競(jìng)賽課件：平衡問題探驪

1、12 穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡O稍微偏離原平衡位稍微偏離原平衡位置后能回到原位置置后能回到原位置 不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡稍微偏離原平衡位稍微偏離原平衡位置后不能回到原位置后不能回到原位置置 隨機(jī)平衡隨機(jī)平衡能在隨機(jī)位置保持平能在隨機(jī)位置保持平衡衡O3對(duì)由重力與支持力作用下的平衡對(duì)由重力與支持力作用下的平衡 設(shè)計(jì)一個(gè)元過程，即設(shè)想對(duì)物體施一微擾，使之設(shè)計(jì)一個(gè)元過程，即設(shè)想對(duì)物體施一微擾，使之稍偏離原平衡位置稍偏離原平衡位置* * 或從能量角度考察受擾動(dòng)后物體重心位置的高度或從能量角度考察受擾動(dòng)后物體重心位置的高度變化，根據(jù)重心是升高、降低還是不變來判斷物體變化，根據(jù)重心是升高、降低還是不變來判斷物體原本是

2、穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡或是隨遇平衡；原本是穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡或是隨遇平衡； 為比較擾動(dòng)前后物體的受力與態(tài)勢(shì)，要作出直觀明為比較擾動(dòng)前后物體的受力與態(tài)勢(shì)，要作出直觀明晰的圖示；由于對(duì)微擾元過程作的是晰的圖示；由于對(duì)微擾元過程作的是“低細(xì)節(jié)低細(xì)節(jié)”的描的描述，故常需運(yùn)用合理的近似這一數(shù)學(xué)處理手段述，故常需運(yùn)用合理的近似這一數(shù)學(xué)處理手段 或從受力角度考察受擾動(dòng)后重力作用點(diǎn)的側(cè)移量，或從受力角度考察受擾動(dòng)后重力作用點(diǎn)的側(cè)移量，即重力對(duì)擾動(dòng)后新支點(diǎn)的力臂，從而判斷物體原來即重力對(duì)擾動(dòng)后新支點(diǎn)的力臂，從而判斷物體原來的平衡態(tài)屬于哪一種的平衡態(tài)屬于哪一種* *依問題的具體情況，擇簡(jiǎn)而從依問題的具體情況，擇簡(jiǎn)

3、而從* *4 如圖所示，一個(gè)熟雞蛋的圓、尖兩端的曲率如圖所示，一個(gè)熟雞蛋的圓、尖兩端的曲率半徑分別為半徑分別為a、b且長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度為且長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度為l，蛋圓的一端可以在不光滑的，蛋圓的一端可以在不光滑的水平面上穩(wěn)定直立求蛋尖的一端可以在一個(gè)半球形的碗內(nèi)穩(wěn)水平面上穩(wěn)定直立求蛋尖的一端可以在一個(gè)半球形的碗內(nèi)穩(wěn)定地直立，碗的半徑定地直立，碗的半徑r需滿足的條件需滿足的條件 考察質(zhì)心位置的高度變考察質(zhì)心位置的高度變化化蛋圓在水平面處穩(wěn)定平衡蛋圓在水平面處穩(wěn)定平衡,應(yīng)滿足應(yīng)滿足BAbaClRRla cos2C MNMCM + + 蛋尖在球形碗內(nèi)處穩(wěn)定平衡蛋尖在球形碗內(nèi)處穩(wěn)定平衡,應(yīng)滿足應(yīng)滿足微擾情況下微擾情

4、況下、為小量，為小量， cos2RrR + + 1 cos2rR 22 sin2R 222R bRrRb 整理得整理得1bbR 1bbla 碗的半徑碗的半徑 b laabrl 5MNO-M CAC B蛋尖在球形碗內(nèi)處穩(wěn)定平衡蛋尖在球形碗內(nèi)處穩(wěn)定平衡,應(yīng)滿足應(yīng)滿足NMNMNMrb 2 2 2NM cosCM sinC M 6考察質(zhì)心位置側(cè)移量考察質(zhì)心位置側(cè)移量蛋處于穩(wěn)定平衡的條件是蛋處于穩(wěn)定平衡的條件是: :重力對(duì)擾動(dòng)后新支重力對(duì)擾動(dòng)后新支點(diǎn)點(diǎn)N的力矩可使蛋返回原位，即滿足的力矩可使蛋返回原位，即滿足 sinC MMN Rr rRrb bRrRb 1bbR 1bbla 碗的半徑碗的半徑 b la

5、abrl 222201sincossinab 01sin 0 0 0 0重力對(duì)重力對(duì) 的力矩使桿繼續(xù)順時(shí)針遠(yuǎn)離原平衡位置的力矩使桿繼續(xù)順時(shí)針遠(yuǎn)離原平衡位置!O 不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡abxx 筆不會(huì)因滾動(dòng)而破壞平衡筆不會(huì)因滾動(dòng)而破壞平衡!11B1BOA Ca過筆質(zhì)心的橫截過筆質(zhì)心的橫截面面 sin 60COa cos60OBa 0tancosOBCO 臨界狀態(tài)下臨界狀態(tài)下重力作用線重力作用線12127 飛檐問題飛檐問題：如圖所示，建造屋頂邊緣時(shí)，用：如圖所示，建造屋頂邊緣時(shí)，用長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為L(zhǎng)的長(zhǎng)方形磚塊，一塊壓著下面一塊并伸出磚長(zhǎng)的的長(zhǎng)方形磚塊，一塊壓著下面一塊并伸出磚長(zhǎng)的1/8，如果不用水泥粘

6、緊，則最多可以堆幾層同樣的磚剛好不翻倒？如果不用水泥粘緊，則最多可以堆幾層同樣的磚剛好不翻倒？這樣的幾層磚最多可使屋檐這樣的幾層磚最多可使屋檐“飛飛”出多長(zhǎng)？出多長(zhǎng)？ GL若共堆若共堆n層、每塊伸出層、每塊伸出1/8的磚而恰未翻的磚而恰未翻倒倒8L8L8L 18LLLn 全全C全全nG728L 7n 123n最上最上1 1層磚恰不翻倒層磚恰不翻倒, ,最多伸出最多伸出2L最上最上2 2層磚恰不翻倒層磚恰不翻倒, ,最多伸出最多伸出2G4L3G最上最上3 3層磚恰不翻倒層磚恰不翻倒, ,最多伸出最多伸出2L24LL G262GLxGGL x6L246LLL G以此類推，以此類推，7層磚的最大伸出

7、層磚的最大伸出max111124614LL 13 如圖所示，一矩形導(dǎo)電線圈可繞其中心如圖所示，一矩形導(dǎo)電線圈可繞其中心軸軸O轉(zhuǎn)動(dòng)它處于與軸垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在磁場(chǎng)的作轉(zhuǎn)動(dòng)它處于與軸垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在磁場(chǎng)的作用下，線框開始轉(zhuǎn)動(dòng)，最后靜止的平面位置是圖中的用下，線框開始轉(zhuǎn)動(dòng)，最后靜止的平面位置是圖中的AOBBBOCBODBO不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡14 圖中每一系統(tǒng)的兩個(gè)球都用一跨過滑輪圖中每一系統(tǒng)的兩個(gè)球都用一跨過滑輪的線聯(lián)結(jié)起來，問每一種情況各屬哪種平衡？的線聯(lián)結(jié)起來，問每一種情況各屬哪種平衡？ 隨機(jī)平衡隨機(jī)平衡穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡不

8、穩(wěn)定平衡給兩小球線繩系統(tǒng)一擾動(dòng)給兩小球線繩系統(tǒng)一擾動(dòng), ,從受力角度考從受力角度考察受擾動(dòng)后察受擾動(dòng)后, ,兩小球重力沿繩方向力的合兩小球重力沿繩方向力的合力指向力指向, ,從而判斷平衡種類從而判斷平衡種類! !15llmLm 如圖所示裝置，它是由一個(gè)長(zhǎng)如圖所示裝置，它是由一個(gè)長(zhǎng)L的木釘、從木釘?shù)哪踞?、從木釘上端向左右斜伸出兩個(gè)下垂的、長(zhǎng)為上端向左右斜伸出兩個(gè)下垂的、長(zhǎng)為l的細(xì)木桿，以及在木桿的末的細(xì)木桿，以及在木桿的末端裝有質(zhì)量同為端裝有質(zhì)量同為m的小重球而組成木釘及木桿的質(zhì)量可忽略，的小重球而組成木釘及木桿的質(zhì)量可忽略，木桿與木釘間夾角為木桿與木釘間夾角為，此裝置放在硬質(zhì)木柱上，則，此裝置

9、放在硬質(zhì)木柱上，則l、L、間應(yīng)間應(yīng)當(dāng)滿足當(dāng)滿足_關(guān)系才能使木釘由垂直位置稍微偏斜后，關(guān)系才能使木釘由垂直位置稍微偏斜后，此裝置只能以此裝置只能以O(shè)點(diǎn)為支點(diǎn)擺動(dòng)而不致傾倒點(diǎn)為支點(diǎn)擺動(dòng)而不致傾倒 為滿足題意即系統(tǒng)為滿足題意即系統(tǒng)處于穩(wěn)定平處于穩(wěn)定平衡衡, ,給系統(tǒng)一擾動(dòng)給系統(tǒng)一擾動(dòng), , 兩小球重力對(duì)兩小球重力對(duì)O O的力矩應(yīng)能使系統(tǒng)的力矩應(yīng)能使系統(tǒng)回到原位回到原位! !原平衡位置時(shí)原平衡位置時(shí)coslL 2mg受一微擾后受一微擾后能回到原位能回到原位coslL 16 如圖所示如圖所示,長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為2L、粗細(xì)均勻的桿，一端靠在、粗細(xì)均勻的桿，一端靠在鉛直的墻上，而另一端靠在不動(dòng)的光滑面上為了使桿即

10、使沒有鉛直的墻上，而另一端靠在不動(dòng)的光滑面上為了使桿即使沒有摩擦仍能在任意位置處于平衡，試寫出這個(gè)表面的橫截線的函數(shù)摩擦仍能在任意位置處于平衡，試寫出這個(gè)表面的橫截線的函數(shù)表達(dá)式表達(dá)式(x) （桿總是位于垂直于墻面的豎直平面內(nèi)）（桿總是位于垂直于墻面的豎直平面內(nèi)） 為滿足題意即桿為滿足題意即桿處于隨遇平衡處于隨遇平衡, ,應(yīng)使桿的重心應(yīng)使桿的重心始終在始終在x軸軸! !OyxC(0,)(x,y) 22222xyL + +表面的橫截線滿足表面的橫截線滿足 222212xyLL + +該表面為橢球面的一部該表面為橢球面的一部分分17 如圖所示如圖所示,兩個(gè)質(zhì)量分別為兩個(gè)質(zhì)量分別為m1和和m2的小環(huán)

11、能沿著的小環(huán)能沿著一光滑的輕繩滑動(dòng)繩的兩端固定于直桿的兩端，桿與水平線成一光滑的輕繩滑動(dòng)繩的兩端固定于直桿的兩端，桿與水平線成角度角度在此桿上又套一輕小環(huán)，繩穿過輕環(huán)并使在此桿上又套一輕小環(huán)，繩穿過輕環(huán)并使m1、m2在其兩在其兩邊設(shè)環(huán)與直桿的接觸是光滑的，當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)，邊設(shè)環(huán)與直桿的接觸是光滑的，當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)， 直桿與輕環(huán)兩直桿與輕環(huán)兩邊的繩夾角為邊的繩夾角為 試證：試證： 2112tantanmmmm m2m1同一光滑繩上張力同一光滑繩上張力處處相同處處相同設(shè)為設(shè)為FT, ,m1gFT兩小環(huán)平衡兩小環(huán)平衡, ,分析受力如圖分析受力如圖: :m2gFT 90 90 由力矢量三角形由力矢量三角形

12、: : 122cos 902cos 90Tm gm gF 12sinsinmm 21sin cossin cossin cossin cosmm 2112tantanmmmm 18 一根質(zhì)量為一根質(zhì)量為m的均勻桿，長(zhǎng)為的均勻桿，長(zhǎng)為L(zhǎng)，處于豎直的位，處于豎直的位置，一端可繞固定的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)有兩根水平輕彈簧，勁度系數(shù)置，一端可繞固定的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)有兩根水平輕彈簧，勁度系數(shù)相同，把桿的上端拴住，如圖所示，問彈簧的勁度系數(shù)相同，把桿的上端拴住，如圖所示，問彈簧的勁度系數(shù)k為何值時(shí)為何值時(shí)才能使桿處于穩(wěn)定平衡？才能使桿處于穩(wěn)定平衡？ 為使桿為使桿處于穩(wěn)定平衡處于穩(wěn)定平衡, ,給桿一擾給桿一擾動(dòng)動(dòng), ,彈

13、簧拉力對(duì)彈簧拉力對(duì)O O的力矩應(yīng)的力矩應(yīng)大于大于桿重桿重力矩力矩! !mg FT即即22TLFLmg 其中其中 TFkL 得得4mgkL FT19 如圖所示如圖所示,一塊厚一塊厚d的木板位于半徑為的木板位于半徑為R的圓柱上，的圓柱上，板的重心剛好在圓柱的軸上方板與圓柱的一根摩擦因數(shù)為板的重心剛好在圓柱的軸上方板與圓柱的一根摩擦因數(shù)為試求板可以處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的條件試求板可以處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的條件 RCC 令板從原平衡位置偏轉(zhuǎn)一小角度令板從原平衡位置偏轉(zhuǎn)一小角度 M M板板處于穩(wěn)定平衡處于穩(wěn)定平衡條件是條件是重心升高重心升高! !2dR 2dcosR 以圓柱軸為參照以圓柱軸為參照, ,原板重心高

14、度原板重心高度coscos2dR 擾動(dòng)后重心高度擾動(dòng)后重心高度sinR 應(yīng)有應(yīng)有cossincos22ddRRR 21 2sinsin222ddRRR 2sin2sin22dRR 考慮到考慮到 很很小小, , s s i i n n2dR 且且1tan 20 如圖所示如圖所示,用均勻材料制成的浮子，具有兩個(gè)半徑均為用均勻材料制成的浮子，具有兩個(gè)半徑均為R的球冠圍成的外形，像一粒豆子浮子的厚度的球冠圍成的外形，像一粒豆子浮子的厚度h2R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1沿浮子對(duì)沿浮子對(duì)稱軸向浮子插入一細(xì)輻條，穿過整個(gè)厚度輻條長(zhǎng)稱軸向浮子插入一細(xì)輻條，穿過整個(gè)厚度輻條長(zhǎng)lh，質(zhì)量為，質(zhì)量為m2當(dāng)將浮當(dāng)將浮子輻條

15、向上地浸于水中時(shí)，浮子只有少部分沒于水中浮子的狀態(tài)是穩(wěn)定的子輻條向上地浸于水中時(shí)，浮子只有少部分沒于水中浮子的狀態(tài)是穩(wěn)定的嗎？嗎？ 先由同向平行力合成求浮子重力合力作用點(diǎn)重心位置：先由同向平行力合成求浮子重力合力作用點(diǎn)重心位置：Cm1gm2g2l2hx2121222mlhlhm g xm gxxmm 由由Cl21222Cmhlhmml 故故浮子偏轉(zhuǎn)小角度浮子偏轉(zhuǎn)小角度21222CmhL hlRmm = =當(dāng)當(dāng)1222mLRmR h = =當(dāng)當(dāng)浮子為浮子為不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡! !1222mLRmR h 當(dāng)當(dāng)浮子為浮子為穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡! !21CCClR若若 CClR若若= =ClR若若 OC

16、mmh R 3 2300g21 6 84g D 23 有一長(zhǎng)為有一長(zhǎng)為0.2 m、截面積為、截面積為2 cm2的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒，密度為密度為5102 kg/m3 在細(xì)棒下端釘上一小鐵片（不計(jì)體積），讓細(xì)棒豎立在水面，在細(xì)棒下端釘上一小鐵片（不計(jì)體積），讓細(xì)棒豎立在水面，若細(xì)棒露出水面部分的長(zhǎng)為若細(xì)棒露出水面部分的長(zhǎng)為0.02 m，則小鐵片質(zhì)量為多少？，則小鐵片質(zhì)量為多少？ 不拿去浸在水中的小鐵片，在上端要截去多少長(zhǎng)度，恰好使不拿去浸在水中的小鐵片，在上端要截去多少長(zhǎng)度，恰好使上端面與水面齊平？上端面與水面齊平？ 要使細(xì)棒豎在水面是穩(wěn)定平衡，下端小鐵片至少要多重要使細(xì)棒豎在水面是穩(wěn)定平衡，

17、下端小鐵片至少要多重?分析此時(shí)受力：分析此時(shí)受力：CMLSg mg0.9LSg 水水0.9LSg mgLSg 水水 0.9mLS 水水 340.9 0.5100.2 2 10 kg 16g 此時(shí)態(tài)勢(shì)為：此時(shí)態(tài)勢(shì)為：mgC11LSg 1LSg 水水11LSgmgLSg 水水 1mLS 水水33416 10m=0.5 102 1016cm 4 cmL 系統(tǒng)為系統(tǒng)為穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡條件是條件是浮心高于合重心浮心高于合重心! !22MLMmMmS 水水即即 340.020.020.10.022 102 10mm min8gmC總24C總C總C總不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨機(jī)平衡隨機(jī)平衡穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡25a

18、b 兩個(gè)相同長(zhǎng)方體處于圖示位置問當(dāng)兩個(gè)相同長(zhǎng)方體處于圖示位置問當(dāng)角為多角為多少時(shí)它們才可能平衡？長(zhǎng)方體與水平面間摩擦因數(shù)為少時(shí)它們才可能平衡？長(zhǎng)方體與水平面間摩擦因數(shù)為，長(zhǎng)方體長(zhǎng)，長(zhǎng)方體長(zhǎng)b寬寬a長(zhǎng)方體間無摩擦長(zhǎng)方體間無摩擦 分析受力：分析受力：G0Ff G0fG F 0fG 1tanab 系統(tǒng)系統(tǒng)可能平衡可能平衡條件是條件是在此條件下在此條件下, ,對(duì)右物塊由力矩平衡對(duì)右物塊由力矩平衡 sincoscos2cosbGF bG b G sin coscos sin2cos cos tan2tan 1tan2ab 在此條件下在此條件下, ,對(duì)左物塊由力矩平衡對(duì)左物塊由力矩平衡cos2aGF b

19、sinsin 122tanab 111tanmin tan2,2tanaaabbb sin2cosbG 26 在互相垂直的斜面上放置一勻質(zhì)桿在互相垂直的斜面上放置一勻質(zhì)桿AB，設(shè)各接，設(shè)各接觸面的摩擦角均為觸面的摩擦角均為（tg）,求平衡時(shí)桿求平衡時(shí)桿AB與斜面與斜面AO交角交角的的范圍已知斜面范圍已知斜面BO與水平面交角為與水平面交角為 ABO三力桿平衡時(shí)的幾何位置特點(diǎn)三力桿平衡時(shí)的幾何位置特點(diǎn): :不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡桿兩端約束力與重力三力匯交桿兩端約束力與重力三力匯交當(dāng)當(dāng)=時(shí)時(shí)GABOfA=0 fB=0結(jié)論結(jié)論:1O平衡時(shí)桿平衡時(shí)桿AB與斜面與斜面AO交角交角的范圍為的范圍為 22 27當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)GOABG-O 90,O AG O AG 90AO G AO G 9090 2 O GAGO GAG = = 2 2 桿平衡位置與左斜面的夾角桿平衡位置與左斜面的夾角28當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)GOGAB 90,O AG