費(fèi)用最小的模型。而在第（2）問中，需改進(jìn)一下第一問的條件，在短時(shí)間可以缺貨的情況下，雖然這會(huì)造成一定的損失，但如果損失費(fèi)不超過不允許缺貨導(dǎo)致的準(zhǔn)備費(fèi)和貯存費(fèi)的話，我們可優(yōu)化一下第一個(gè)模型，建立一個(gè)更全面的模型。三、模型假設(shè)為了處理的方便，考慮連續(xù)模型，即設(shè)生產(chǎn)周期T和產(chǎn)量Q均為連續(xù)量。根據(jù)問題性質(zhì)，我們作如下假設(shè)：1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2,每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為ci,每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為02；3.生產(chǎn)能力為無限大（相對于需求量），當(dāng)貯存量降到零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即生產(chǎn)出來供給需求；4,在第（1）問中，不允許缺貨；5,在第（2）問中，允許缺貨，每天每件產(chǎn)品缺貨損失費(fèi)為C3

6、,但缺貨數(shù)量需在下次生產(chǎn)（或訂貨）事補(bǔ)足。四、符號(hào)說明符號(hào)意義r產(chǎn)品每天的需求量Ci每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)C2每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)q(t)相應(yīng)時(shí)間t下的貯存量Q每次的產(chǎn)量T生產(chǎn)周期C每天平均最小費(fèi)用五、模型的建立與求解5.1模型一的建立：不允許缺貨的存貯模型先考察這樣的問題，配件廠為裝配線生產(chǎn)若干部件，輪換生產(chǎn)不同的部件時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)(與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān))同一部件的產(chǎn)量大與需求時(shí)因積壓資金、占用倉庫要付貯存費(fèi).將貯存量表示為時(shí)間t的函數(shù)q(t),t=0生產(chǎn)Q件，貯存量q(0)=Q,q(t)以需求率r遞減，直到q(T)=0,如圖13示，顯然有Q=rt.(1)圖1不允許缺貨模型的貯存量q(t)一個(gè)周

7、期內(nèi)的貯存費(fèi)c21rq(t)dt,其中積分恰等于圖中三角形A的面積&工川.因-02為一個(gè)周期的準(zhǔn)備費(fèi)是G,再注意到(1)式，得到一周期的總費(fèi)用為C=gQQT.2=gCzrT2.2于是每天的平均費(fèi)用是C(T)=CT=c1.TqrT.2.(3)式即為這個(gè)優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)5.2 模型一的求解:求T使(3)最小.容易得到代入(1)式得到T二2ciqr,Q=(5)由(3)式算出最小的總費(fèi)用為(6)C-2cle2r.(4),(5)式是經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式(EOS式)4由(4),(5)式可以看到，當(dāng)準(zhǔn)備費(fèi)G增加時(shí)，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變大；當(dāng)準(zhǔn)備費(fèi)c2增加時(shí)，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變?。划?dāng)需求量r

8、增加時(shí)，生產(chǎn)周期變小而產(chǎn)量變大.這些定性的結(jié)果都是符合常識(shí)的.得到的模型用于計(jì)算開始的問題：以C=依酒=5000,c2=1,r=100代入(4) (6)式可得T=10天，T=1000元，這里得到的費(fèi)用C與前面計(jì)算的950>，、，-1兀有微小的差別，是因?yàn)榧僭O(shè)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)時(shí)，多計(jì)算了c2(100-100t)dt.5.3 模型一的結(jié)果分析討論參數(shù)q,c2,r有微小變化時(shí)對生產(chǎn)周期的影響.用相對改變量衡量結(jié)果對參數(shù)的敏感程度，T對g的敏感程度記為S(Tc),TTdTc1S(Ty而.由(4)式容易得到S(T,g)=1/2，作類似的定義可得的S(T,g)=-1/2,S(T,r)=1/2.即g增加

9、了1%,T增加了0.5%,而c2或r增加了1%,T減少0.5%.G,Q,r的微小變化對生產(chǎn)周期T的影響是很小的.5.4 模型二的建立：允許缺貨的存貯模型在某些情況下用戶允許短時(shí)間的缺貨，雖然這會(huì)造成一定的損失，但是如果損失費(fèi)不超過不允許缺貨的準(zhǔn)備費(fèi)和貯存費(fèi)的話，允許缺貨就應(yīng)該是可以采取的策略。因貯存量不足造成缺貨時(shí)，可認(rèn)為貯存量函數(shù)q(t)為負(fù)值，如圖2，周期仍記作T,Q是周期初的貯存量，當(dāng)1=工時(shí)4代)=0,于是有Q=r1.(8)在Ti到T的這段缺貨時(shí)段內(nèi)需求率r不變，q(t)按原斜率繼續(xù)下降。由于規(guī)定缺貨量補(bǔ)足，所以在t=T時(shí)數(shù)量為R的產(chǎn)品立刻到達(dá)，使下周期的貯存量恢復(fù)到Q。圖2允許缺貨模

10、型的貯存量q(t)與建立不允許缺貨模型時(shí)類似，一個(gè)周期內(nèi)的貯存費(fèi)時(shí)C2乘以圖22中三角形A的面積，缺貨損失費(fèi)時(shí)C3乘以圖2中三角形B的面積.計(jì)算這兩塊面積，并加上準(zhǔn)備費(fèi)G,得到一周的總費(fèi)用為2._C=gC2QT1/2Csr(T-Ti)/2.(9)利用（8）式將模型的目標(biāo)函數(shù)一一每天的平均費(fèi)用一一記作T和Q的二元函數(shù)-22cc2Qc3(rT-Q)C(T,Q)=士-T2rT2rT(10)5.5模型二的求解:利用微分法求T和Q使C（T,Q）最小，令/T=0,E%=0，可得（為了與不允許徐缺貨模型相區(qū)別，最優(yōu)解記作T=Q2,c2Qc3(11)注意到每周期的供貨量R=rT',有2c1rc2c3(

11、12)(13)與不允許缺貨模型的結(jié)果（4）,（5）式比較不難得到T,Q'=Q,R=Q.(14)由（13）式，九>1,故式（14）給出T>九T,Q'<Q,R>Q,即允許缺貨時(shí)周期及供貨量應(yīng)增加，周期初的貯存量減少，缺貨損失費(fèi)q越大（相對于貯存費(fèi)c2）,九越小，T,越接近T,Q，R越接近Q.當(dāng)c3TM時(shí)九于是T'tT,Q'tQ,RtQ這個(gè)結(jié)果合理么（考慮c3Ts的意義）.由此不允許缺貨模型可視為允許缺貨模型的特例六、模型評(píng)價(jià)與推廣本文中所建立的模型是從工廠原料需求的實(shí)際出發(fā)建立的最優(yōu)規(guī)劃模型，在需求量穩(wěn)定的前提下討論了兩個(gè)簡單的存貯模型：不允許缺貨模型和允許缺貨模型。前者適用于一旦出現(xiàn)缺貨會(huì)造成重大損失的情況（如煉鐵廠對原料的需求），后者適用于像商店購貨之類的情形，缺貨造成的損失可以允許和估計(jì)。問題一中提出了不允許缺貨的優(yōu)化模型，即綜合考慮在產(chǎn)品需求穩(wěn)定不變、生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和產(chǎn)品貯存費(fèi)為常數(shù)、生產(chǎn)能力無限、不允許缺貨以及確定生產(chǎn)周期和產(chǎn)量的情況下，使總費(fèi)用最小的模型。問題二則考慮當(dāng)在某些情況下用戶允許短時(shí)間的缺貨，雖然這會(huì)造成一定的損失，但是如果損失費(fèi)不超過不允許缺貨的準(zhǔn)備費(fèi)和貯存費(fèi)的話，允許缺貨所對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。模型的擴(kuò)展性良好，能夠解決多