氣象統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)-研修班-小波分析

1、3.3 小波分析傅里葉變換的性質(zhì) sFsstxFetxeFtxdFFtxtxFFdtxxtii021212121021函數(shù) 傅里葉變換傅里葉變換的不足連續(xù)功率譜分析結(jié)果連續(xù)功率譜分析結(jié)果只出現(xiàn)了顯著周期10 傅里葉變換可以把復(fù)雜的時間信號轉(zhuǎn)換到頻率域中，然后用頻譜特性去分析和表示時域信號的特性 然而傅里葉變換是“全局性”的，不能反映局部區(qū)域上的特征 雖然從傅里葉變換能清楚地看到一個信息包含的每一個頻率的多少，但很難看出不同信號的發(fā)射時間和發(fā)射的延續(xù)時間原因 傅里葉變換對 頻域過程F(w)的任一頻率組成部分的值：由時域過程f(t)在(-,)上決定的 時域過程f(t)在任一時刻的狀態(tài)：由F(w)在

2、整個頻域(-,)的量決定 15. 913. 921dtetxFdeFtxtiti “若你記錄1小時長的信息而在最后5分鐘出錯，這一錯誤就會毀了整個傅里葉變換。相位的錯誤是災(zāi)難性的，如果在相位上哪怕犯了一個錯誤，你最后就會發(fā)現(xiàn)你所干的事與最初的信號無關(guān)了?！?Y. Meyer 實(shí)際上，人們需要了解某些局部時段上所對應(yīng)的主要頻率特性是什么，也需要了解某些頻率的信息出現(xiàn)在哪些時段上，也就是需要了解時-頻局部化要求如何解決？ 傅里葉變換缺陷的來源 傅里葉變換的核函數(shù)(正弦、余弦函數(shù))在時域是無限的 如何改進(jìn)核函數(shù)，使其能夠集中反映時域上某一局部的信息？ 將正弦、余弦函數(shù)乘以一個時域內(nèi)衰減很快的函數(shù)窗口

3、傅里葉變換 定義 窗口函數(shù)g(t) 實(shí)函數(shù) 能量主要集中在原點(diǎn)附近 提取了在t=附近的時域信息 dtetgtxFti,核函數(shù) 核函數(shù)的傅里葉變換為 因而有 提取了在w=w0附近的頻域信息titietgetg00000ieG deGFdtetgtxFiti000000021,窗口的調(diào)整 平移 拉伸 平移和拉伸 核函數(shù)及其傅里葉變換 tgtg stgtg stgtg00000 itiesGsestg 在時域上縮小窗口=在頻域上擴(kuò)大窗口 增大s 在時域上擴(kuò)大窗口=在頻域上縮小窗口 減小s 能否在時域和頻域上同時縮?。ɑ驍U(kuò)大）窗口？00000 itiesGsestg 減小s sw減小 突出低頻 需要長

4、時間序列 較大時間窗 增大s t/s減小 較小時間窗 僅有短時間序列 得到高頻sGsstg測不準(zhǔn)原理小波 具有以下兩個性質(zhì)的窗口函數(shù)g稱為小波 g(t)必須時正時負(fù)的波動，否則g(t)的積分不會為零 G(w)在w=0處的值必須為零，即G(0)=0 dGdttg20g(t)不是小波的個例小波的時域特征 “小波”不是指其波動的幅度很小，而是指其持續(xù)時間很短 當(dāng)t時，要求g(t)速降至零 小波是持續(xù)時間很短的衰減振蕩，在時域內(nèi)是局部的小波的頻域特征 當(dāng)w時,要求G(w)速降至零 G(w)具有帶通濾波器的頻率特性 小波在頻域內(nèi)也是局部的母小波 滿足 的小波即為基本小波或者母小波 將母小波伸縮和平移之后

5、得到的函數(shù)族稱為分析小波 dGdttg20 RbRaabtgatgba ,1, a為伸縮參數(shù)或尺度參數(shù)，取正實(shí)數(shù) 當(dāng)a1時，沿時間軸方向拉伸 當(dāng)a0.1，則用紅噪聲譜檢驗(yàn) 當(dāng)r(1)0.1，則用白噪聲譜檢驗(yàn) 第一步：計(jì)算理論功率譜 滿足自由度為2的X2分布，其中 對于白噪聲譜Pa=1 第二步：如果WFx(a,b)Pa，則小波功率譜是顯著的2205. 021xasPP narrrPa2cos12111122黑色實(shí)線和黑色虛線分別表示什么？頭部影響 因?yàn)閷?shí)際的信號序列總是有限長度的，當(dāng)平移參數(shù)b逐漸接近信號序列的兩頭時，WF(a,b)的估計(jì)誤差逐漸增加 為了使b接近序列的兩端時還能計(jì)算WF(a,b)，一般在序列的頭和尾外側(cè)補(bǔ)上足夠多的零，或者在頭尾的外側(cè)用頭尾內(nèi)側(cè)的值對稱的延伸 但是延伸的畢竟不是真實(shí)的信號，在兩端WF(a,b)逐漸變的不可信 Torrence(1998)定義e折時間為兩端受影響的區(qū)域 對于Morlet小波和墨西哥帽小波而言，小波的e折時間是20.5a 對每一個尺度參數(shù)a，當(dāng)平移參數(shù)b落入距信號序列兩端e折時間范圍內(nèi)時，結(jié)果應(yīng)該放棄小波分析中的誤區(qū) 該時間序列的周期為10年和20年 該時間序列在前40年以10年周期的波動為主，在后40年則以20年周期的波動為主如何利用小波分析來進(jìn)行科